准确区别两种问题情境

例 设袋子中装有3个红球、2个黄球、1个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分.现从该袋子中任取（有放回，且每球取到的机会均等）2个球，记随机变量为取出此2球所得分数之和.求的分布列.

错解： 的取值为2，3，4，5，“=2”表示“取到2个红球”，“=3”表示“取到1个红球、1个黄球”， “=4”表示“取到2个黄球或1个红球、1个蓝球”，“=5”表示“取到1个黄球、1个蓝球”. P（=2）==，P（=3）==，P（=4）=+=，P（=5）==. （的分布列略）

错因： 混淆了“有放回”和“无放回”两种情境.

从袋子中有放回地取出2个球，意味着每个球都有可能被取到2次，包括唯一的一个蓝球，那么的取值应为2，3，4，5，6.

因为是有放回地取球，当=2时，两次取到的红球有可能是同一个，所以P（=2）==.同理可知，错解中求得的P（=3），P（=4），P（=5）也有误.

由于没有正确理解“有无放回”取球类型的各自特点，将“有放回”情境当作“无放回”情境，导致了上述解法的错误.

正解： 当两次取到的球分别是红红时，P（=2）==；当两次取到的球分别是红黄、黄红时，P（=3）=+=；当两次取到的球分别是黄黄、红蓝、蓝红时，P（=4）=++=；当两次取到的球分别是黄蓝、蓝黄时，P（=5）=+=；当两次取到的球分别是蓝蓝时，P（=6）==. （的分布列略）

“有放回”与“无放回”是高考概率问题中两种最基本的情境.下面，我们再来具体地总结一下这两种情境的特点和解答策略.

“有放回”取球： 必须“逐次取”且可“重复取”，可以理解为独立重复试验，用古典概型公式计算.例题的正解就是这种解法.

“无放回”取球： 既可逐次取球，也可一次性取球.

（1） 逐次取： 相当于有顺序地取出“不同的球”，故其结果就是一个排列，可以用排列数公式计算. 在同一类球中取，用排列数公式计算；在不同类球中取，采用分类、分步计数原理计算.

比如，将例题中的“有放回”改为“无放回”，那么P（=3）==，其中，之所以乘“”，是由于“先取红球后取黄球、先取黄球后取红球”的分类.

（2） 一次性取： 结果相当于一个组合，可以用组合数公式算.在同类球中取，用组合数公式算；在不同类球中取，采用分步计数原理算（因不再考虑顺序，故此时不用分类计数原理求解）.

将例题中“有放回”改成“无放回”后，若考虑一次性取球，则P（=2）==，P（=3）==.

解答步骤：

第一步：明确究竟是“有放回”情境还是“无放回”情境.

第二步：慎重选择方法求解.

若是“有放回”情境，则直接用古典概型公式求解.

若是“无放回”情境，则可分别按“逐次取”或“一次性取”，从排列或组合角度出发求解.

【练一练】

已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分.现从该箱中一次性任取（无放回，且每球取到的机会均等）3个球，记随机变量X为取出3球所得分数之和.求X的分布列.

【参考答案】

解： 题目是“无放回”情境，且为一次性取球.因在不同类球中取，所以应采用分步计数原理计算.

X=3，4，5，6. P（X=3）==，P（X=4）==，P（X=5）==，P（X=6）==.故所求X的分布列为