时间：2022-04-21 08:35:43
――多边形外角和性质的应用
我们知道，“任意多边形的外角和等于360°在求解涉及多边形的角的问题时，若能把多边形的“内角”问题转化为“外角”问题来处理，则往往可以收到化繁为简、化难为易之效果。
一、求多边形的边数
例1已知-n边形的每一个内角都等于162°，求该多边形的边数n。
思路导引：先求该多边形的每一个外角的度数，再用多边形的外角和除以每一个外角的度数得多边形的边数。
解答：因为n边形的每一个内角都等于162°，
所以该n边形的每一个外角等于1800°-1620°＝180°，
因为任意多边形的外角和等于360°。
所以该多边形的边数n＝360°/18°＝20，
二、求多边形的周长
例2小敏在课外活动期间制作了一个简单的机器人，小敏遥控它每前行2m就向右30°，问该机器人需要走多少路程才回到原地?
思路导引：可先根据题意画出草图，确定出该机器人所走过的路径为一正多边形，再据条件求出多边形的边数，进而求出其周长，也就是该机器人需要走的总路程。
解答：根据题意可知：该机器人所走过的图形是一个外角为30°的正n边形。由多边形的外角和性质得：30°×n＝360°，解得n＝12。
所以该机器人回到原地需要走的总路程为：2×12＝24(m)。
三、求多边形的内角度数
例3各角都相等的十五边形的每一个内角的度数等于____。
思路导引：可先求出每一个外角的度数，再利用外角与相邻的内角互补求出每一个内角的度教。
解答：因为该十五边形各(内)角都相等，所以它的各外角也相等。
又因为多边形的外角和等于360°，
所以，该十五边形的每个外角为：360°/15=24°，
所以，该十五边形的每一个内角的度数为：180°-24°=156°。
四、求多边形的内角和
例4已知一个多边形的每一个外角都等于36°，则这个多边形的内角和为____。
思路导引：先根据多边形外角和性质及条件求出该多边形的边数，再求其内角和。
解答：因为多边形的外角和等于360°，
所以，该多边形的边数为：360°/36°＝10，
所以多边形的内角和为：(10-2)×180°＝1440°。
五、判断多边形中锐角的个数
例5在一个多边形中它的内角最多可以有几个是锐角?
思路导引：考虑多边形的外角中最多有几个钝角.
解答：因为多边形的外角和为360°。
所以多边形的外角中最多有3个钝角；
所以多边形的内角中最多有3个锐角。
六、判断多边形中小于某一指定角的个数
例6在凸多边形中，小于108°的内角最多有( )。
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
思路导引：考虑凸多边形的外角中大于72°的角最多有几个。
解答：因为多边形的外角和为360°。
所以多边形中人于72°的外角不能多于4个；
所以多边形中小于108°的内角最多有4个，故选B。
七、求最值
例7凸多边形中，有且只有3个钝角，则这个多边形的边数的最大值是____，最小值是____。
思路导引：考虑多边形最多有几个外角。
解答：因为题中多边形的内角中有且只有3个钝角，
所以该多边形的外角中有且只有3个锐角。
又由例5知：多边形的外角中最多有3个钝角，
所以该多边形最多有6个外角，
因此，满足条件的最大值是6，最小值是4。
评注：由于内角中“有且只有3个钝角”，所以这个多边形不能是三角形，只有四边形的内角中才能有3个钝角。