利用导数求反三角函数的解析式

摘要：本文利用导数给出了几道反三角函数习题一种新解法，该方法可以比较方便地得到反三角函数的解析式。

关键词：导数；反三角函数；解析式

中图分类号：G642 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2014）28-0094-02

在吉米多维奇习题集题[1]中，有几道涉及到反三角函数的题目，如：

题318作y=arcsin（sinx）的图形。

题319作y=arcsin（cosx）的图形。

题320作y=arccos（cosx）的图形。

题321作y=arctan（tanx）的图形。

不难看出，如果我们能够求得这些函数的解析式，则根据解析式很容易作出函数的图形。以题319为例，常规求解方法[2]是从siny=cosx且-■≤y≤■出发，先求出函数在

-π≤x≤0以及0≤x≤-π的解析式：

arcsin（cosx）=x+■，-π≤x≤0，-x+■，0≤x≤π. （1）

然后利用arcsin（cosx）是周期为2π的函数这一性质，求出函数在2kπ-π≤x≤2kπ以及2kπ≤x≤2kπ+π的解析式，得到：

arcsin（cosx）=x+■-2kπ， （2k-1）π≤x≤2kπ，-x+■+2kπ， 2kπ≤x≤2kπ+π （2）

在教学过程中我们发现许多学生不太能够理解为什么先分-π≤x≤0，0≤x≤π讨论，也不知道如何求得（1）式，自然也就难以导出（2）式。

本文利用导数给出该题一种新的求解方法。

记y■（x）=arcsin（cosx），x∈（-∞，+∞）.根据复合函数求导法则：

■=■=■，x≠kπ，k∈z. （3）

①当2kπ-π

■=1， x∈（2kπ-π，2kπ）. （4）

将（4）式两边关于x积分得：

y■（x）=x+C■， x∈（2kπ-π，2kπ）. （5）

取x=2kπ-■代入（5）式，注意到y■（2kπ-■）=0得C■=■-2kπ.因此：

y■（x）=x+■-2kπ，2kπ-π

②当2kπ

■=-1， x∈（2kπ，2kπ+π）. （7）

将（7）式两边关于x积分得：

y■（x）=-x+C■， x∈（2kπ，2kπ+π）. （8）

取x=2kπ+■代入（8）式，注意到y■（2kπ+■）=0得C■=■+2kπ.因此：

y■（x）=-x+■+2kπ，2kπ

综合①～②，并注意到函数y■（x）在区间（2kπ-π，2kπ）和（2kπ，2kπ+π）的端点处均连续，可得y■（x）的解析式：

arcsin（cosx）=x+■-2kπ， （2k-1）π≤x≤2kπ，-x+■+2kπ， 2kπ≤x≤2kπ+π

此即前面的（2）式。

值得指出的是我们这种解法具有一般性，也适用于求另外几个函数的解析式。例如，记：

y■（x）=arctan（tanx），x∈（kπ-■，kπ+■）. （10）

由■=■=1，x∈（kπ-■，kπ+■）. （11）

两边关于x积分得：

y■（x）=x+C.x∈（kπ-■，kπ+■）. （12）

取x=kπ代入（12）式知C=-kπ. 因此：

arctan（tanx）=x-kπ，x∈（kπ-■，kπ+■）. （13）

参考文献：

[1]吉米多维奇.数学分析习题集[M].北京：人民教育出版社，1978：35.

[2]滕加俊.吉米多维奇数学分析习题集精选精解[M].南京：东南大学出版社，2010：34.