准确把握概念教学的“度”

【关键词】概念教学 分解因式 课堂教学

【中图分类号】G 【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2013）12B-0064-02

前不久，学校组织数学课公开教学活动，有位老师执教北师大版义务教育课程标准实验教科书八年级数学（下）第二章第一节《分解因式》，部分课堂实录节选如下：

……

师：判断下列各式从左到右的变形，是否为分解因式：

（1）a（x+y）=ax+ay

（2）ax2-9a=a（x+3）（x-3）

（3）x2+x+1=x（x+1）+1

（4）x2+2x+1=（x+1）2

生：（1）（3）不是分解因式，（2）（4）是分解因式。

……

师：再看看下列各式从左到右的变形，是因式分解吗？

（1）6+3a=3（2+a）

（2）a4-b4=（a2+b2）（a2-b2）

生：（1）和（2）都是分解因式。

师：其他同学有意见吗？再想一想。

生：按书上分解因式的定义“把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式”来判断，这两个式子，一定是分解因式。

师：严格来说，这两个式子都不是分解因式。

生：但书上是这样说的啊。

……

事实上，老师和学生的说法都没错。一是对分解因式严格的要求是：①分解的结果要以积的形式表示；②每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数；③必须分解到每个多项式因式不能再分解为止。其中要求③与分解因式所在的数集有关。本学段仅限于在有理数范围内分解因式。二是实际上书上对分解因式的定义并不严格，课本上这样处理主要是新课标在有意淡化概念形式，而更加注重了概念形成的教学过程。淡化概念，并非指概念不重要，更不是说在教学过程中可以忽视概念，而是要求我们要讲求实效，淡化概念的形式，注重其实质过程。这就要求教师在实际的课堂教学中，要准确把握教材中对概念教学的目标要求，深入领会概念的内涵和外延，在教学概念时做到有的放矢。

通过对数学课程目标对概念教学的要求的探讨以及对目前概念教学的现状的分析，笔者认为以下几点值得思考：

一、重视概念的引入，激发学生对概念的探究

新课标指出“要让学生经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程”。概念引入，就是引导学生发现实际问题中的数学成分，并对这些成份做符号化处理，把一个实际问题转化为数学问题，或者在数学范畴之内对已经符号化了的问题做进一步的抽象化处理，发展为完善、合理的数学框架。

例1 无限不循环小数叫做无理数。

[分析]无限不循环小数学生都知道，但怎样跟无理数挂钩、画等号，这就有了难度。于是，我们可以由以下学生熟悉的“问题串”，利用学生的已有知识和生活经验，引导学生进行观察、分析，突出无理数的本质属性。

问题1 有两个边长为1的正方形，通过剪、拼，你能得到一个大的正方形吗？这个大的正方形面积是多少？如果大正方形的边长为x，x可能是整数吗？x可能是分数吗？是有理数吗？你认为x是一个什么样的数？

问题2 我们刚学过勾股定理，如果直角三角形的两直角边分别是1和2，斜边是y，y满足怎样的条件？y可能是整数吗？y可能是分数吗？是有理数吗？你认为y是一个什么样的数？

二、注重概念的本质，加强学生对概念的理解

对于一些比较抽象而又十分重要的数学概念，教师要注意引导学生了解概念的必要性、合理性，初步揭示它的内涵和外延，引出概念，并要深化概念的理解，运用概念解决一些实际问题。

例2 一般的，在某个变化过程中，有两个变量x和y，如果给定一个x值，相应地就确定了一个y值，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量。

[分析]函数是学生最难理解的概念之一，而变量和对应关系则是理解函数这一概念的核心，学生是否完全理解“变量”和“对应关系”直接影响到学生对函数概念的准确把握，因此这里宜通过较多的实例让学生充分领悟。

问题1 汽车在某段公路上以60km/h的速度匀速前进。填写下表并回答问题：

（1）这是一个什么问题？这个问题中有几个量？这些量中哪些是变化的，哪些是固定不变的？（引入变量的概念）

（2）在这个问题中，两个变量之间有什么联系？能用代数表达式表示吗？（引入函数的关系式）

（3）在这个问题中，给t取一个值，s会怎样变化？给t取不同的值，s将会怎样变化？（引入对应关系）

问题2 一棵树现在高50厘米，以后每个月长高2厘米，x月后这棵树的高度为y（厘米）。你能写出y与x之间的关系式吗？y是x的函数吗？

三、注重联系概念的生活原型，对概念作出合理的解释

数学概念都是从现实生活中抽象出来的，如正负数、线段、直线、射线、数轴、直角坐标系、函数、角、平行线等，都是由于科学与实践的需要而产生的。讲清它们的来源，并与实物作比较，这样学生既不会感到抽象，也容易形成生动活泼的生活知识。

例3 绷紧的琴弦、人行横道线都可以近似地看做线段，线段有两个端点。

[分析]数学中这些概念用描述性的语言文字，并非一定严格，教师的主要任务是帮助学生完成由感性认识到理性认识的过渡，或者是帮助学生将新材料与原有认知结构进行实质性的联系。所以，在数学概念的教学中，只要学生能理解，会应用就可以算是达到教学的目标了。

四、注重概念生成过程教学，淡化概念的形式

对有些规定性概念，我们要改变过去过分追求形式化的做法，既不要刻板、僵化地处理概念，也不要在概念的叙述上花费过多的时间，而是着重于概念的形成过程和领会应用。

例4 关于“零指数”，我们规定：a0=1（a≠0）。

[分析]这里明确“零指数”的定义是规定的，所以教学目标不仅要包括了解“零指数”的“规定”、会进行简单的计算，还要包括感受这个“规定”的合理性，并在这个过程中学会数学思考、感悟理性精神。

问题 计算并观察和思考： ，而a5÷a5=a0。你能得到什么结论？

让学生经过猜想、验证，体验到这种规定的合理性，经历这个规定的生成过程是非常有意义的。

在新课程改革实践中，紧密联系学生的生活环境、经验，创设一个动手实践、自主探索、合作交流的学习情境，经过观察、操作、归纳、类比、猜测、交流、反思等数学活动，让学生在现实情境中体验和理解数学概念，获得基本的数学知识和技能，从而发展学生的思维能力。

（责编 林 剑）