抛物线常见题型分析

题型一 抛物线的定义及几何性质

例1 已知点[A（3，2）]，抛物线[y2=2x]的焦点为[F]，准线为[l]，点[P]在此抛物线上移动，当[PA+PF]取得最小值时，点[P]的坐标为 .

解析 作[PBl]于[B]，则[PB=PF].

作[ACl]于[C]，则[PA+PF=PA+PB] [ABAC=72].

当点[P]为直线[AC]与抛物线的交点时取等号，此时[yP=2]，即[P（2，2）].

点拨 “看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”，这是抛物线问题中定义法的直观特点. “由数想形，由形想数，数形结合”是利用抛物线的几何性质灵活解题的一条捷径.求过抛物线焦点的弦长时常转化为两端点到准线的距离和，再利用根与系数的关系求解，有时也把点到准线的距离转化为点到焦点的距离进行求解.

题型二 抛物线的方程

求抛物线的标准方程的基本方法是定义法和待定系数法. 焦点在[x（或y）]轴上的抛物线的标准方程，为避免讨论，可统设为[y2=ax（或x2=ay）（a≠0）].

例2 已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为[x]轴，且与圆[x2+y2=4]相交的公共弦长等于[23]，求此抛物线的方程.

解析 设所求抛物线的方程为[y2=ax]， 交点[A（x1，y1）（y1>0）]，[B（x2，y2）]，

则[y1+y2=23]，

[y1=3]，[x1=±1]，[a=±3].

即所求抛物线方程为[y2=±3x].

点拨 确定抛物线的方程要从定型（开口方向）、定位（焦点位置）和定量（焦参数值）三方面来进行. 对抛物线方程的形式要考虑全面，抛物线方程中字母[p]的几何意义是指抛物线的焦点[F]到准线[l]的距离，抛物线顶点到焦点的距离和到准线的距离都为[p2]，这对解题非常重要.

题型三 直线与抛物线的位置关系

例3 已知抛物线[x2=4y]，

（1）若过点[P（2，1）]作直线[l]与抛物线有且只有一个公共点，求直线[l]的方程；

（2）过点[Q（1，1）]作直线交抛物线于[A]，[B]两点，使得点[Q]恰好平分线段[AB]，求直线[AB]的方程和线段[AB]的长.

解析 （1）显然点[P]在此抛物线上.

当[lx]轴时，[l：x=2]与抛物线只有一个公共点；

当[l]不垂直于[x]轴时，设[l：y-1=k（x-2）]，代入[x2=4y]中，

得[x2-4kx+8k-4=0]，[Δ=16（k-1）2=0]，

即[k=1]，此时[l：y=x-1].

[l]的方程为[x=2]或[y=x-1].

（2）方法一 设[A（x1，y1）]，[B（x2，y2）]，直线[AB]的方程为[x-1=m（y-1）]，代入[x2=4y]中，

得[m2y2-2（m2-m+2）y+（m-1）2=0]，

则[y1+y2=2（m2-m+2）m2]=2，即[m=2].

直线[AB]的方程[x-2y+1=0].

又[y1?y2=14]，

[AB=（1+m2）（y1+y2）2-4y1y2=15].

方法二 设[A（x1，y1）]，[B（x2，y2）]，则[x21=4y1x22=4y2]，

[（x1-x2）（x1+x2）=4（y1-y2）].

[kAB=y1-y2x1-x2=x1+x24=12xQ=12].

[lAB：x-2y+1=0].

又[x1+x2=2，]

[y1+y2=2=x21+x224=（x1+x2）2-4x1x24]，

[x1x2=-2]，

[][AB=（1+kAB2）（x1+x2）2-4x1x2=15].

点拨 本题主要考查了抛物线的简单性质、直线与抛物线的位置关系及弦长公式. 在研究直线与抛物线交点个数的问题时，不要仅用[Δ]的正负来进行判断，还要注意平方项的系数对交点个数的影响.直线与抛物线只有一个公共点的情形有两种，即直线与抛物线相切和直线与抛物线的对称轴平行.涉及弦长问题时，利用弦长公式和韦达定理求解，注意在适当时候利用平面图形的几何性质.涉及弦的中点或中点弦问题时，一是设出直线方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理和抛物线定义解决问题；二是设出弦的端点坐标，代入抛物线方程列出坐标方程组，相减后转化为弦的中点坐标与弦所在的直线的斜率关系.

题型四 抛物线与其它曲线间的关系

例4 已知圆[M：（x-1）2+（y-12）2=r2（r>0）]与抛物线[C：y=（x+1）2]有一个公共点[A]， 且在[A]处两曲线的切线为同一直线[l].

（1）求[r]；

（2）设[m，n]是异于[l]且与[C]及[M]都相切的两条直线， [m，n]的交点为[D]，求[D]到[l]的距离.

解析 （1） 设[A（x0，y0）]，抛物线[C]上点[A]处的切线方程为[y+y02=（x0+1）（x+1）] ①；

圆[M]的切线方程为

[（x0-1）（x-1）+（y0-12）（y-12）=r2=（x0-1）2+（y0-1）2 ②.]

①②是共点公切线，[2（x0+1）=-x0-1y0-12].

又[y0=（x0+1）2]，[A（0，1）]，代入②得[r=52].

（2）抛物线[C]与圆[M]应有三条公切线（如图）. 由（1）知，公切线[l]的方程为[y=2x+1].

设另外两条公切线[m，n]与抛物线[C]切于点[Bi（xi，（xi+1）2）][（xi≠0，i=1，2）]，

则切线方程为[y+（xi+1）22][=（xi+1）（x+1）]，

即[2（xi+1）x-y-x2i+1=0].

又直线[m，n]与[M]相切，

[2（xi+1）-12-xi2+12（xi+1）2+1=52]，

即[x2i-4xi-6=0].

设[m：2（x1+1）x-y-x21+1=0]，

[n：2（x2+1）x-y-x22+1=0]，

则[x1+x2=4]，联立[m，n]的方程得[D（2，-1）]，故[D]到[l]的距离为[d=2×2-（-1）+15=655].

点拨 本题考查了抛物线与圆的方程和两个曲线在公共点处的切线，并在此基础上求解点到直线的距离. 由于涉及的是两个二次曲线的交点问题，并且要研究两曲线在公共点处的切线， 就把解析几何和导数的工具性结合起来.本题还可用导数的几何意义来求解.