面积法在几何证明中的应用

现在好多初中学生一学到平面几何的证明就感觉几何证明难。难在哪里呢？难在我们的基本解题工具，主要是全等三角形和相似三角形，要用上这些工具，就往往要添加辅助线。怎样添辅助线，这就在一定程度上要靠想象与创造，在一次检测中有下面两道题：

问题1：边长为2的等腰三角形ABC内有一点O，过O作ODAB，OEBC，OFAC，垂足分别为D、E、F，那么O到三角形各边的距离之和为 。

问题2：向ABC外作等腰ABD和等腰ACE，且使它们的顶角∠DAB=∠EAC，连接BE、CD相交于点P，AP的延长线交BC于F点。试判断∠BPF与∠CPF的关系，并加以证明。

这两道题不会的学生很多，按正常的思维习惯、常规的解题方法不易完成。通过研究发现，如果借助三角形的面积公式，这类问题的解决就简单了。

问题1解：由ODAB，OEBC，OFAC，垂足分别为D、E、F，考虑用三角形面积，连接AO、BO、CO，过A作AGBC，垂足为G，则SAOB+SAOC+SBOC=SABC AB=BC=AC=2， OD+OE+OF=AG，而在直角ABG中，由勾股定理易得AG=■ OD+OE+OF=■。

问题2解：∠BPE=∠CPF，证明：过A点作AMDC于M，作ANBE于N，∠DAB=∠EAC ∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC ∠DAC=∠BAE，在BAE和DAC中， AB=AD，∠BAE=∠DAC，AE=AC BAE≌DAC BE=DC，SBAE=SDAC，易推AM=AN，AMDC，ANBF PA平分∠DPE ∠DPA=∠APE，又∠DPA=∠CPF，∠EPA=∠BPF ∠BPE=∠CPF。

这两个问题，虽然题目中没有直接涉及面积，但由于面积是联系着几何图形的重要元素，所以借助有关面积求解，常常简捷明快。

对于面积大家并不陌生。几何学的产生，源于人们对土地面积测量的需要。这样的故事已为人所熟知，几何学从一开始便与面积结下不解之缘。而且面积很早就成为人们认识几何图形性质和证明几何定理的工具。像勾股定理，这个被誉为“几何的基石”的重要定理，它的被发现与被证明，不管是在中国，还是在古希腊，都与面积有关。从勾股定理的证法可以归纳出面积法的一个基本模式：从不同的方面表示出同一块面积，得到一个等式，再从这个等式推出所要的结论。

运用面积关系及有关的性质定理来证明或计算几何问题的方法，称为面积法。面积法较其它方法有思路清晰、直观简捷、联系广泛、规律性强等特点，它是几何证明中的一种常用方法。众所周知，平面几何证明题的最大难处是辅助线的添加，而面积法的特点是把已知和未知量用面积公式及有关的性质定理联系起来，从而把几何关系转变为数量关系，通过数量运算来得到求证结果，所以用面积法进行几何证明时，有时可以不添置辅助线，即使需要添置辅助线，也很容易考虑到。初中常用的面积定理有：①两个全等形的面积相等。②一个图形的面积等于它的各部分面积的和。③等底等高的两个三角形面积相等。④等底（或等高）的两个三角形面积之比等于该底上的高（或对应边）之比。⑤相似三角形面积的比等于相似比的平方。⑥与平行四边形同底同高的三角形的面积是平行四边形面积的一半。下面通过具体的实例说明面积法在初中数学几何证明中的应用。

1 求证线段相等或不等

例1：在ABC中，AB=AC，BDAC于D，CEAB于E， 求证：BD=CE。

解析：ABC中，由题知BD和CE为高，从而想到面积有SABC=■AB・CE=■AC・BD，而AB=AC CE=BD。

本题通过对同一图形从不同的角度利用面积公式，从而直接得出了CE和BD的关系，思路清晰，方法直观简捷。

2 求证线段的和或差

例2：如图ABC中，AB=AC、CD为ABC的高、P为BC上任意一点。PEAB、AFAC、求证：PE+PF=CD。

解析：连接AP. SABP=■AB・PE，SACP=■AC・PF SΔABC=■AB・CD.由SΔABC=SΔABP+SΔACP=■AB・PE+■AC・PF，又由AB=AC知PE+PF=CD。

本题若用一般方法，就要添加辅助线，利用截长或补短，构造全等三角形，比较麻烦。用面积法将ABC分割为ABP和ACP，利用一个图形的面积等于它的各部分面积的和建立面积关系，从而巧妙地得出PE+PF=CD的结论。

3 求证两角相等

例3：如图ΔABC中，分别以AC、AB为边在ΔABC外作等边三角形ABE和ΔACD。连接CE、DB，CE、DB交于O，求证：AO平分∠DOE。

解析：由已知条件易知ΔACE≌ΔADB，则SΔACE=SΔADB EC=BD，过A点作AGEC，AHBD，则有SΔACE=■EC・AG SΔABD=■BD・AH，则EC・AG=BD・AH。从图AG=AH，故AO平分∠DOE。

本题从不同角度发掘了三角形之间的位置关系，通过全等三角形面积相等，从而由几何关系转变为数量关系，很容易推出AG=AH，再利用到角两边距离相等的点在角平分上，得出AO平分∠DOE，整个过程思路清晰。

例4：如图平行四边形ABCD中，E、F分别为AD、AB上两点，BE=DF，BE与DF交于O，连接OC，求证：OC平分∠BOD。

解析：连接CF、CE过COF CGDF、CHBE，由四边形ABCD为平行四边形知SΔBCE=■S平行四边形ABCD，SΔDCF=■S平行四边形ABCD则SΔBCE=SΔDCF即■・DF・CG=■・BE・CH，DF・CG=BE・CH，又由BE=DF知CG=CH，故OC平分∠BOD。

本题若用一般方法几乎无从下手，利用与平行四边形同底同高的三角形的面积是平行四边形的面积的一半，知道SΔBCE=SΔDCF，再利用等底等高的两个三角形面积相等，得出CG=CH，再利用到角两边距离相等的点在角平分上，得出OC平分∠BOD。

4 求证比例式或等积式

例5：如图已知O为ΔABC内一点，AO、BO、CO的延长线分别交BC、AC、AB于D、E、F，求证：■+■+■=1。

解析：ANBC于N，OMBC于M 由SΔABC=■・BC・AN，SΔOBC=■・BC・OM，则■=■=■，由ANBC、OMBC，易知ΔODM∽ΔADN则■=■ ■=■，同理■=■，■=■ ■+■+■=■+■+■=1。

本题解答中最突出的一点是对同一图形，从不同的角度选择相应的面积公式。通过线段比与面积比的互换来实现几何关系和数量关系的转换，从而很容易的得出结论。

从以上几例可以看出，利用面积法求解证明题的要点是：①通过分割与整合的办法，创建符合面积定理的面积关系；②通过线段比与面积比的互换来实现几何关系和数量关系的转换；③要从不同角度发掘图形（如三角形）之间的位置关系（如整体与局部、三角形的等底、等高和相似等关系）；④对同一图形，要从不同的角度选择相应的面积公式。巧用“面积法”解题，可以不作辅助线，或少作辅助线，将已知和未知纳入一个系统来考察相互关系，从而达到化繁为简的目的。