矩阵的等价标准型在量子力学中的应用

摘要：矩阵的等价标准型是矩阵论中的一种重要形式。不仅可以解决很多线性代数中的问题，也可以解决物理中的一些问题。本文以矩阵的等价标准型为研究对象，通过举例的方式，探讨了矩阵的等价标准型在量子力学中的应用。

关键词：矩阵；等价标准型；量子力学；应用

中图分类号：O15文献标识码：A文章编号：1671―1580（2015）10―0150―02

一、引言

矩阵的等价标准型是矩阵论中的一种既特殊又重要的形式，它可以解决代数中的许多问题，例如利用矩阵的等价标准型来研究矩阵的一些性质，广义逆矩阵等等。本文是把量子力学和代数中的矩阵联系起来，把矩阵的等价标准型应用在物理学的量子力学中。

矩阵A和B是等价的，如果矩阵B可以由A经过一系列初等变换得到，同样也可以这样表达：两个n×m矩阵，A，B若存在m阶可逆矩阵P，n阶可逆矩阵Q，使得PAQ=B，则称这两个矩阵，A，B是等价的。

矩阵Ir0

00为A的等价标准形是这样定义的：A是一个m×n矩阵，并且A的秩为r，则A等价于矩阵Ir0

00.

二、在物理中关于量子力学的应用

标准形矩阵在量子力学中的应用，这是物理学中比较重要的一个应用。

等价标准形在量子力学中主要应用在线偏振器的表示和密度矩阵的求解中。

在力学中， 线偏振器是这样定义的，由入射自然光得到偏振光的器件称为线偏振器，当透振沿X轴的方向时，琼斯矩阵可以很容易得到为10

00， 根据上面的定义，我们可以知道它是等价标准形。当入射光E连续通过两个或两个以上偏振器时，输出光是它们的叠加，输出的光可表示为E=MnMn-1…M1E.M1，M2…Mn 为依次通过的各偏振器的琼斯矩阵，那么很容易看出偏正态变为简单的矩阵运算，又回归到数学的运算之中了。

例1设有一条偏线振光满足振幅为A，并且振动方向是X轴，先通过一透振方向与X轴方向的偏振片，再通过一块沿轴X方向45度方向放置的方解石λ4片，求出光偏正态和强度。

对于上式进行分析，不难得出输出光的x，y分量偏振幅均为A2，这两个振动相位差为π2，很容易看出，出射光和左旋圆偏正光的形式是一样的，那么它就为左旋圆偏正光，I=（A2）为出射光的强度，入射光线的强度为π2.

例2 量子态|φ>相应的密度矩阵的矩阵元Pn′n出现（不为0时），量子态|φ>必含有|n>和|n′>态，Pn′n的值与|n>和|n′>态在态|φ>中出现的几率和相位都有关，如|φ>就是F的某一个本征态|k>，则Pn′n=|n|k>|k|n′>δnkδn′k=δnn′δn′k.它是一个对角矩阵，而且对角元中只有一个元素ρkk′不为0，且ρkk′=1，求电子自旋σx=±1的本征态在pauli表象（σZ表象）中的密度矩阵，进而求它在σx表象中的密度矩阵。

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