智性数学课堂中的“悟点”初探

摘 要：智性是数学课堂的特点，教师应深入挖掘数学教学资源中的“悟点”，有针对性地精心设计教学内容以启发学生思考，激发学生求真，润泽学生心灵，从而达到知识与智慧共生，能力与思想同步提升的美好境界。

关键词：智性课堂；数学教学；悟点

所谓“智性”，即人们有意识地运用自身的智慧，客观、科学地认识事物、解决问题的一种特性。在众多学科中，数学在这一点上体现得尤为明显。所谓“悟点”，是指教学过程中最能使学生领悟师者欲授其道之“道”的关键所在，是学生融入课堂、感悟知识本真的触点，是教师启发点拨之指点。教学需要智慧，师者要做的就是深入挖掘数学教学资源中的“悟点”，找到“悟径”，进行个性化的智性设计，抓住教学时机，启迪学生智慧，构建智性课堂，以达到知识与智慧共生，能力与思想同步的美好境界。

下面略举几例，以期抛砖引玉。

一、历史中悟“源”，活水涓涓

我国著名数学家吴文俊曾说过：“假如你对一个知识领域的发生和发展，对一个概念的来龙去脉，对一种重要思想的产生和影响等许多因素都弄清楚了，我想对数学就会了解得多，对数学的现状就会知道得更清楚、更深刻，还会对数学的未来起一定的指导作用。”

如在勾股定理的欣赏教学中，在引导学生从历史、人文等角度对勾股定理进行欣赏后，可再从研究的角度对学生的心灵进行撞击。据《周髀算经》记载，我国早在11世纪就已知道边长为3、4、5的三角形是直角三角形，3、4、5也称为勾股数组，这时可问学生还有哪些勾股数组呢？引导学生意识到其实就是寻找不定方程x2+y2=z2的正整数解。（当然解决过程并不容易，激发出学生的问题意识即可）《九章算术》中曾提到5、12、13，6、8、10，8、15、17，7、24、25，20、21、29等都是勾股数组。对于勾股数组的研究，自然会引起这样的一个问题：当正整数指数n>2时，有没有正整数x、y、z满足方程xn+yn=zn？（这个问题若能引导学生提出，那简直太精彩了！）大数学家费马认为没有，这就是著名的“费马大定理”。费马曾在丢番都的著作《算术》拉丁文译本的空白处提出这个问题，可惜地方太小，未能写下他美妙的证明。在此后的三百多年间，无数的数学家和数学爱好者想要给出证明，但都不够完美。法国科学院和德国哥廷根皇家科学会几次重金悬赏向全世界征集答案，期限100年。这极大地刺激了人们解决费马问题的决心。为了攻克这一难题，数以万计的学者引进新概念、新方法、新理论，大大扩宽了数学领域，加速了数学的发展。传说希尔伯特知道解决问题的办法，但他不肯宣布，有人问他为什么不公布答案以赢取丰厚的奖金，他说：“干嘛要杀死一只会下金蛋的鹅呢？”1995年5月，英国数学家怀尔斯在权威刊物《数学年刊》上以整期的篇幅发表了证明，被认为是20世纪最伟大的数学成就之一。

通过历史故事学生可以体悟到，播下一个问题，就会长成一片知识森林。回望历史源头，科学之泉长流不息。

二、概念中悟“本”，根深叶茂

正确理解概念是掌握知识的前提，是解题的关键，是培养学生思维的必要条件。概念是对客观事物本质属性的概括和反映。要正确理解某一概念，就必须抓住概念的本质，把本质属性向学生讲清楚。让学生在本质属性所反映的全体对象这一“悟点”上去悟，切忌死记硬背，胡搬乱套。

比如在对二倍角公式的分析中，应让学生充分认识到“二倍”并不是特指“2α”与“α”这样的形式，诸如“4α”与“2α”、“α”与“[α2]”等也都是二倍的关系，同样适用二倍角公式。再如在《函数的单调性》第1课时的教学部分，应让学生紧紧抓住单调性的形式化定义所蕴涵的关键本质，在概念形成后，抛出问题：①若函数f（x）满足f（-2）

三、解题中悟“识”，观念先行

数学学习，题山题海，若不能解决一个观念意识问题，做再多题也枉然。

所谓解题未动，观念先行，就是强调数学思想方法、观念的重要性。清袁枚在《随园诗话》中指出：“学如弓弩，才如箭镞，识以领之，方能中鹄。”“学”即知识，“才”即智能，“识”即观念，袁枚形象地指出了这三者之间的关系。数学观念是什么？是指人们对数学的基本看法和概括认识。当然，这不是一朝一夕所能形成的，需要学生在教师的引导下通过一定时期的数学活动经历而慢慢积累。因此教师在平时的教学活动中应高屋建瓴，有意识地向学生渗透一些数学思想、方法和观念，比如简化意识、分类意识、整体意识、运动变化意识、数形结合意识、化归意识、审美意识等。

在函数的应用教学部分，有这样一个典型问题：已知关于x的不等式[x]>ax+[23]的解集为{x|b

可以看出，A，B两点间的部分满足要求。由题意可知点A和B的横坐标分别是b和4，可设点A（4，y1），点A的坐标满足方程y=[x]，因而点A（4，2），又点A也在直线上，因而坐标也满足方程y=ax+[23]，可得a=[13]。再解方程[x]=[13]x+[23]得两根1和4，因此b=1。

通过此题，学生领悟到利用数学思想可以使问题化难为易。经过一段时间有意识的不同思想方法的经常性训练，可达到使学生从模仿到自觉运用的教学目标。

四、变式中悟“法”，变不离宗

《中国教育百科全书》说：“变式――掌握概念的方法之一。从各个不同的角度抓住事物的主要特殊属性，概括出事物一般属性的思维方式。”变式教学种类虽多，最常用的还是“非本质属性变式”，即保持问题的本质方面不变，只在非本质方面做出变化，虽万变而不离其宗。一线教师使用较多的有“多题一法”，也就是包含不同知识点的问题使用同一解题方法去解决。这里我们要让学生学会抓住变式中的“法”去悟，这里的“法”仅指具体的解题方法，而不是一般的数学思想方法。

例如我们可以设置这样的题组：

（1）当t为何实数时，方程x2+（t-1）x+4=0无实数根？

（2）当t为何实数时，函数f（x）=x2+（t-1）x+4的图像与x轴没有交点？

（3）当t为何实数时，关于x的不等式x2+（t-1）x+4≤0的解集是空集？

（4）当t为何实数时，抛物线f（x）=x2+4与直线f（x）=-（t-1）x不相交？

（5）当t为何实数时，关于x的二次三项式x2+（t-1）x+4不能表示为两个一次因式的积？

一个问题，如果孤立、静止地去看它，再好也只解决了一个问题而已。上面这五个问题涉及二次方程、二次函数、二次不等式、解析几何以及二次三项式的因式分解方面的问题，如果用“判别式”把它们贯穿在一起，作为一个解题组进行教学，引导学生去悟，去透过问题表面形式的差异，就可看到它们之间本质的联系。这样不仅可以高效利用教材资源，减轻学生课业负担，而且可以增强学生学习数学的信心和兴趣，激发学生的创造力。

[参 考 文 献]

[1]张念宏.中国教育百科全书[M].北京：海洋出版社，1991.

[2]单.数学：人的教育不可缺的内容[J].中学数学教育学，2000（10）.