《常微分方程》的课程改革和探索

摘要：课程的教学模式和评价体系决定着教学质量好坏。本文结合作者自身的教学实践，针对《常微分方程》课程的探索出：“基础教学+小组讨论+换位教学+研究实验”的教学模式，在此基础上对教学内容重新整合，创新教学方法和手段，构建三位一体的教学评价体系。新的教学模式和评价体系下，可以保证完成教学目标的同时，不断提高学生素质，加强解决问题能力和创新实践的意识。

关键词：教学模式；评价体系；常微分方程；教学改革

《常微分方程》是数学与应用数学专业的开设的一门专业基础课。它是《数学分析》和《高等代数》的后续课程，又是《数值分析》、《数理方程》等的先修课程。在本文作者就从自身的授课实践出发探索一下此课程的改革。

一、《常微分方程》课程改革的必要性

在《自然辩证法》[1]中，恩格斯说：“数学中的转折点是笛卡儿的变数，有了变数，运动进入了数学，有了变数，辩证法进入了数学，有了变数，微分和积分也就立刻变成了必要的了。” 微分方程是微积分在物理世界中一个直接的应用，针对物体运动过程的研究， 比如笛卡儿在光学问题中由切线性质定出镜面的形状[2]等。常微分方程在自然科学和社会科学诸多领域都有着广泛的应用。近几十年来， 随着动力系统及非线性科学的发展，使得科学界和社会上越来越需要将方程的新理论和新方法应用到工程实践中的人才，这些都要求我们重新看待其教学。接下来先了解一下此课程的一些现状。

1、关于教师课程教学

课程教学一个必要目的是使学生掌握必要的基础知识，但更主要的是提高学生解决实际问题的能力。在此课程上我们要选择合适的教学模式来教会学生如何分析和解决实际问题，如何提高创新意识。但是传统的教学模式里，强调学生掌握理论知识，很少涉及实际问题的解决，教材中涉及到的应用问题也被教师删掉作为自学内容，比如[2]中的绪论部分。另一方面，一些数学计算软件的兴起，如matlab[3]、maple、mathematic等，使得很多问题在能够通过计算机解决，如在求解方程组时如何很好的需求特征值的问题。这提醒我们不要在沉浸于繁杂的计算中，应该上去探讨它方法本质和实际应用。

2、关于学生的学习

在传统的教学模式中，填鸭式的教学使得学生对础课程丧失兴趣，注意力不集中，何谈达到教学目标。另一方面，高等院校的扩招，使得我们的教学面对更大的挑战。为了改变现在的状况，提高学生的学习成绩和解决问题的能力，对于传统的教学模式的改革势在必行。

3、关于教学评价体系

对于教学评价我们可以分成两个模块：教师模块和学生模块。对教师的评价，很多学校施行“学评教”，也将此作为对教师评价的主要部分。而大多数“学评教”会造成很多学生完全凭印象，这造成对老师的不够公平。这会造成教师单方面迎合学生，对学生监管放松，课堂上只强调课堂气氛活跃却忽视教学目标。

对学生的评价，传统模式单一，只能考查到学生对理论知识的掌握，甚至出现高分低能。故而教学评价体系的深入改革是我们课程改革实践中必不可少的一环。

二、《常微分方程》课程改革的具体实践

1、建立新的教学模式

我们把传统的教学模式增强为：“基础教学+小组讨论+换位教学+研究实验”的教学模式，强化学生创新能力的培养。

在基础教学阶段，使学生较为扎实的掌握基础理论，缩减技巧方面的课时，如恰当方程与积分因子中不再强调较难的积分因子的寻求。

适当加入小组讨论，如质点振动这一节。每组各自总结结论提出问题。在此阶段，教师担任的是倡导和组织者的角色。

所谓换位教学，即学生作为主讲，教师作为听众。尽量使得每位学生都有机会上台，不仅能够使其更深刻的掌握知识。

根据情况加入研究实验，将其设在课后或者课程介绍之后。教师带领学生在相关方向确立专题研讨，或者参加建模竞赛。还可以指导学生撰写科技论文，使得优秀学生充分发挥优势。

2、整合教学内容

几年来，我们以王高雄等主编的《常微分方程》第三版为基础教材。在不断的实践中，添加具有特色的现代方程理论，如延迟微分方程的分支理论。另外，将建模的思想融合到教学中。如在第六章，加入一个专题学习捕食-被捕食模型。

另一方面，我们要删减一些浪费课时的内容。比如对于第七章的偏微分方程作为学生自学部分。

3、创新教学方法和手段

在讲授知识同时，带领学生反思知识之间的联系。比如，求解：

（1）

按照教材的方法是先求其次方程解：

然后直接将常数变成函数设：

进而给出常数变易公式。这是不自然的，而我讲授时是将方程（1）变形为：

（2）

引导学生回忆前面的变量分离方程为何简单，进而有的学生就会提出设想：“如果方程（2）的左端是某个函数的导数，那么方程两边同时积分就可以求解。”这时，大多数学生就会想到将左侧凑成某两个函数乘积，最后自然的会引出积分因子：

将 乘以方程（2）的两端，得到通解之后，在引出我们的常数变易公式。

对于教学手段，还增添了数学实验环节，并且还要集体培训主要软件的应用，如matlab。增设了网上指导答疑环节，学生可以在线提问和自主下载相应的练习题目，主讲教师还要公开微博、微信等，能和学生不仅交流学习问题，更能与学生拉近距离，更好地提高教学效果。

4、教学评价体系构建

我们构建一个“教师教学能力与责任意识、学生的学习态度与应用能力、学生的团队意识和创新科研精神”三位一体的评价体系，形成一个对教师“责任+能力”和对学生“基础知识+应用能力+创新意识”的平行的评价模式。

对于教师的评价，对于专业基础课程施行单独评价。在教学过程中，有两到三次专家组听课，将评价结果计入最后评价中。在形成最后评价之前，将结果交予二级单位审核，如果存在明显偏差，应及时纠正。

对于学生的评价体系，不再是一考定终身。将其分块处理，形成多样化的评价体系。

（1）学习态度评价

根据教学过程中的出勤记录、回答问题记录来评定。

（2）应用能力的评价

根据学生在讨论中表现进行评定。

（3）团队意识的评价

此项评价是对各个小组讨论中起到带头作用的成员的奖励，如小组长。根据具体情况加分，最高不得超过10分。

（4）创新科研精神的评价

对于某些表现突出，比如获竞赛奖项或者公开，给予奖励，可以选择免试并直接优秀（>90分）。

（5）基础知识评价

分成课上测验和期末考试两部分。对于内容我们进行较多的修改，在选题时注重实际应用，删减削弱计算繁杂题目。

上述五部分考核，除了规定免试的，我们将权重设置为：学习态度10%，应用能力15%，课上测验5%，期末考试70%。

三、小结

我们的课程改革还在不断地深入，有很多亟待优化和解决的部分。我们需要各方面共同努力完善我们的课程改革，并且在此基础上，进行更深层次的改革，比如实现全课程的英语式教学与国际接轨，建设省级或者国家级的精品课程，这些都表明我们今后是任重而道远。

参考文献

[1] 恩格斯.自然辩证法[M].北京：人民出版社，1959

[2] 王高雄.常微分方程， 第三版[M].北京：高等教育出版社，2006

[3] 张志刚. Matlab与数学实验，第二版[M]. 中国铁道出版社，2009