例析三角函数中常见的解题错误

在教学中，发现学生在做三角函数题目时经常出现一些常见错误，下面就学生在解三角函数题目中出现的一些错误进行浅析：

一．判定函数的奇偶性时，首先要判定函数定义域是否关于原点成中心对称

例1．判断函数 的奇偶性。

错解

又函数是奇函数，所以f(x)是奇函数。

错误分析：定义域在数轴上关于对称，是函数具有奇偶性的必要条件，所以判定函数的奇偶性时，首先要判定函数定义域的对称性。事实上，例1中函数的定义域为{x1x∈R,但x≠kπ-■且x≠（2k+1）π，k∈Z}，这个定义域关于原点不对称，所以f(x)既不是奇函数，又不是偶函数。导致例1错误的原因在于最后的“约分”步骤是一个非等价变换，它扩大了x的取值范围，要注意“恒等变换”常常不是等价变换，所以处理有关函数问题时，对函数式的化简要慎重对待。

二．讨论函数的单调性时，要注意区分象限角与区间角

例2．命题甲：“x是第一象限角”；命题乙：“sinx是增函数”。则命题甲是命题乙的（ ）

（A）充分但不必要条件（B）必要但不充分条件

（C）充要条件（D）既不充分又不必要条件

错解：因为由“x是第一象限角”可以推得“sinx是增函数”，故选（A）。

错误分析：函数的单调性是函数在某区间上的性质，要注意“象限角”与“区间角”的区别。命题“sinx在（0， ）是增函数”是真命题；而命题“sinx在第一象限是增函数”是假命题。事实上，■与2π+■都是第一象限角，且 ，因此选A是错误的。例2的正确答案应为（D）。

三．在三角函数的“给值求值”问题中，不要遗漏角的终边与坐标轴重合的情形

例3．设cosφ=m(|m|≤1)，求角φ的其它三角函数值。

错解：（1）若角φ是第一或第二象限角，则有

（2）若角φ是第三或第四象限角，则有

错误分析：由于|m|≤1，所以角φ的终边既可以在任何象限内，也可与坐标轴重合。在分类讨论时，不应遗漏角φ的终边与坐标轴重合时的情形。上面的解答不完整，应补充以下两种情形：

（3）若角φ的终边落在x轴上，即φ=kπ(k∈Z)则有

sinφ=tgφ=0,secφ=+1,而cscφt和tgφ的值不存在。

（4）若角φ的终边与y轴重合，即，则有

ctgφ=0,sinφ=cscφ=+1,secφ和tgφ和值不存在。

四．在三角函数的“给角求值”问题中，要注意恰当选用公式

例4．cos150cos750的值是_____________。

错解：原式错误分析：三角函数的“给角求值”的题目，解题途径很多，若公式选用不当，必然事倍功半。本题的解答由于公式选用不当，不仅浪费了时间，而且答案从形式上看与标准答案相差甚远。在考试中，这类错误经常出现并影响得分。本题的正确答案是：

原式

五．三角函数图象作相位变换时，要注意平移的距离是针对自变量x而言的

例5．为了得到函数的图象，只需把函数y=sin3x的图象（）

（A）向左平移 个单位（B）向左平移 个单位

（C）向右平移 个单位（D）向右平移 个单位

错解：因为由y=sinx的图象向左平移 个单位得到的图象，所以将y=sin3x的图象向左平移 个单位得到的图象，

故选（A）。

错误分析：函数图象“左右平移”，即相位变换，平移的距离是相对解析式中自变量x而言的，而不是相对3x而言的。因为，所以将y=sin3x的图象向左平移个单位即可得到y=sin(3x+ )的图象，故应选（B）。

一般地，将函数y=sinωx的图象向左或向右平移||个单位（当>0时向左平移，当

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