见到图形 想到性质解决问题

【摘要】初中平面几何是初中数学中比较重要的一块内容，然而，在实际教学中却是教师难教、学生难学。因此，对平面几何的有效学习，值得广大师生探讨。

【关键词】平面几何；学习方法；探讨

平面几何是研究平面内几何图形性质的科学，既平面图形的形状、大小和位置关系。怎么研究呢？主要是应用推理论证的方法，也就是说，从题设出发，根据已经学过的定义、公理和已经证明过的定理推导出结论。学习平面几何既是研究图形性质，那么就应更好地做到“见到图形，想到性质”，进而解决问题，下面举例来说明。

例1：如图所示，分别以RtABC的直角边AC、BC为边，在RtABC外作两个等边三角形ACE和BCF，连结BE、AF，求证：BE=AF。

分析：

（1）看到这里，见到了图形（等边三角形和直角三角形），就应该想到它们的性质：

①FB=BC=CF，∠FBC=∠BCF=∠CFB=600；

②CA=AE=EC，∠CAE=∠AEC=∠ECA=600；

③∠ACB=900，∠CBA+∠CAB=900。

（2）要证的问题为BE=CF，通过观察图形可知，BE和AF分别在ACF和BCE中，所以，只须证明ACF≌BCE，即可解决问题。而要证ACF≌BCE，就要用到三角形全等的判定：

①边边边；

②边角边；

③角边角；

④角角边；

⑤斜边直角边；

（3）有关等边三角形的性质及全等三角形的判定都已列出来，下面就用这些知识解决问题。

将已知条件和罗列出来的性质一个一个地观察，ABC为Rt，有∠BCA=900，这时再把ACF和BCE联系起来看，由于两个三角形都是等边三角形，所以FC=BC，∠BCF=600，CA=CE，∠ACE=600。此时已有两组对边对应相等了，根据两个三角形全等的判定方法，只须找出它们的夹角相等即可，而∠ACF=∠BCA+∠BCF=900+600=1500，∠BCE=∠BCA+∠ACE=900+600=1500，两个三角形满足边角边对应相等，所以ACF≌BCE，进而BE=AF。

例2：在RtABC中，∠ACB=900，D是AB边上的一点，以BD为直径的O与边AC相切于点E，连结DE并延长与BC的延长线交于点F，求证：BD=BF。

分析：

（1）这道题的条件有圆、有直径、有切线、有垂直关系，在解题时，应该逐条认真地研究这些条件。

（2）看到这里，我们见到了图形（RtABC，AC为O的切线），就应该想到它们的性质，而且要想得全。

①圆的切线垂直于经过切点的半径；

②切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分切线的夹角；

③弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角，如果两个弦的弦切角所夹的弦相等，那么两个弦切角也相等；

④切割线定理；

⑤直径所对的圆周角为直角；

⑥ABC为Rt，则∠ACB=900，∠A+∠ABC=900。

（4）将这些性质罗列出来，好处有很多：

①这些定理和性质是分章节学习的，现在归结在一起，没有遗漏，便于掌握；

②每一次遇到圆的切线，就复习一遍，随着时间的推移，熟练程度就高了。

（5）既然有关圆的切线的性质都列出来了，下面就用这些知识解决问题。

方法一（用弦切角性质）：因为∠AED是弦切角，希望找到弧DE所对的圆周角，连结BE，则∠AED=∠ABE，在O中BD为直径，那么∠ABE+∠BDF=900，而∠AED=∠CEF（对顶角相等）。ABC为Rt，有∠F+∠CEF=900，即∠F+∠AED=900，所以∠ABE+∠BDF=∠F+∠ABE=900，即∠F+∠AED=900，所以∠ABE+∠BDF=∠F+∠ABE=900，则∠BDF=∠F，有BD=BF。

方法二（用切线性质）：连结OE，由于AC为O的切线，E为切点，所以OEAC，ABC为Rt，而ACBF，有OE∥BF，（此时，就应想到两直线平行，同位角或内错角相等），于是∠F=∠OED，而∠OED=∠ODE，所以∠F=∠ODE，有BD=BF。

综上所诉，见到一个图形，根据图形的性质（已学过的定义、公理、定理等）能推就推，能算就算，这就扩大了“已知”的东西，提供了继续推理论证的依据，这就叫“见到图形 想到性质”。

在使用“见到图形 想到性质”解决实际问题时，应注意以下几点：

①要想的全，想的细，用时才能挑选；

②从已知向后推（综合法），并且还要善于从求证提希望（分析法），双管齐下，前呼后应，有利于问题的解决。

只有这样有的放矢，有计划有目的地逐章逐节地、持之以恒地坚持训练，就一定能熟练地做到“见到图形 想到性质”，同时，还要能熟练地运用条件性质思考分析问题，这样就一定能轻松解决问题，学好平面几何。