巧用等差数列前n项和公式Sn=An2+Bn解题

摘 要： 本文根据实例说明利用“S=An+Bn是{a}为等差数列的充要条件”这一结论，运用待定系数法，借助函数相关知识可以有效解决等差数列前n项和与第n项等相关问题.

关键词： 等差数列 前n项和公式 解题方法

等差数列{a}的前n项和为S=an+d，若令A=，B=a+则S=An+Bn；反之，数列{a}的前n项和若为S=An+Bn，则由a=S-S?摇?摇?摇n≥2S?摇?摇?摇?摇?摇?摇?摇?摇?摇?摇?摇n=1可得通项a=2An-A+B，进而得a-a=2A（常数），所以{a}是等差数列.

由上可知：S=An+Bn是{a}为等差数列的充要条件.若能运用这一结论，等差数列中一些涉及和与项的问题就能方便地得到解决.

例1.设S，T分别是等差数列{a}与等差数列{b}的前n项和，若对任意的n∈N都有=，则为?摇?摇?摇?摇?摇?摇?摇?摇.

解：{a}，{b}为等差数列，=，

令S=（7n+1）nt，T=（4n+27）nt，

求得a=（14n-6）t，b=（8+23）t，=，==.

分析：两个等差数列前n项和之比与第n项之比之间存在确定的函数关系.

例2.设S，S分别为等差数列{a}的前n项的和与前2n项和，若=，求.

解：{a}为等差数列，设S=An+Bn，S=4An+2Bn，

则a=2An-A+B,a=4An-A+B,

==，A=t-A+B=-t即A=tB=0，

==4.

分析：一个等差数列前n项和与前m项和之比和第n项与第m项之比之间存在确定的函数关系.

例3.设S，S分别是等差数列{a}的前n项和与前3n项和，a=1，是与n无关的定值，试求{a}的通项公式.

解：设S=An+Bn，则S=9An+3Bn，a=2An+（B-A），a=A+B=1，

据题意得：===k（常数）.

将此式整理为：A（1-8k）n+B（1-2k）=0，

与n无关，

A（1-8k）=0B（1-2k）.

将A+B=1代入可得

A（1-8k）=0（1-A）（1-2k）=0，解得A=0B=1k=或A=1B=0k=.

{a}的通项公式为a=1或a=2n-1.

分析：利用“S=An+Bn是{a}为等差数列的充要条件”这一结论解决相关问题时，常常要运用待定系数法.

例4.设S、S分别为等差数列{a}的前m项和与前k项的和，且S=p，S=q，（m，k∈N，m≠k），求：S，a+a.

解：设S=Am+Bm=p，S=Ak+Bk=q，

两式相减整理得：A（m+k）（m-k）+B（m-k）=p-q，

m≠k，A（m+k）+B=（1）

而S=A（m+k）+B（m+k）=（m+k）（2）

将（1）代入（2）得：S=，

又S=（a+a）（m+k），a+a==.

分析：本例还可得到下面几个推论：

（1）当p=q时，a+a=0，S=0；

（2）当q=m，p=k时，a+a=-2，S=-（m+k）；

（3）当p=q且a＞0时，

若m+k为偶数，则当n=时，S取得最大值，

若m+k为奇数，则当n=时，S取得最大值．

这是因为当p=q时，可由例4（1）式得到：B=-A（m+k）.

将其代入a=S=A+B，则a=A-A（m+k）=A［1-（m+k）］＞0.

1-（m+k）＜0（m，k∈N），A＜0，

在S=An+Bn中，n===，

n∈N，有以上结论.

从以上几条例题的解法可以看出，合理运用“S=An+Bn是{a}为等差数列的充要条件”这一结论，借助函数相关知识可以为解决相关问题提供一些帮助.

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