圆锥曲线中的最值和范围问题

圆锥曲线中的最值与图形的几何特征、函数的最值及不等式等都有密切的关系，是学习的重点也是难点。结合教学实践就与圆锥曲线有关的最值和范围问题的常用方法做一总结，常用方法有：（1）结合定义利用图形中几何量之间的大小关系求最值；（2）函数值域求解法：把所讨论的参数作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求最值或范围；（3）不等式（组）求解法：利用题意结合图形（如点在曲线内等）列出所讨论的参数适合的不等式（组），或基本不等式通过解不等式组得出参数的变化范围。

1. 几何特征求最值

例1.（1）如图1：设AB为抛物线y=x2的一条弦，若AB=4，则AB的中点M到直线y+1=0的最短距离为。

图1

解析：抛物线y=x2的焦点为F（0 ，14），准线为y=-14，过A、B、M准线y=-14的垂线，垂足分别是A1、B1、M1，则所求的距离d=MM1+ 34= 12(AA1+BB1) + 34= 12(AF+BF) + 34≥ 12AB+ 34= 12×4+ 34= 114,当且仅当弦AB过焦点F时，d取最小值 114。

评注：灵活运用抛物线的定义和性质，结合平面几何的相关知识，使解题简洁明快，得心应手。

（2）如图2：点M和F分别是椭圆 x225+y29=1上的动点和右焦点，定点B(2,2).⑴求|MF|+|MB|的最小值。

图2

解析：易知椭圆右焦点为F(4,0)，左焦点F′(-4,0)，离心率e= 45，准线方程x=±254 .|MF| + |MB| = 10|MF′ | + |MB| =10（|MF′||MB|）≥10|F′B|=102 10. 故当M，B，F′三点共线时，|MF|+|MB|取最小值102 10.

（3）如图3：点P为双曲线 x24-y2=1的右支上一点，M，N分别为 (x+5)2+y2=1和(x-5)2+y2=1 上的点，则PM－PN的最大值为.

图3

解析：与圆有关的最值问题往往与圆心有关；

显然两已知圆的圆心分别为双曲线的左焦点F1( -5,0)和右焦点 F2(5,0).对于双曲线右支上每一个确定的点P，连结PF1，并延长PF1交F1于点Mo.则PM0为适合条件的最大的PM，连结PF2,交F2于点No.则PN0为适合条件的最小的PN.于是PM-PNPM0-PN0=(PF1+1)-(PF2-1)=(PF1-PF2)+2=4+2=6，故PM－PN的最大值为6.

评注：仔细审题，合理应用平面几何知识，沟通条件与所求结论的内在联系，是解决本题的关键。

2. 函数法求最值

例2，已知点M(-2，0)，N(2,0)，动点P满足条件 |PM| - |PN|=22.记动点P的轨迹为W.

（Ⅰ）求W的方程；

（Ⅱ）若A，B是W上的不同两点，O是坐标原点，求 OA・OB的最小值.

解：（Ⅰ）依题意，点P的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的右支，所求方程为：x22-y22=1（x ＞0）

（Ⅱ）当直线AB的斜率不存在时，设直线AB的方程为x＝x0，此时A（x0 ，x02-2 ），B（ x0，－ x02-2 ），OA・OB ＝2 ,当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx＋b，代入双曲线方程 x22-y22=1中，得：(1-k2)x2-2kbx-b2-2=0,依题意可知方程x22-y22=1 有两个不相等的正数根，设A(x1,y1),B(x2,y2)，则=4k2b2-4(1-k2)・(-b2-2)0x1+x2=2kb1-k2＞0x1x2=b2+2k2-1＞0 解得|k|＞1，又 OA・OB＝x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+b)(kx2+b)=(1+k2)x1x2+kb(x1x2)+b2=2k2+2k2-1=2+4k2-1＞2.综上可知 的最小值为2。

3. 利用不等式（组）求范围

（1）若抛物线 y=ax2-1上恒有关于直线 x+y=0对称的相异两点A、B，求a的取值范围。

（2）已知F1,F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2 =600，求椭圆离心率的范围。

解析：（1）恒有关于直线 x+y=0对称的相异两点A、B等价于斜率为1的直线与抛物线有两个交点。

解法一：设A（x1,y1），B（x2,y2）AB的方程为 y=x+b,代入抛物线方程 y=ax2-1得 ax2-x-(b+1)=0。设AB的中点为M（x0,y0）,则x0=12a,y0=x0+b=12a+b.由于 M(x0,y0)在直线 x+y=0上，故 x0+y0=0，因为 b=-1a所以ax2-x-(-1a+1)=0。由 =1+4a(-1a+1)＞0,解得a＞34。

解法二：根据点差法，不难求出抛物线 y=ax2-1的斜率为1的平行弦中点的轨迹方程是x=12a.当a＞0时，y＞14a-1;a＜0时，y＜14a-1,将x=12a与x+y=0联立，得满足条件的AB的中点M的坐标是(12a，-12a)，当a＞0时，-12a＞14a-1，解得a＞34；当a＜0时，-12a＜14a-1，此时无解，综上知，a＞34。

解析：（2）P为椭圆上一点，由椭圆的定义，PF1+PF2=2a.

解：设PF1=r1,PF2=r2,则在PF1F2中

r12+r22-2r1r2cos600=4c2

又r1+r2=2a,所以(r1+r2)2-3r1r2=4c2

即3r1r2=4a2-4c23(r1+r22)2=3a2

所以a24c2,即(ca)214,又0＜e＜1

所以12e＜1。

收稿日期：2012-03-01