时间：2022-05-11 09:24:10
多项式的因式分解作为初中数学中的一种有力工具，在代数、几何、三角等都有广泛运用，中考中的因式分解方法有：提取公因式法、运用公式法、分组分解法、十字相乘法、配方法等.下面以近几年中考题为例说明之，供读者参考.
一、 在求值中的运用
例1. （2011年盐城中考题）已知a-b=1，则代数式2a-2b-3的值是（ ）
A. -1 B.1 C.-5 D.5
简析：对原式代数式变形得2a-2b-3=2（a-b）-3，将a-b=1代入可得待求式=2×1-3=-1，故选A.
例2. （2009年大庆市中考题）若a+b=3，ab=1，则a■+b■=？摇 ？摇.
简析：对a+b=3两边平方得
a■+b■+2ab=9
易得a■+b■=9-2×1=7
点评：有些求值问题不能直接代入求值，这就要看怎样变形求值了，因式分解就是一种很好的变形方法.
二、 在分式化简中的运用
例3. （2012年济南中考题）化简■÷■
解：原式=■×■=■
例4. （2012年江西中考题）化简（■-1）÷■
解：原式=■÷■=■×■=-1
点评：在分式的乘除运算中常遇到化简问题，在分式的加减运算中遇到通分问题.分式的化简通常归结为对多项式的分解，因此分式的化简是因式分解的重要应用之一.
三、 在解方程中的运用
例5.（2012年河北省中考题）用配方法解方程x■+4x+1=0，配方后的方程是（ ）
A.（x+2）■=3 B.（x-2）■=3 C.（x-2）■=5 D.（x+2）■=5
解：x■+4x+1=0
x■+4x=-1
x■+4x+4=-1+4
（x+2）■=3，故选A.
例6. （2011年安徽省中考题）一元二次方程x（x-2）=2-x的根是（ ）
A.-1 B.2 C.1和2 D.-1和2
简析：移项得x（x-2）+（x-2）=0
提公因式，得（x-2）（x+1）=0
解得x■=2，x■=-1，故选D.
例7.（2012年安徽省中考题）解方程x■-2x=2x+1
解：x■-4x=1
x■-4x+4=1+4
（x-2）■=5
x-2=±■
x■=2-■，x■=2+■
点评：将方程因式分解后再求解往往较容易.
四、 在几何求解中的运用
例8. （2012年陕西省中考题）如图1，PA、PB分别与O相切于点A、B，点N在PB上，且ON∥AP，MNAP，垂足为N.
①求证OM=AN；
②若O的半径R=3，PA=6，求OM的长.
简析： （1）如图，连接OA，
则OAAP
因为MN∥AP，所以MN∥OA
因为OM∥AP，所以四边形ANMO是矩形
所以OM=AN
（2）连接OB，则OBBP
所以OA=MN，OA=OB，OM∥AP
所以OB=MN，∠OMB=∠NPM
所以RtOBM≌RtMNP
所以OM=MP
令OM=x，则NP=9-x
在RtMNP中
x■=3■+（9-x）■
x■-（9-x）■=9
（x+9-x）（x-9+x）=9
2x-9=1
x=5，即OM=5.
五、 在概率求解中的运用
例9. （2010年云南大理、丽江、怒江、迪庆、临沧五地州中专题）四张质地相同并标有数字0、1、2、3的卡片（如图2所示）将卡片洗匀后，背面朝上放在桌面上，第一次任意抽取一张（不放回），第二次再抽取一张，用列表法或树状图求两次所抽卡片上的数字恰好是方程x■-5x+6=0两根的概率.
简析：x■-5x+6=0
（x-2）（x-3）=0
x■=2，x■=3
树状图
所以两次所抽卡片的数字是方程两根的概率是■=■.
六、在代数、三角方面的综合运用
例10.已知方程2x■-4sinθx+3cosθ=0的两根相等，且θ为锐角，求θ和这个方程的两根.
简析：由判别式Δ=0，得
16sin■θ-24cosθ=0
即2sin■θ-3cosθ=0
所以2（1-cos■θ）-3cosθ=0
2cos■θ+3cosθ-2=0
（2cosθ-1）（cosθ+2）=0
因为θ为锐角，cosθ+2≠0，所以2cosθ-1=0，得cosθ=■，于是θ=60°，
故方程的根是x■=x■=■=sin60°=■.
七、 在函数求解中的综合运用
例11.（2012年贵阳中考题）如图3，二次函数y=■x■-x+c的图像与x轴分别交于A、B两点，顶点M关于x轴的对称点是M′.
①若A（-4，0），求二次函数的关系式；
②在①的条件下，求四边形AMBM′的面积；
③是否存在抛物线y=■x■-x+c，使得四边形AMBM′为正方形.若存在，请求出此抛物线的函数关系式；若不存在，请说明理由.
简析：（1）把（-4，0）代入解析式y=■x■-x+c，得■×（-4）■+4+c=0，解得c=-12.
所以抛物线的解析式为y=■x■-x-12.
（2）由y=■x■-x-12可化成y=■（x-1）■-■，所以M点的坐标为（1，-■），M关于x轴的对称点M′的坐标为（1，■），对于y=■x■-x-12，令y=0，解得x■=-4，x■=6.
所以A、B两点坐标为（-4，0）、（6，0），则AB=10，MN′=25，由已知可得四边形AMBM′为菱形，S■=■AB×MM′=■×10×25=125.
（3）如果四边形AMBM′是正方形，则MM′垂直平分AB，且MM′=AB.
设A（x■，0），B（x■，0），AB=|x■-x■|=■，而x■、x■是方程■x■-x+c=0的两根，方程可变换为x■-2x+2c=0.
所以x■+x■=2，x■x■=2c
所以AB=■=2■
所以M点的坐标为（1，-■）.
把点M（1，-■）代入y=■x■-x+c，得-■=■-1+c，两边平方，解得c■=-■，c■=■.
当c■=■时，抛物线为y=■x■-x+■=■（x■-2x+1）=■（x-1）■.
顶点在x轴上，舍去.
故当c=-■时，使得四边形AMBM′是正方形.
点评：通过配方求二次函数的顶点坐标，两点之间的距离公式|x■-x■|=■=■的变形等都利用了配方法，在一切可以用上的场合要自觉地运用它去分析、处理问题，力求合理、迅速、准确地解题.