多项式因式分解的几种方法

在给定的数域上，把一个多项式分解成若干个不可约多项式的积的形式，叫做多项式的分解因式。多项式的分解因式是一种重要的恒等变形，在初等数学中有着广泛的应用。在初中代数中，已经学习过提取公因式法、公式法、分组分解法和十字相乘法等基本方法。这些方法要根据多项式的结构特征灵活地加以应用。这里，讨论几种分解因式的其他方法，这里的因式分解都是在有理数域上进行的。

1 用待定系数法分解因式

用待定系数法分解因式，就是按已知条件把原式假设为若干个因式的乘积，使这些因式的乘积与原式组成恒等式，求出各待定系数的值。

例1，分解因式x4-x3-5x2-6x-4

解：设 x4-x3-5x2-6x-4=（x2+ɑx+b）（x2+cx+d）

=x4+（ɑ+c）x3+（b+ɑc+d）x2+（ɑd+bc）x+bd

比较对应的系数，得ɑ+c=-1b+ɑc+d=-5ɑd+bc=-6bd=-4 ?圳 ɑ=1b=1c=-2d=-4

x4-x3-5x2-6x-4=（x2+x+1）（x2-2x-4）

例2，分解因式2x2-7xy+3y2+5xz-5yz+2z2

解：这是一个关于x, y, z的二次齐次式，注意到2x2-7xy+3y2=（2x-y）（x-3y），可设

2x2-7xy+3y2+5xz-5yz+2z2 =（2x-y+ɑz）（x-3y+bz）

=2x2-7xy+3y2+（ɑ+2b）xz-（3ɑ+b）yz+ɑbz2

比较对应的系数，得ɑ+2b=53ɑ+b=5ɑb=2 ?圳 ɑ=1b=2

2x2-7xy+3y2+5xz-5yz+2z2=（2x-y+z）（x-3y+2z）

2 用余数定理和综合除法分解因式

多项式f（x）有因式x-ɑ的充要条件是f（ɑ）=0，ɑ就是f（x）的一个有理根。求出f（x）的有理根，就能得到f（x）的一次因式。这一方法的关键是如何寻找有理根。

【定理】设f（x）=ɑ0xn+ɑ1xn-1+…ɑn是一个整系数多项式。若有理数■是f（x）的一个根（这里u和v是互素的整数），那么v整除f（x）的最高次项系数ɑ0，而u整除f（x）的常数项ɑn 。

例3，分解因式 f（x）=2x4+7x3-2x2-13x+6

解：因为f（x）的最高次项系数2的因数是±1，±2，常数项6的因数是±1，±2，±3，±6，所以可能的有理数根是±1，±2，±3，±6， ±■，±■。 f（1）=0，f（-1）=12 1是f（x）的根，

-1不是。用综合除法，经过逐次试除，-2，-3，■也是f（x）的根，其余不是。以2与-2为例：

f（x）=2x4+7x3-2x2-13x+6=（x-1）（x+2）（x+3）（2x-1）

3 利用行列式分解因式

被分解的多项式有时可表示成适当的行列式，根据行列式的性质，对行列式进行推演，逐步化成因式乘积的形式。

例4，分解因式x4+6x3+x2-24x-20

解：原式=（x2+6x+1）-4（6x+5）

=x2 6x+54 x2+6x+1=x2-4 4-x2 4 x2+6X+1

=（x2-4）1 -14 x2+6x+1

=（x2-4）（x2+6x+5）

=（x+2）（x-2）（x+1）（x+5）

例5，分解因式x2z+z2y+y2x-xz2-zy2-yx2

解：原式=1 1 1x2 z2 y2x z y=1 0 0x2 z2-x2 y2-x2x z-x y-x

=（z-x）（y-x）z+x y+x 1 1

=（z-x）（y-x）（z-y）

因式分解的问题形式多种多样，解题时要多做试探，灵活地运用各种方法，才能顺利地解决问题。

参考文献：

[1]赵振威主编.中学数学教材教法[M].上海：华东师范大学出版社，1999.

[2]张禾瑞，郝鈵新编.高等代数[M].北京：高等教育出版社，1999.