用数列模型解读社会热点

数学来源于社会实践，又服务于社会实践.现实生活中很多实际问题都可以通过建立数列模型来进行思考，而数列模型主要是指等差数列模型与等比数列模型.如与等比数列联系较大的“增长率”、“递减率”.在经济上要涉及利润、成本、效益的增减问题；在人口数量的研究中也要研究增长率问题；金融问题更要涉及利率的问题等等.本文归纳整理了用数列模型来解读四类社会热点问题.

一、农民工收入问题

例1 某地区，农民收入由工资收入和其他收入两部分构成，2003年该地区农民人均收入为3150元(其中工资收入为1800元，其他收入为1350元)，预计该地区自2004年起的5年内，农民的工资收入将以每年6%的年增长率增长，其他收入每年增加160元.根据以上数据，2008年该地区农民人均收入介于( )

A.4200元～4400元 B.4400元～4600元

C.4600元～4800元 D.4800元～5000元

解析:到2008年农民的工资性收入变为1800(1+6%)5

=2409(元)，其他收入变为1350+5×160=2150(元)，故2008年收入为4559元.故选B.

二、人均住房问题

例2 (2005年上海)假设某市2004年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中低价房，预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%，另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米，那么，到哪一年底:

(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2004年为累计的第一年)将首次不少于4750万平方米?

(2)当年建造的中低价房占该年建造住房面积的比例首次大于85%?

解析:(1)设中低价房面积形成数列{an}，由题意可知{an}是等差数列，其中a1=250，d=50.则Sn=250n+ ×50=

25n2+225n，令25n2+225n≥4750，即n2+9n-190≥0，而n是正整数，n≥10.到2013年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米.

(2)设新建住房面积形成数列{bn}，由题意可知{bn}是等比数列.其中b1=400，q=1.08，则bn=400×(1.08)n-1，由题意可知an>0.85bn.有250+(n-1)・50>400・(1.08)n-1・0.85.用计算器解得满足上述不等式的最小正整数n=6.所以到2009年底，当年建造的中低价房占该年建造住房面积的比例首次大于85%.

三、养老保险问题

例3 (2007年安徽)某国采用养老储备金制度，公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为a1，以后每年交纳的数目均比上一年增加d(d>0)，因此，历年所交纳的储备金数a1，a2，…是一个公差为d的等差数列，与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利，这就是说，如果固定年利率为r(r>0)，那么，在第n年末，第一年所交纳的储备金就变为a1(1+r)n-1，第二年所交纳的储备金就变为a2(1+r)n-2，….以Tn表示到第n年末所累计的储备金总额.

(1)写出Tn与Tn-1(n≥2)的递推关系式；

(2)求证:Tn=An+Bn，其中{An}是一个等比数列，{Bn}是一个等差数列.

解析:(1)我们有Tn=Tn-1(1+r)+an(n≥2).

四、环境污染问题

例4 据某城市2007年末所做的统计资料显示，到2007年末，该城市堆积的垃圾已经达50万，侵占了大量的土地，并且成为环境污染的因素之一.根据预测，从2008年起该城市还将以每年3万吨的速度产生新的垃圾.垃圾的资源化和回收处理已经成为该市城市建设中的重要问题.

(1)假设1997年底该城市堆积的垃圾为10万吨.从1998年到2007年这十年中，该城市每年产生的新垃圾以8%的年平均增长率增长，试求1998年该城市产生的新垃圾约有多少万吨?(精确到0.01，参考数据:1.0810≈2.159).

(2)如果从2008年起，该市每年处理上年堆积垃圾的20%，现用b1表示2008年底该市堆积的垃圾数量，b2表示2009年底该市堆积的垃圾数量，…，bn表示2007+n年底该市堆积的垃圾数量，①求b1；②试归纳出bn的表达式(不用证明)；③计算 bn，并说明其实际意义.

这说明，按题目设想的方式处理垃圾，该市垃圾总量将逐年减少，但不会少于15万吨.

注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”