U-I图线的斜率与电阻值的关系

学生用伏安法测量灯丝的电阻时，绘出了如图1所示的伏安特性曲线，从图上看出灯丝两端的电压并不随电流线性变化。让学生自己分析原因，他们也都说出了是电流通过灯丝时引起灯丝发热，改变了灯丝温度，灯丝电阻发生了变化。严格的说，灯丝也并不是真正意义上的线性元件。随即笔者便问学生这样的问题：在某一特定状态（U，I）下怎样用U-I图线求出灯丝的电阻？其中就有一部分学生说，图线上某一点的斜率表示此时的电阻。他们还举了一些相似的例子，如：s-t图线的斜率表示质点某时刻的速度，v-t图线的斜率表示某时刻加速度等等。

物理学中，我们经常会借助图线来帮助分析、解决问题。物理图线的斜率表示一定的物理意义，利用图线的斜率可以更加便捷地比较和计算物理量间的关系。那么，U-I图线的斜率能表示导体的电阻吗？笔者向学生提出以上问题，并让他们认真比较线性元件和非线性元件的U-I图线斜率的物理意义。学生认真讨论后得出了如下结论：

对于线性元件，电阻阻值不随温度等其它因素影响而变化，导体两端的电压U与流过导体的电流I成正比。其U-I图线是一条过原点的倾斜的直线，如图2所示，直线的斜率为K=ΔU/ΔI=U/I=R，该直线的斜率与电阻值相等。

对于非线性元件，其电阻值要随导体温度、环境条件等其它因素影响而变化。导体通电过程中，导体电阻要发生变化，U与I不成正比，因此作出的U-I图线是一条过原点的曲线（如图3）。从图中可以看出，在状态A时导体两端电压为U1，通过导体的电流为I1。由欧姆定律可知，此时导体的电阻为RA=U1/I1，而A点的斜率为KA=U1/I1-I0，KA和RA两者显然不相等，此时斜率与导体的电阻值不等。

笔者进一步追问：为什么线性元件可以用U-I图线的斜率表示电阻大小，而非线性元件则不行？而在运动学中，无论匀速运动还是变速运动都能用s-t图线上某点的斜率表示质点速度？两者的本质差异是什么？学生们又回到刚开始的问题上研究两者的相同点与不同点。运动学中s-t图线的斜率表示质点的瞬时速度，匀速运动的质点瞬时速度与平均速度等值，也可以通过斜率来求出一段时间的平均速度。变速运动中瞬时速度为v=ds/dt=k，平均速度为u=Δs/Δt，两者不一定相等。电学中U和I的关系满足欧姆定律U=IR，R不变化时U与I满足线性关系，与匀速运动时s-t的关系相似，当R随温度等条件变化时U-I关系就变得更复杂了。但电阻表示导体对传导电流的阻碍能力，在数值上等于导体两端电压与通过其电流的比值，它反映了U随I的平均变化率，这和变速运动的平均速度很像。变速运动可以求除0时刻外某一段时间的平均速率，而从U-I图像上计算非线性元件的电阻必须从0点起算U随I的平均变化率。U-I图线的斜率是U随I的瞬时变化率，它与U随I的平均变化率两者在本质上是不同的。

导体电阻大小是由元件本身的性质来决定的，与U、I这些外部条件无关。线性元件阻值不变，U-I图线是直线，斜率与电阻值相等。对非线性元件来说，电阻温度等变化，本身性质发生变化，电阻值也随之变化，U-I图线是一条过原点的曲线，曲线上某点的斜率与此时的电阻值不等。

学生是探究学习的主体，通过实验探究培养学生的创新思维能力，发现问题、解决问题的能力是物理教学的重要任务。学生怀疑精神、科学实验能力、协作能力、良好科学素养以及科学学习方法的培养，都必须贯穿到日常教学工作中。老师要当好一个助手，让学生自己动手实验、探索，激发求知的兴趣，发现问题；老师还要履行好一个旁听者的职责，积极听取学生自己的看法，找出问题的症结；老师还要当好一个参谋，要不失时机的启发、引导学生深入研究、钻研问题，通过分析讨论，最终解决问题。

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