Matlab在自动控制原理中的应用

摘 要：把MATLAB控制系统工具箱（control systems toolbox）和仿真环境SIMULINK运用到《自动控制原理》的教学中，很好的解决了这门课中实际的数据计算、图形绘制、性能指标求取以及系统校正与设计等技术问题，把学生从繁琐的数学计算过程中解放出来，用图形表示系统动态响应过程和稳态响应过程，结果直观易于分析，提高学生对该门课的兴趣，加深学生对自动控制系统工作原理的理解和领会，为以后专业课程的学习打下坚实的基础。

关键词：MATLAB；自动控制系统；系统响应；系统设计

0 引言

高职院校的学生重在强化职业技能的培养，而《自动控制原理》这门课程中除了讲解控制系统的工作原理外，控制系统的模型是一个非常重要的环节，对控制系统性能进行定量的计算和分析，离不开控制系统的数学模型，涉及到对微分方程数学模型的求解，用到Laplace变换及反变换，对系统响应超调量、上升时间、调节时间、峰值的求取，都要用到繁琐的数学计算，对系统时域或者频域稳定性的分析，绘制Naquist曲线和Bode图以及系统的校正与设计，如果全靠手工计算数据，手工绘图的话，费时费力，有时还得不到准确的数据和图像。

MATLAB是Mathworks公司开发的一种集数值计算、符号计算和图形可视化三大基本功能于一体的功能强大、操作简单的优秀工程计算应用软件。MATLAB不仅可以处理代数问题和数值分析问题，而且还具有强大的图形处理及仿真模拟等功能。

1 MATLAB在控制系统建模中的应用

MATLAB是国际控制界目前使用最广的工具软件，几乎所有的控制理论与应用分支中都有MATLAB工具箱。这里结合自动控制理论的基本内容，采用控制系统工具箱（Control Systems Toolbox）和仿真环境（Simulink），体会MATLAB的应用。

1.1 用MATLAB建立传递函数模型

1.1.1 反馈系统结构图模型

图1 反馈系统结构图

设反馈系统结构图如图1所示。控制系统工具箱中提供了feedback（）函数，用来求取反馈连接下总的系统模型，该函数调用格式为：G=feedback（G1，G2，sign）。

1.1.2 Simulink建模方法

在一些实际应用中，如果系统的结构过于复杂，不适合用前面介绍的方法建模。在这种情况下，功能完善的Simulink程序可以用来建立新的数学模型。

典型二阶系统的结构图如图2所示。用SIMULINK对系统进行仿真分析。

图2 典型的二阶系统结构图

将画出的所有模块按图2用鼠标连接起来，构成一个原系统的框图描述如图3所示。

图3 二阶系统的simulink实现

利用MATLAB命令plot（tout，yout），可将结果绘制出来，如图4所示。比较图4和图5，可以发现这两种输出结果是完全一致的。

图4 仿真结果示波器 图5 MATLAB命令得出

显示图 的系统响应曲线

2 利用MATLAB进行时域分析

2.1 线性系统稳定性分析

系统的零极点模型可以直接被用来判断系统的稳定性。另外，MATLAB语言中提供了有关多项式的操作函数，也可以用于系统的分析和计算。

2.1.1 直接求特征多项式的根

设p为特征多项式的系数向量，则MATLAB函数roots（）可以直接求出方程p=0在复数范围内的解v，该函数的调用格式为：v=roots（p）

利用多项式求根函数roots（），可以很方便的求出系统的零点和极点，然后根据零极点分析系统稳定性和其它性能。

2.1.2 系统动态特性分析

已知传递函数为：

利用以下MATLAB命令可得阶跃响应曲线如图6所示。

图6 MATLAB绘制的响应曲线

>>num=[0，0，25]；den=[1，4，25]；step（num，den） grid

title（1Unit-Step Response of G（s）=25/（s^2+4s+25

）1）

2.1.3 求阶跃响应的性能指标

已知二阶系统传递函数为：

利用下面的stepanalysis.m程序可得到阶跃响应如图 7及性能指标数据。

>> G=zpk（[ ]，[-1+3*i，-1-3*i ]，3）；

% 计算最大峰值时间和它对应的超调量。

C=dcgain（G） [y，t]=step（G）；plot（t，y） grid；[Y，k]=max（y）；timetopeak=t（k）

percentovershoot=100*（Y-C）/C% 计算上升时间。

n=1；

while y（n）

n=n+1；

end

risetime=t（n） % 计算稳态响应时间。

i=length（t）；

while（y（i）>0.98*C）&（y（i）

i=i-1；

end

setllingtime=t（i）

运行后的响应图如图6，命令窗口中显示的结果为

C=0.3000 timetopeak=1.0491

percentovershoot=35.0914 risetime=0.6626

setllingtime=3.5337

图7 二阶系统阶跃响应

2.1.4 利用MATLAB绘制系统根轨迹

控制系统工具箱中提供了rlocus（）函数，可以用来绘制给定系统的根轨迹。

已知系统的开环传递函数模型为：

利用MATLAB命令可容易地验证出系统的根轨迹如图8所示。

3 利用MATLAB进行频域分析

3.1 用MATLAB作奈魁斯特图

虑二阶典型环节：

图8 系统的根轨迹

利用下面的命令，可以得出系统的奈氏图，如图9所示。

>> num=[0，0，1]；den=[1，0.8，1]；nyquist（num，den）% 设置坐标显示范围

v=[-2，2，-2，2]；

axis（v）

grid

title（′Nyquist Plot of G（s）=1/（s^2+0.8s+1）′）

图9 二阶环节奈氏图

3.2 用MATLAB作伯德图图

给定单位负反馈系统的开环传递函数为：

利用以下MATLAB程序，可以直接在屏幕上绘出伯德图如图10。

>> num=10*[1，1]；den=[1，7，0]；bode（num，den）grid

title（′Bode Diagram of G（s）=10*（s+1）/[s（s+7）] ′）

该程序绘图时的频率范围是自动确定的，从0.01弧度/秒到30弧度/秒，且幅值取分贝值，ω轴取对数，图形分成2个子图，均是自动完成的。

图10 自动产生频率点画出的伯德图

4 利用MATLAB进行频域法串联校正

利用MATLAB可以方便的画出Bode图并求出幅值裕量和相角裕量。通过反复试探不同校正参数对应的不同性能指标，能够设计出最佳的校正装置。

给定系统如图11 所示，试设计一个串联校正装置，使系统满足幅值裕量大于10分贝，相位裕量≥45o。

为了满足上述要求，我们试探地采用超前校正装置Gc（s），使系统变为图12的结构。

图11 校正前系统

图12 校正后系统

引入一个串联超前校正装置：

我们可以通过下面的MATLAB语句得出校正前后系统的Bode图如图13，校正前后系统的阶跃响应图如图14。其中ω1、γ1、ts1分别为校正前系统的幅值穿越频率、相角裕量、调节时间，ω2、γ2、ts2分别为校正后系统的幅值穿越频率、相角裕量、调节时间。

>> G1=tf（100，[0.04，1，0]）； % 校正前模型

G2=tf（100*[0.025，1]，conv（[0.04，1，0]，[0.01，1]）） % 校正后模型

% 画伯德图，校正前用实线，校正后用短划线。

bode（G1） hold bode（G2， ′――′）%画时域响应图，校正前用实线，校正后用短划线。

Figure G1_c=feedback（G1，1） G2_c=feedback（G2，1） step（G1_c） hold step（G2_c， ′――′）

图13 校正前后系统的Bode图

图14 校正前后系统的阶跃响应图

可以看出，在这样的控制器下，校正后系统的相位裕量由28o增加到48o，调节时间由0.28s减少到0.08s。系统的性能有了明显的提高，满足了设计要求。

5 结论

通过MATLAB在建模、时域分析、频域分析、系统校正中的应用可以看到，MATLAB工具箱在自动控制原理课中的应用无处不在，MATLAB不仅可以处理代数问题和数值分析问题，而且还具有强大的图形处理及仿真模拟等功能，从而很好地帮助老师和学生解决《自动控制原理》这门课中实际的数据计算、图形绘制、性能指标求取以及系统校正与设计等技术问题。

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[2]王正林，王胜开，陈国顺.Matlab/Simulink与控制系统仿真[M].北京：电子工业出版社，2005.

[3]尹瑞竹.Matlab软件在自动控制原理教学中的应用[J].学术论坛，2007.

[4]刘卫国，陈昭平，张颖.MATLAB程序设计与应用[M].北京：高等教育出版社，2002.

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[6] 李玉梅，马伟明，张波涛.PSB――基于simulink的一种新型电力系统仿真工具[J].电气应用，2001，12（8）：5-7.

本文由南京交通职业技术学院基金项目――“Matlab在自动控制原理中应用”（JY1110）支持。