微积分在解决经济问题上的若干应用

摘要：19世纪末人们首次把数学应用于解决经济问题，至今数学已发展到与经济密不可分的状态了，任何经济问题都能通过建立数学模型来分析与求解，把经济管理数量化，为企业管理者提供决策的依据。本文主要讨论微积分在经济学中的应用，以企业经营中碰到的几个实际的例子，揭示出微积分对于经济分析数学化、定量化所起的强大作用。

关键词：微积分 边际分析 经济问题 决策

一、概述

17世纪90年代，人们首次把算术方法应用于经济学问题。时至今日，随着经济的蓬勃发展，数学与经济的关系已达到密不可分的状况了。人们的日常生活诸如购物、贷款、股票投资、竞赛选拔等，都可借助数学模型来做出理想的决策。在计算机的辅助下建立数学模型解决诸如生产规划、工程设计、物流分配、人事管理、商业销售等复杂问题能得到合理、准确、可靠的结果。任何一项经济学的研究也都离不开数学的应用。本着理论要应用于实际的原则，本文在经济分析、经济管理、经营决策等方面引入微积分，解决实际问题。

二、导数在经济分析中的应用

（一）边际分析

1. 边际函数的定义

在经济学中，经常会遇到边际这一概念，如边际需求、边际成本、边际收入、边际利润等。从数学角度看，经济学中的边际问题就是相应的经济函数的变化率（或变化速度）问题，即因变量对自变量的导数称为“边际”。它表示自变量增量为1个单位时，因变量的增量就是边际量。但值得注意的是：对于现实生活中的经济函数，其自变量的取值一般是不连续的（即离散的）量。因此在应用导数这个工具去分析问题时，必须将“离散”的量看作“连续”的量（可导必连续），但是在对求导的结果进行经济解释时，又须将“连续”的量作为“离散”的量来看待，而且它们的最小变化是一个单位。

经济学中常用的边际函数：

（1）边际需求。设需求函数Q=Q（p）（p为价格），则■=Q’（p）称为边际需求函数，记作MQ。它表示需求的变化率，即当价格为p时，若再上涨1个单位价格，则需求量将增加MQ个单位。

（2）边际成本。设总成本函数C=C（q）（q为产量），则■=C’（q）称为边际成本函数，记作MC。它表示成本的变化率，即当产量为q时，若再生产1个单位产品，则总成本将增加MC个单位。

（3）边际收益。设总收益函数R=R（q）（q为产量），则■=Q’（q）称为边际收益函数，记作MR。它表示收益的变化率，即当产量为q时，若再销售1个单位产品，则总收益将增加MR个单位。

（4）边际利润。设总利润函数L=L（q）=R（q）-C（q）（q为产量），则■=R’（q）-C’（q）称为边际利润函数，记作ML。它表示利润的变化率，即当产量为q时，若再销售1个单位产品，则总利润将增加ML个单位。由于L=L（q）=R（q）-C（q），所以■=■-■，即ML=MR-MC。

如果 ML>0，即MR>MC，边际收益大于边际成本，其经济意义为：在产量为 Q 时再生产 1 个单位产品多带来的收益增加量大于再生产 1 个单位产品多带来的成本增加量。这时，增加产出是有利的，可以使利润增加。相反，如果 ML

2.关于边际分析的例题

例1：厂家生产Q（吨）某种产品的总成本C（万元）是产量q的函数，C（q）=0.2q2+5q-5，求：（1）产量为20吨时的平均成本；（2）产量为20吨时的边际成本，并解析其经济意义。

解：（1）C（20）=■=■=8.72（万元）

（2）■+0.4q+5，■q=20=0.4×20+5=13（万元）

其经济意义为：当产量为20吨时，再增加1吨，总成本增加13万元。

（二）最优化分析

1.关于经济变量的最值分析

围绕着利益最大化，各企业在经济管理中总是要考虑关于怎样才能最节省材料、怎样才能达到最低生产成本、怎样才能产生更高的效益、怎样才能使企业利润达到最大化等众多问题，这类问题称为经济变量的最优化分析。利润是衡量企业经济效益的一个主要指标。在一定的设备条件下，如何安排生产才能获得最大利润，这是企业管理中的一个现实问题。数学上，这些经济问题的解决就相当于对最大值、最小值的求解。利用函数将一个经济变量用另一个经济变量来表示，然后利用导数这一工具来求解最值，便能快速有效地解决此类问题。

2.关于最优化分析的例题

例2：某厂生产某种产品的固定成本为5万元，每生产一件产品的成本为300元。产品出厂价格P是产量q的函数，P（q）=1000-0.2q，求达到最大利润时的产能以及最大利润为多少？

解： 由题意可知，成本函数为：C（q）=300q+50000

收入函数为：R（q）=（1000-0.2q）q

故利润函数为：L（q）=R（q）-C（q）=-0.2q2+700q-50000

L’（q）=-0.4q+700，令L’（q）=0解得：q=1750（件）

L’（1750）=-0.4

驻点是唯一的，而且利润有最大值。

此驻点q=1750就是利润最大值的点。

故最大利润L（1750）=562500（元）

（三）弹性分析

1.弹性的概念

弹性又称弹性系数，用以描述一个经济变量对另一个经济变量的变化的反应速度。若设关于某两个经济变量的函数为y=f（x），当自变量增量为x，因变量增量为y，则因变量y对自变量x的弹性函数定义为？浊=■■=■■。以需求弹性为例，它指的是由于价格的变化而给商品的需求量造成的影响程度，即设需求函数Q=Q（P）（P为价格），则需求价格弹性为？浊=■■。一般情况，Q=Q（P）是关于价格P的单调减函数，所以？浊

2.关于弹性分析的例题

例3：某商品的需求函数为Q=120-20P，求需求弹性函数并描述当P=5时需求弹性的经济意义。

解： 由题意可知，？浊=■■=（-20）■=■

当P=5时，Q=120-20×5=20，？浊=■=-5

所以当价格为5时，需求为20。此时若价格提高（下降）1%则需求量下降（提高）5%。

三、微分方程在经济分析中的应用

为了研究经济变量之间的联系及其内在规律，常常需要建立某一经济函数及其导数所满足的关系式，并由此确定所研究函数的形式，从而根据一些已知的条件来确定该函数的表达式。数学上就是建立微分方程并求解微分方程。以下列举经济中的实例，着重讨论其经济数量关系。

例4：某商品的需求量x对价格p的弹性为-pln3，若该商品的最大需求量为1200（即 元时，x=1200千克）。试求需求量x与价格p的函数关系，并求当价格为1元时市场上对该商品的需求量。

解： 由题意可知，■■=-pln3

即■=-xln3

分离变量解此微分方程■=-ln3dp

两边积分可得lnx=-pln3+C，

即x=C-e-pln3=C・3-p。

p=0时，x=1200 C=1200

x=1200・3-p

故当价格p=1时，市场上对该商品的需求量为x=1200・3-1=400（千克）。

四、积分在经济分析中的应用

在经济生活中，经济总量及变动值影响着企业经营者的经营决策，将经济总量变动值进行对比和分析，及时调整企业的经营决策对于企业发展起着非常重要的作用。数学上，已知边际函数求原函数一般采用不定积分来解决，或求一个变上限的定积分。如果求原函数在某个范围的改变量，则采用定积分来解决。

例5：厂家生产q个零件的边际成本C’（q）=0.2q+5，其固定成本为3000元，每个产品价格为125元。试求：（1）产量为多少时利润最大？最大利润是多少？（2）在最大利润产量的基础上再生产100件，总利润将发生怎样的变化？

解：（1）总成本函数为：C（q）=■0.2q+5dq+3000=0.1q2+5q+3000，

收益函数为：R（q）=125q，

则利润函数为：L（q）=R（q）-C（q）=-0.1q2+120q-3000，

L’（q）=-0.2q+120，令L’（q）=0解得q=600（件），

L’（q）=-0.2

L（600）=-0.1×6002+120×600-3000=33000（元）

即产量为600件时利润最大，利润最大为33000元。

（2）L=■（-0.2q+120）dq=-1000（元），

即在产量为600件的基础上再生产100件，总利润将减少1000元。

五、微积分为经营投资提供合理决策

企业的日常运营需要不断进行各种大大小小的决策，其中投资决策、财务决策则是运营的核心所在。要解决如何合理安排生产量、合理调配资源使利润达到最大化，就必须要做出最佳决策。在讨论投资决策前，必须引入两个重要的概念：终值与现值。

（一）终值与现值的概念

终值（又称将来值）是现在一定量的资金折算到未来某一时点所对应的金额。若有资金P元，按年利率i做连续复利计算，可得t年末的本利和为Peit元，我们称Peit为P元资金在t年末的终值。

现值是未来某一时点上的一定量资金折算到现在所对应的金额。若现在投入资金x元，且按年利率i做连续复利计算，t年末得到本利和P元（即有P=xeit），则x=Pe-it称为t年末资金P的现值。

设在时间区间[0，T]内t时刻的单位时间收入为R（t）（或称收入率），按年利率为i做连续复利计算，则有：终值=■R（t）e（T-t）idt，现值=■R（t）e-itdt。一般地，若收入率R（t）=A（A为常数），称此为均匀收入率。

（二）关于投资决策的例题

例6：某厂家需要一台新科技的机床（使用寿命为10年）来提高产能，联系了机床的经销商后得到了两种方案：①直接购买，费用为80万元；②租用，每月租金为1万元。若资金的年利率为6%，以连续复利计算，试决策：是购买机床合算还是租用机床合算？

解：每月租金为1万元，收入率R（t）=1

由题意知，机床使用寿命为10年，即租期为120个月，年利率为6%，即月利率为0.5%，故有：现值=■1-e-0.005tdt

=-■■e-0.005td（-0.005t）

=-200e-0.005t■

=200（l-e-0.5）

≈90.2（万元）

因此，现值90.2万大于现价80万元，在资金不太紧缺的情况下，厂家还是购买机床要合算一些。

六、结束语

以上六个讨论微积分在经济学中应用的例子只是微积分经济应用的一小部分，但从中也能深刻地揭示出微积分对于经济分析数学化、定量化所起的强大作用。总之，微积分是探索经济规律，分析经济现象的重要工具，运用得当便能为企业经营者提供精确的数据，为企业决策提供客观、合理的数据支持。数学的发展源于经济，却又实实在在地为经济服务。

参考文献：

[1]程祖瑞.经济学数学化导论[M]，北京，中国社会科学出版社，2003.

[2]徐建豪，刘克宁，易风华，辛萍芳.经济应用数学[M].高等教育出版社，2003.

[3]赵昕.浅析微积分在经济中的教学[J].考试周刊，2012（1）.

[4]李桂荣.微积分在财务核算中的应用研究[J].时代经贸，2007（12）.

（责编 赵建荣）