一类具有脉冲效应和可变时滞的非自治捕食者-食饵系统正周期解的存在性

摘要: 通过应用迭合度理论的连续定理，获得了一类具有脉冲效应和可变时滞的非自治捕食者－食饵系统正周期解存在性的充分条件.

关键词: 脉冲；时滞；正周期解；迭合度理论

中图分类号:O175.14

文献标识码:A文章编号:1672-8513(2010)05-0341-06

Existence of Positive Periodic Solutions for a Nonautonomous Predator-Prey System with Impulse Effects and Variable Delays

WANG Bin1,2,LIU Ping2

(1. Department of Mathematics, Xingyi Normal University for Nationalities，Xingyi 562400, China；2. Department of Mathematics, Yunnan University, Kunming 650091, China)

Abstract: [JP3]By using the continuation theorem of coincidence degree theory, the sufficient condition of the existence of positive periodic solutions for a nonautonomous predator-prey system with impulse effects and variable delays is obtained.

Key words: impulse; delay; positive periodic solution; coincidence degree theory

文献［1］中研究了如下系统的正周期解的存在性和全局稳定性，

[HJ0]u′=u(t)b1(t)－a1(t)u(t－τ1(t))－β1(t)u(t)v(t－σ(t))1+mu2(t),v′=v(t)－b2(t)－a2(t)v(t)+β2(t)u2(t－τ2(t))1+mu2(t－τ2(t))[HJ].（1）

其中u(t)，v(t)是食饵种群和捕食者种群在时间t时刻的密度，并假设bi:RR，ai，τi，σ，βi:R［0,+∞)(i=1,2)是T－周期连续函数，∫T[KG-1*2]0bi(t)dt>0，βi(t)≠0，m为非负常数.

考虑到人为因素(或其它突变因素)对生态系统的影响，例如，对某一捕食者－食饵系统定期投放捕食者或(和)食饵，这一人为因素将对生态系统产生影响，对于这样的系统更为精确的描述是脉冲微分方程.因此，本文在文献［1］的基础上考虑如下具有脉冲效应和可变时滞的非自治捕食者－食饵模型正周期解的存在性，并参考了一些较新的相关研究成果［2-7］，关于脉冲微分方程的理论参考了文献［8-9］.

[HJ0]u′=u(t)b1(t)－a1(t)u(t－τ1(t))－β1(t)u(t)v(t－σ(t))1+mu2(t),v′=v(t)－b2(t)－a2(t)v(t)+β2(t)u2(t－τ2(t))1+mu2(t－τ2(t)),[JB)}] t≠tk,k∈Z+,[KH*4]Δu(tk)=u(t+k)－u(t－k)=1ku(tk),Δv(tk)=v(t+k)－v(t－k)=2kv(tk),[KH*2] t=tk,k∈Z+.[HJ][JB)]（2）

[JP3]其中ik(i[KG-*2]=1,2;k=1,2,…)是时间tk处的脉冲，并假设1）ai，bi，τi，σ，βi:R(0,+∞)(i[KG-*2]=1,2)是T－周期连续函数，m为正常数；2)q∈Z+，使得tk+q[KG-*2]=tk+T，i(k+q)[KG-*2]=ik;3）［0,T］∩{tk}[KG-*2]=[KG-*2]{t1,t2,…,tq}，0＜t1[KG-*2]＜t2[KG-*2]＜…＜tk[KG-*2]＜…，limk∞tk=+∞；4) u(t)，v(t)在tk处左连续，即[JP5]u(t－k)=limttk－0u(t)=u(tk),v(t－k)=limttk－0v(t)=v(tk).

1 符号与准备知识

设JR，记PC(J,R)是这样的函数集：当t∈J且t≠tk时， f:JR连续；当t∈J且t=tk时，f:JR左连续，tk为第1类间断点.记PC1(J,R)是这样的函数集：f:JR且dfdt∈PC(J,R).

文中将用到如下T－周期函数构成的Banach空间：

PCT=f∈PC(［0,T］,R)|f(0)=f(T),[JB(=]f[JB)=]PCT=sup{|f(t)|:t∈［0,T］}[JB>2}],

PC1T=f∈PC1(［0,T］,R)|f(0)=f(T),[JB(=]f[JB)=]PC[ST4.BZ]1[WT4.BX]T=max[JB(=]f[JB)=]PCT,[JB(=]dfdt[JB)=]PCT[JB)}][JB>3}].

为方便起见，文中采用如下记号：

f=1T∫t[KG-*1]0f(t)dt， f(t)∈PCT；Bi=1T∫T[KG-1*5]0bi(t)dt，Φi=∑qk=1ln(1+ik)，i=1,2,k∈Z+.

定义1［7］ 若ε>0,δ>0，且x∈A,k∈Z+,t1,t2∈(tk－1,tk］∩［0,T］，当|t1－t2|

引理1［7］ [JP3]集APCT在［0,T］相对紧当且仅当：1）A有界，即，x∈A,M>0有[JB(=]f[JB)=]PCT=sup{[JB(|]f(t)[JB)|]:t∈［0,T］}≤M；2）A于［0,T］拟等度连续.

为研究系统（2）的正周期解的存在性，将用到文献［10］中的一些内容，总结如下：

设X，Z为实Banach空间，L:DomLXZ是线性算子，N:XZ是连续算子.L叫做指标为0的Fredholm算子，如果dimKerL=codimImL

引理2［10］ 设L是指标为0的Fredholm算子，N在Ω上L－紧，如果

1）对每一个λ∈(0,1)，x∈Ω∩DomL，Lx≠λNx；

2）对每一个x∈Ω∩KerL,QNx≠0；

3）deg{JQN,Ω∩KerL,0}≠0.

则Lx=Nx在Ω∩DomL至少有一个解.

为了应用引理2来研究系统（2）的正周期解的存在性，作变量变换u(t)=ex1(t)，v(t)=ex2(t)，则系统（2）变形为

[JB(][HJ0]x′1(t)=b1(t)-a1(t)ex1(t-τ1(t))-[SX(]β1(t)ex1(t)ex2(t-σ(t))1+me2x1(t)[SX)]=[DD(-*2][DD)]F1(t),x′2(t)=-b2(t)-a2(t)ex2(t)+[SX(]β2(t)e2x1(t-τ2(t))1+me2x1(t-τ2(t))[SX)]=[DD(-*2][DD)]F2(t),[JB)}] t≠tk,k∈Z+,[JB(]x1(tk)=x1(tk+)-x1(tk-)=ln(1+1k),x2(tk)=x2(tk+)-x2(tk-)=ln(1+2k),[JB)}] t=tk,k∈Z+.[HJ][JB)]（3）

这样系统（2）存在正周期解的充分条件是系统（3）存在周期解.

设DomL=PC1T×PC1T，且

L:DomLZ，[JB3)][JB5)],

N:PC1T×PC1TZ，[JB3)][JB5)].

显然，KerL=[HL(1]x1x2[HL)]:[HL(1]x1x2[HL)]=[HL(1]c1c2[HL)]∈R2,t∈［0,T］,ImL=[HL(1]x1x2[HL)],[HL(1]α1kα2k[HL)]qk=1∈Z:[HL(1][HJ0]∫T[KG-1*5]0x1(t)dt+∑qk=1α1k=0∫T[KG-1*5]0x2(t)dt+∑qk=1α2k=0[HJ][HL)],

dimKerL=2=codimImL.

因此，ImL是Z中的闭集，L是指标为0的Fredholm算子.定义

P[HL(1]x1x2[HL)]=1T[HL(1][HJ0]∫T[KG-*1]0x1(t)dt+∑qk=1α1k∫T[KG-*1]0x2(t)dt+∑qk=1α2k[HJ][HL)]，

QZ=Q[HL(1][HJ0]x1x2[HL)],[HL(1]α1kα2k[HL)]qk=1=1T[HL(1]∫T[KG-*1]0x1(t)dt+∑qk=1α1k∫T[KG-*1]0x2(t)dt+∑qk=1α2k[HL)], [HJ0.5mm][HL(1]00[HL)]qk=1[HJ].

则P和Q是连续投影，且ImP=KerQ，KerQ=ImL=Im(I－Q).

算子L的逆Kp:ImLKerP∩DomL为：

KpZ=[HL(1][HJ0]∫t[KG-*1]0x1(t)dt+∑0

这样，QN[HL(1]x1x2[HL)]=1T[HL(1]∫T[KG-1*5]0F1(t)dt+Φ1∫T[KG-1*5]0F2(t)dt+Φ2[HL)], [HL(1]00[HL)]qk=1， Kp(I－Q)N[HL(1]x1x2[HL)] =

[JB5)]－1T[HL(1]∫T[KG-1*5]0∫t[KG-*1]0F1(s)dsdt+TΦ1∫T[KG-1*5]0∫t[KG-*1]0F2(s)dsdt+TΦ2[HL)]－[HL(1]tT－12[][HL)][HL(1]∫T[KG-1*5]0F1(s)ds+Φ1∫T[KG-1*5]0F2(s)ds+Φ2[HL)].[HJ]

显然，QN和Kp(I－Q)N连续.由引理1可知对任何X的有界开子集Ω有Kp(I－Q)N(Ω)相对紧.因此，对任何X的有界开子集Ω，N在Ω上是L－紧的.同构映射定义为

J:ImQ KerL，φ1φ2, 00qk=1φ1φ2.

2 定理与证明

定理1 设β2Tm－b2T+Φ2>0， b1T+Φ1>0， b1T－β1TeH222m+Φ1>0， β2Te2H111+me2H11－b2T+Φ2>0.

若代数方程组

b[TX-*6]1-a[TX-*6]1u1-[SX(]β[TX-*6]1u1u21+mu12[SX)]+[SX(]Φ1T[SX)]=0,b[TX-*6]2+a[TX-*6]2u2-[SX(]β[TX-*6]2u121+mu12[SX)]-[SX(]Φ2T[SX)]=0.[JB)]

有唯一解(u*1,u*2)T∈intR2+={(u*1,u*2)Tu*1>0,u*2>0},其中

H22=lnβ2Tm－b2T+Φ2a2T+(B2+b2)T+2Φ1，H11=lnb1T－β1TeH212m+Φ1a1T－(B1+b1)T－2Φ1，

则系统（2）至少有1个正T－周期解.

对应于算子方程Lx=λNx，λ∈(0,1)，有

[JB(]x′1(t)=λ[JB3］],x′2(t)=λ[JB3］],[JB)}] t≠tk,k∈Z+,[JB(]x1(tk)=x1(tk[KG-*2]+)-x1(tk[KG-*2]-)=λln(1+1k), x2(tk)=x2(tk[KG-*2]+)-x2(tk[KG-*2]-)=λln(1+2k),[JB)}] t=tk,k∈Z+.[JB)]（4）

设(x1,x2)T∈X是系统（4）对应于某一λ∈(0,1)的T－周期解，在［0,T］上对系统（4）积分，得

∫T[KG-1*5]0[JB3］]dt=b[TX-*6]1T+Φ1，（5）

∫T[KG-1*5]0[JB3］]dt=b[TX-*6]2T-Φ2，（6）

由（4）和（5），（6）式得

∫T[KG-1*5]0[JB(|]x′1[JB)|]dt=λ∫T[KG-1*5]0[JB(|]b1(t)-a1(t)ex1(t-τ1(t))-[SX(]β1(t)ex1(t)+x2(t-σ(t))1+me2x1(t)[SX)][JB)|]dt＜∫T[KG-1*5]0[JB(|]b1(t)[JB)|]dt+∫T[KG-1*5]0[JB(|]a1(t)ex1(t-τ1(t))+[SX(]β1(t)ex1(t)+x2(t-σ(t))1+me2x1(t)[SX)][JB)|]dt≤(B[TX-*6]1+b[TX-*6]1)T+[JB(|]Φ1[JB)|].

∫T[KG-1*5]0[JB(|]x′2[JB)|]dt=λ∫T[KG-1*5]0[JB(|]-b2(t)-a2(t)ex2(t)+[SX(]β2(t)e2x1(t-τ2(t))1+me2x1(t-τ2(t))[SX)][JB)|]dt＜∫T[KG-1*5]0[JB(|]b2(t)[JB)|]dt+∫T[KG-1*5]0[JB(|]-a2(t)ex2(t)+[SX(]β2(t)e2x1(t-τ2(t))1+me2x1(t-τ2(t))[SX)][JB)|]dt≤(B[TX-*6]2+b[TX-*6]2)T+[JB(|]Φ2[JB)|].

由（6）式得

∫T[KG-1*5]0a2(t)ex2(t)dt=∫T[KG-1*5]0[SX(]β2(t)e2x1(t-τ2(t))1+me2x1(t-τ2(t))[SX)]dt-b[TX-*6]2T+2≤[SX(]β[TX-*6]2Tm[SX)]-b[TX-*6]2T+Φ2.（7）

当xi(t)∈PCT时，ξi,ηi∈［0,T］,i=1,2使得

xi(ξi)=inft∈［0,T］xi(t)，xi(ηi)=supt∈［0,T］xi(t)，（8）

由（7）和（8）式得

ex2(ξ2)≤α2Tm－b2T+Φ2a2T，于是由定理1的假设得

x2(ξ2)≤lnβ2Tm－b2T+Φ2a2TG22.

因此，x2(t)≤x2(ξ2)+∫T[KG-1*5]0x′2(t)dt+Φ2

由（5）得∫T[KG-1*5]0a1(t)ex1(t－τ1(t))dt≤b1T+Φ1，（10）

由（8）和（10）式得

ex1(ξ1)≤b1T+Φ1a1T，于是由定理1的假设得 x1(ξ1)≤lnb1T+Φ1a1TG12.

因此，x1(t)≤x1(ξ1)+∫T[KG-1*5]0x′1(t)dt+Φ1≤G12+(B1+b1)T+2Φ1H12.（11）

由（5）和（9）式得

∫T[KG-1*5]0a1(t)ex1(t-τ1(t))dt=b[TX-*6]1T-∫T[KG-1*5]0[SX(]β1(t)ex1(t)+x2(t-σ(t))1+me2x1(t)[SX)]dt+Φ1≥b[TX-*6]1T-[SX(]12[KF(]m[KF)][SX)]eH22β[TX-*6]1+Φ1，（12）

由（8）和（12）得 ex1(η1)≥b1T－12meH22β1+Φ1a1T，（13）

由（13）式和定理1的假设得 x1(η1)≥lnb1T－12meH22β1+Φ1a1TG11.

因此，

x1(t)≥x1(η1)－∫T[KG-1*5]0x′1(t)dt－Φ1≥G11－(B1+b1)T－2Φ1H11. （14）

由（6）式得

[JP5]∫T[KG-1*5]0a2(t)ex2(t)dt=∫T[KG-1*5]0[SX(]β2(t)e2x1(t-τ2(t))1+me2x1(t-τ2(t)[SX)]dt-b[TX-*6]2T+Φ2∫T[KG-1*5]0[SX(]β2(t)e2H111+me2H11[SX)]dt-b[TX-*6]2T+Φ2[SX(]β[TX-*6]2Te2H111+me2H11[SX)]-b[TX-*6]2T+Φ2， （15）

由（8）和（15）式得ex2(η2)≥[SX(][SX(]β[TX-*6]2Te2H111+me2H11[SX)]dt-b[TX-*6]2T+Φ2a[TX-*6]2T[SX)]，（16）

由（16）式和定理1的假设得 x2(η2)≥ln[SX(][SX(]β[TX-*6]2Te2H111+me2H11[SX)]dt-b[TX-*6]2T+Φ2a[TX-*6]2T[SX)]G21.

x2(t)≥x2(η2)－∫T[KG-1*5]0x′2(t)dt－Φ2≥G21－(B2+b2)T－2Φ2H21.（17）

由（9）、（11）、（14）、（17）式得

supt∈［0,T］x1(t)≤max{H11,H12}H1，supt∈［0,T］x2(t)≤max{H21,H22}H2.

显然Hi(i=1,2)不依赖于λ.

取H=maxH1,H2+α，α充分大，使得下列方程组

b1－a1ex1－β1ex1ex21+me2x1+Φ1T=0,b2+a2ex2－β2e2x11+me2x1－Φ2T=0,

的解x*1,x*2T满足x*1,x*2T

取Ω={x=x1,x2T:x1,x2∈PC1T,x

QN[JB3)]=[JB5］]≠0,

此时，QNx满足引理2的第2个条件.

现在验证引理2的第3个条件.

由J:ImQ KerL，φ1φ2, 00qk=1φ1φ2得:JQNx=[JB5)]，

由定理1的假设有

deg{JQNX,Ω∩KerL,0}=sgn det[JB5］]=sgn[JB((]a[TX-*6]1a[TX-*6]2ex1+x2+[SX(]a[TX-*6]2β[TX-*6]1ex1+2x2(1-me2x1)(1+me2x1)2[SX)]+[SX(]2β[TX-*6]1β[TX-*6]2e3x1+x2(1+me2x1)2[SX)][JB))]≠0

因此，开集Ω满足引理2的所有条件.故系统（3）在Ω∩DomL上至少有1个T－周期解，即系统（2）至少有1个正周期解.定理证毕.

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