多维条件下的单峰定理研究

摘要:对著名经济学家邓肯•布莱克的单峰定理进行深入研究,一维条件下,个体为单峰偏好可以解决“投票悖论”。将单峰偏好分析从一维条件扩展到二维条件直至N维条件,探讨N维条件下单峰定理是否适用。

关键词:社会选择;单峰偏好;投票悖论

中图分类号:F0文献标志码:A文章编号:1673-291X(2010)31-0012-02

单峰定理是英国经济学家邓肯•布莱克(Duncan Black)于1958年在其书《委员会与选举理论》中提出的,旨在解决法国数学家孔多塞提出的“投票悖论”的命题;同时,学者们也运用它解决社会选择理论的另一难题:“阿罗不可能定理”[1]。①运用单峰定理解决“投票悖论”是以放松无限制定义域条件即将偏好限制为单峰偏好为方法的,这为解决该难题开辟了一条新路。但是,单峰定理仅描述了一维条件下的情况,并没有涉及其他较复杂的情形。我们通过运用图形分析对二维条件下、多维条件下单峰定理是否成立进行了研究。

一、一维条件下的单峰偏好

“投票悖论”指当备选方案 ②数量大于2,个体③数量大于2时,按照相对大多数原则④进行选择,会出现循环,无胜者(如例1)。

例1,假定个体数量为三个,分别为甲、乙、丙;备选方案数量为三个,依次分别为极左派政党、中间派政党、极政党。甲的偏好顺序为:极左派 >中间派 >极;乙的偏好顺序为:中间派 >极 >极左派;丙的偏好顺序为:极>极左派 >中间派。其中“>”表示优于。在此例中,根据相对大多数原则,两两比较,最终群的偏好为极左派 >中间派>极>极左派。出现了循环,无胜者。这意味着社会或群偏好不总是可传递的。⑤

单峰定理是如果个体偏好是单峰的,并且个体的数量为奇数,那么根据相对大多数原则进行选择,社会或群的偏好满足可传递性。

单峰偏好:设n个个体的偏好排序函数是Ui (X),(i=1,…,n),定义在可供选择的备选方案的集合A上,那么在平面上,若将A标在横轴上,将Ui (X)标在纵轴上,则至少存在A的一种排列,使得Ui (X)的几何图形均有一个高峰[2]。例1中,若备选方案议程顺序为极左派政党,中间派政党,极政党,曲线图上显示甲、乙的偏好为单峰的,丙的偏好则是双峰的(如图1)。如果丙的偏好改为单峰的,即极>中间派>极左派,那么,进行选择,就会发现“循环”被消除。

图1

单峰定理表明,在单峰型的偏好结构中,根据相对大多数原则进行选择,不会出现“投票悖论”。在大多数情况下,个体的偏好结构会呈现出单峰形。一般地,极>极左派 >中间派的个体偏好顺序出现的可能性很小,因为绝大多数人不会认为极政党比极左派政党好,又认为极左派政党比中间派政党好。

二、二维条件下的单峰偏好图形分析

二维条件下,即同时为两个提案作出选择。备选方案用二维空间上的点代表。此时,单峰偏好通过连续的同心圆来反映。即圆心为顶峰,同一圆圈上的点表示个体偏好无差异,处于离圆心距离越远的圆圈上的点,个体对其偏好越低(如例2)。

例2,两个提案分别为军事预算和基础设施预算。三个个体分别为甲、乙、丙。备选方案分别为x、y、z。x代表军事预算和基础设施预算均低;y代表军事预算略高,基础设施预算较之更高;z代表基础设施预算略高,军事预算较之更高(如图2)。

图2

对于三个备选方案,甲乙丙的偏好顺序分别为,甲:x>y>z;乙:y>z>x;丙:x>z>y;从而群偏好为:x>y>z。

当z点移动到z0点时,乙对方案z的偏好程度没有改变,但群偏好发生了变化,由甲:x>y>z0;乙:y>z0>x;丙:z0>x>y;推出群偏好为x>y>z0>x,产生循环,即“投票悖论”产生。

当x移动到x1点,y移动到y1点,z移动到z1点时,甲对y的偏好程度,乙对z的偏好程度,丙对x的偏好程度均没有改变。此时,x1 、y1 、z1三点成一线。由甲:x1>y1>z1;乙:z1>y1>x1;丙:y1>x1>z1。推出群偏好为y1>x1>z1,循环消除。

因此,二维条件下,即使个体偏好为单峰偏好,仍然无法避免“投票悖论”的产生。当个体偏好为单峰偏好,且备选方案三点成一直线时,则可避免投票悖论,因为此时处于三点中间的点被个体一致认为不是最差。

三、N维条件下的单峰偏好

N维条件下(N=2,…,n)即同时对N个提案作出选择。同样,用N维空间的相应的点来代表备选方案。每个个体在N维空间中都有一个最理想的点。个体对备选方案的排序可以用其他各点到其最理想的点的距离来表示。N维条件下的单峰偏好[3]用公式表示如下:

当且仅当 d(x-xi)≤d(y-xi)时,有xiy(1)

其中,i代表个体i认为“至少一样好”的关系;xi代表个体i最理想的方案;x,y为N维空间中任意两点;d代表距离。则上式表示当且仅当x和xi的距离不远于y和xi的距离时,个体i认为x和y至少一样好。

N维空间任意两点x与y的距离的计算公式如等式(2)

d(x-y)=((x1-y1)2+(x2-y2)2+...+(xn-yn)2)1/2(2)

等式(2)中xj和yj(j=1,…,n)分别表示x和y的第j个坐标点。则n个个体的偏好排序函数是Ui (X)可表示为等式(3)

Ui (X)= fid(x-xi)(3)

结论:一维条件下,单峰偏好是非循环性的充分不必要条件,解决了“阿罗不可能定理”,但却违背非限制定义域前提。二维条件下,单峰定理并不能解决投票悖论。所以,N维条件下,单峰定理并不适用。

参考文献:

[1]Arrow K J.Social choice and individual values[M].New York:Wiley,1963.

[2]Black D.The theory of committees and elections[M].Cambridge:Cambridge University Press,1958.

[3]Hannu paring voting systems[M].Holland: Reidel Publishing Company,1987.

Analysis of Single-peaked Preference in Multidimensional Choice Situations

XIAO Jiang-bo

(Gansu Institute of Political Management College, Lanzhou 730070,China)

Abstract:Black’single-peakedness condition is analyzed in depth.The paradox of voting will be solved if the individuals have single-peaked preferences over the alternatives in a one-dimensional condition which is an important hypothesis of the theorem.The analysis of single-peakedness is expanded from one-dimensional condition to n-dimensional space.The concept of single-peakedness in an n-dimensional space is studied.The paradox of voting can not be avoided in an over two-dimensional space even though the preferences of the individuals are single-peaked.

Key words:social choice;single-peakedness;paradox of voting