构造法解高中数学题探析

摘要：在现今高中数学竞赛以及高考中，构造法有着广泛的应用，而且应用这种奇特的思考方式，常常能够收到奇效。在运用构造法解决数学问题时，恰当地选择构造元素是十分关键的问题。本文结合教学实践谈一谈如何运用构造法解决数学问题，供师生参考。

关键词：数学教学；构造法 ；提高能力

中国分类号：G633.6

在现今高中数学竞赛以及高考中，构造法有着广泛的应用。构造法就是依据某些数学问题的条件或结论所具有的典型特征，用已知条件中的元素为“元件”，用已知的数学关系为“支架”，在思维中构造出一种相关的数学对象，一种新的数学形式；或者利用具体问题的特殊性，为待解决的问题设计一个合理的框架，从而使问题转化并得到解决的方法。由于此法构思巧，解题快，思路明，易理解，因而不但利于培养学生的数学思维，也有利于提高学生运用数学知识解决实际问题的能力，那么，如何引导学生用构造法解题呢？在实际教学中，常见的情形有如下几方面：

一、 构造方程

例1 已知 ，求

分析：由已知得 消去 ，得

例2 已知 ，给出下列关于 关系式：

其中正确的是（ ）

分析：所给选项非常类似于判别式 的形式，而（ 将已知关系式转化为 ，可看作是一个根为 的一元二次方程 ，则必有 正确

点评：可根据题目的结构特征，合理地进行类比联想，使之转化为简单熟悉的问题，渗透了数学的化归与方程思想，体现了数学解题的灵活性。

二、 构造函数

例3 若 ，且满足方程

，则

分析：此题一时无从着手，研究已知条件发现两个等式有一些相似的地方，对第二个等式进行变形可得： ，对照两个等式和所求结论思考，是否可以找到 和 的关系？从而构造函数 ，则两个条件分别变为： ，即 ，又因为函数 是 上的单调递增的奇函数， 从而

例4 已知函数 满足 ， 的导函数 ，且 的解集为 ，则实数 等（ ）于

分析：由 代人 ，构造函数 ， 是 上的增函数 ，又因为解集为

点评：从问题的已知条件和结论的结构特征出发，通过化简变形，合力推理发现其中隐含的函数关系，从而有机地与函数联系起来，利用函数的单调性和奇偶性，顺利地达到了解题目的，充分体现了构造法解题的创新性。

三、 构造图形

例5 椭圆 的焦点为 ，点P是椭圆上的动点，当 为钝角时，点P的横坐标的取值范围是（ ）

分析：构造以 为直径的圆： ，易知当P在圆上时， 为直角，p在圆内时， 为钝角，p在圆外时， 为锐角，故把 与 联立得 ，故选B

例6 设 ，若关于x的不等式 的解集中的整数个数恰有3个，则（ ）

分析：由题意知 的解集中的整数个数恰有3个， 又 又知不等式解集为 ，而 ，3个整数解只能为

即 ，故有 ， 其表示的可行域如图阴影所示，易得

图中 ，

范围为 ，故选C

例7 在三棱锥 中，侧棱 两两垂直， 的面积分别为 ，则三棱锥 的外接球的体积为________

分析：将三棱锥补成长方体，则长方体的体对角线即为外接球的直径。设长方体的长、宽、高分别为 ，则 外接球直径为 ，体积为

点评：在几何问题中，可根据题目特点，构造特殊图形，如长方体、正方体或圆锥曲线或平面图形来进行相关正迁移，实现方法上的新突破，渗透了化归与数形结合的思想，充分体现了构造法的新颖性。

四、 构造向量

例8 已知 ，则锐角 =______

分析：由已知得 构造向量 ， 则

，即

例9 已知 中，角 的对边长分别是 ，且满足 ， 与 分别是边上 的中线，则 与 夹角的余弦值为_______

分析：取基底 则 ，又 ，

点评：对于一些计算较复杂的题目，可根据式子特征和平面图形的几何性质，构造向量，利用向量的数量积或模长的一些几何性质来巧妙地解决，体现了构造法的独特性。

五、 构造数列

例10 设 且 ，求证

分析：由 ，知 成等比数列，设公比 ，则

点评：将已知条件合理变形，应用等比中项构造出适合要求的等比数列，使得问题变得简洁明了，解题过程自然流畅，体现了构造法的趣味性。

总之，注意培养学生应用构造法解题，不但有利于提高学生综合运用所学知识解决实际问题的能力，还有利于引导学生系统灵活地掌握课本知识，提高学习效率，培养学生的探索精神和创新意识，同时对提高教师的教学科研水平，将会起到积极的作用。