巧用点差法公式解决中点弦问题

解析几何中的圆锥曲线是高考的重点、难点和热点，而其中的计算往往是非常困难的。解题过程中，常设一些量而并不解出这些量，利用这些量架起连接已知量和未知量的桥梁从而问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。“点差法”是一种常见的设而不求的方法，是由弦的两端点坐标代入圆锥曲线的方程，得到两个等式，两式相减，可以得到一个与弦的斜率及中点相关的式子，再结合有关条件来求解，这就可以降低解题的运算量，优化解题过程。

一、抛物线

【规律探踪】在抛物线y2=2mx（m≠0）中，若直线l与抛物线相交于M、N两点，点P（x0，y0）是弦MN的中点，弦MN所在的直线l的斜率为kMN，则kMN・y0=m。

注意：能用这个公式的条件：①直线与抛物线有两个不同的交点；②直线的斜率存在.

例1设A（x1，y1），B（x2，y2）两点在抛物线y=2x2上，l是AB的垂直平分线。

⑴当且仅当x1+x2取何值时，直线l经过抛物线的焦点F？证明你的结论。

⑵当x1=1，x2=-3时，求直线l的方程。

解析：⑴x2=12y，p=14，F（0，18）。

设线段AB的中点为P（x0，y0），直线l的斜率为k，则x1+x2=2x0

若直线l的斜率不存在，当且仅当x1+x2=0时，AB的垂直平分线l为y轴，经过抛物线的焦点F。

若直线l的斜率存在，则其方程为y=k（x-x0）+y0，kAB=-1k。

由1kAB・x0=p得：-kx0=14，x0=-14k。

若直线l经过焦点F，则得：18=-kx0+y0=14+y0，y0=-14，与y00相矛盾。

当直线l的斜率存在时，它不可能经过抛物线的焦点F。

综上所述，当且仅当x1+x2=0时，直线l经过抛物线的焦点F。

⑵当x1=1，x2=-3时，A（1，2），B（-3，18），x0=x1+x22=-1，y0=y1+y22=10.

由1kAB・x0=p得：k=14。

所求的直线l的方程为y=14（x+1）+10，即x-4y+41=0

二、椭圆

【规律探踪】在椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）中，若直线l与椭圆相交于M、N两点P（x0，y0），点是弦MN的中点，弦MN所在的直线l的斜率为KMN，则KMN・y0x0=b2a2。

例2已知椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右焦点分别为F1、F2，离心率e=22，右准线方程为x=2。

⑴求椭圆的标准方程；

⑵过点F1的直线l与该椭圆相交于M、N两点，且|F2M+F2N|=2263，求直线l的方程。

解：⑴根据题意，得e=ca=22 x=a2c =2

a=2，b=1，c=1。所求的椭圆方程为x22+y2=1.

⑵椭圆的焦点为F1（-1，0）、F2（1，0）。设直线l被椭圆所截的弦MN的中点为P（x，y）。

由平行四边形法则知：F2M+F2N=2F2P。

由|F2M+F2N|=2263得：|F2P|=263。

（x-1）2+y2=269.…………………………………①

若直线l的斜率不存在，则lx轴，这时点P与F1（-1，0）重合，|F2M+F2N|=|2F2F1|=4，与题设相矛盾，故直线l的斜率存在.

由kMN・yx=-b2a2得：yx+1・yx=-12.

y2=-12（x2+x）.……………………………………②

②代入①，得（x-1）2-12（x2+x）=269.

整理，得：9x2-45x-17=0；解之得：x=173，或x=-23。

由②可知，x=173不合题意。

x=-23，从而y=±13；k=yx+1=±1.

所求的直线l方程为y=x+1，或y=-x-1。

三、双曲线

例3设A、B是双曲线x2-y22=1上两点，点N（1，2）是线段AB的中点。

⑴求直线AB的方程；

⑵如果线段AB的垂直平分线与双曲线相交于C、D两点，那么A、B、C、D四点是否共圆，为什么？

解析：⑴a2=1，b2=2，焦点在x上；由kAB・y0x0=b2a2得：kAB・2=2，kAB=1。

所求的直线AB方程为y-2=1・（x-1），即x-y+1=0。

⑵设直线CD的方程为x+y+m=0，点N（1，2）在直线CD上，

1+2+m=0，m=-3。直线CD的方程为x+y=0。

又设弦CD的中点为M（x，y），由KCD・yx =b2a2 得：-1・yx=2 ，即y=-2x。

由x+y-3=0y=-2x得x=-3，y=6。点M的坐标为（-3，6）。

又由x+y+3=0x2-y22=1得A（1，0）.B（3，4）

由两点间的距离公式可知：|MA|=|MB|=|MC|=|MD|=210。

故A、B、C、D四点到点M的距离相等，即A、B、C、D四点共圆。

（作者单位：浙江省金华市艾青中学321015）