初等变换在矩阵计算中的运用

[摘要]本文总结了高等代数中矩阵的初等变换的几种应用:求逆矩阵;求解矩阵方程;求矩阵的秩和求解线性方程组,并通过实例加以说明。

[关键词]矩阵初等变换 逆矩阵 矩阵的秩 线性方程组

[中图分类号]O151[文献标识码]A[文章编号]1009-5349(2010)05-0067-02

前言

线性代数是高等数学的一个重要分支,而矩阵理论则是线性代数的主要内容和重要基础,在科学决策、工程技术等方面都有着广泛的应用。其中,矩阵的初等变换则是贯穿矩阵理论的始终,在线性代数中起着重要的作用。因此本文主要介绍矩阵初等变换的几种应用。

一、矩阵初等变换的概念

1.交换矩阵的两行(列);

2.以一个非零的数乘矩阵的某行(列),即用一个非零的数乘矩阵某一行(列)中的每一个数;

3.用一个非零的数乘矩阵的某行(列)加到另一行(列),即用某一个非零的数乘矩阵的某一行(列)的每一个元素加到另一行(列)的对应元素上。

二、矩阵初等变换的应用

(一)用初等变换求逆矩阵

在矩阵理论中,逆矩阵占了一个很重要的地位,因此如何求逆矩阵就变得十分重要。通常,我们可以用矩阵的初等变换或者利用伴随矩阵来求逆矩阵,但是如果利用伴随矩阵来计算n阶矩阵的逆矩阵,就必须计算n2+1个行列式,过程相当复杂,因此常用的方法就是矩阵的初等变换。对于任意矩阵A,求逆矩阵A-1的过程如下:

1.用一个与矩阵A同阶的单位矩阵E与A组成一个n×2n矩阵(A:E)

2.利用矩阵初等变换法则,将矩阵(A:E)的左半部分化为单位矩阵,此时其右半部分即为A-1,即

例1.求矩阵A=的逆矩阵。

(二)用初等变换求解矩阵方程

常见的矩阵方程形如XA=B,AX=B与A×B=C,若A,B均可逆,则矩阵方程可解,其解分别为X=BA-1,X=A-1B与X=A-1BC-1。

例如XA=B,在计算过程中,可把An×n与Bm×n上下放一起构造出(m×n)×n矩阵,即 ,即可求得X=BA-1。同理,若对于AX=B,可把An×n与Bm×n并排放一起,即

,即可求出X=A-1B。对于一般的矩阵方程,此方法简单易行,如下例:

例2.设矩阵 与矩阵X满足关系式X+A=XA,求矩阵X。

解:由已知X+A=XA,有X(A-E)=A,而

,构造3×6矩阵

(三)用初等变换求矩阵的秩

对于矩阵A,若矩阵A存在一个非零的k阶子式B,而所有k+1阶子式都为0,则B即为矩阵A的最高阶非零子式,且子式B的阶数k即为矩阵A的秩,即秩A=k。在计算矩阵秩的过程中,若利用找非零子式来计算矩阵的秩,当所给矩阵阶数较大时计算复杂,但若利用矩阵的初等变换zekeyi1在不改变原来矩阵秩的前提下,把任意n×m矩阵A都化为n×m阶梯矩阵,且矩阵A的秩即为与之等价的n×m阶梯矩阵的秩。

例3.设矩阵,求矩阵A的秩。

解:由题意有

所以矩阵A的秩是3

(四)用初等变换求解线性方程组

在解线性方程组的过程中,通常采用高斯消元法,即利用线性方程组的增广矩阵进行若干次初等变换后化为等价的最简阶梯矩阵,然后确定秩及解的情况,从而求出线性方程组的解。这里的最简阶梯矩阵是指各行的第一个非零元素是1,且元素1所在的列中其他元素均为0.例如:

例4.求解线性方程组

解:原线性方程组的增广矩阵(A:b)施以初等行变换,化为阶梯型矩阵

由于秩(A:b)=秩A=2

令x3=x4=0,得原方程组的特解为

则原方程组的一切解为

其中为k1,k2任意常数

高斯消元法是一种重要的线性方程组求解的方法,适用于各种线性方程组,其关键在于把线性方程组的增广矩阵利用初等变换化为最简阶梯矩阵。

三、小结

综上所述,初等变换是矩阵理论的核心,并且贯穿于矩阵理论,对矩阵计算起着重要的作用。

【参考文献】

[1]钱吉林.高等代数解题精粹.北京:中央民族大学出版社,2002.

[2]张禾瑞.高等代数(第四版).北京:高等教育出版社,2002.

[3]北京大学数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数(第二版)[M].北京高等教育出版社,1998.