例谈在“列方程解决实际问题”教学中如何找相等关系

列方程解决实际问题就是从现实生活或具体情境中抽象出数学问题,用数学符号建立方程。这类问题大多难在如何从实际问题中抽象出数学问题。解决这个难点的关键是找出题目中的相等的数量关系,即我们通常简称的相等关系。我在教学实践中探索总结了六种找相等关系的方法,遵循这些方法去找相等关系,就可以让学生顺利解决列方程(组)解应用题的问题。

一、利用题目中的关键语句直接找相等关系

有些应用题的文字叙述中就包含了能体现相等关系的关键词或语句。数学应用问题中有许多量并不是直接以数据的形式给出,而是隐含在题目的文字里,

这些能帮助确定各对象涉及的量的相互关系的词,就是所说的关键词。这些关键词都是用来表示各量之间的相互关系的,常用的如多、少、和、差、倍、分、增、减、早、迟等。关键词所在的语句我们可以叫做关键语句,通过找题目中的关键词可以进一步找到关键语句,然后再把这些关键语句用笔画下来,稍加整理就是要找的等量关系。

案例:买3支钢笔比买5支圆珠笔要多花0.9元。每支圆珠笔的价钱是0.6元,每支钢笔多少钱?

我们可以先画出题目中的关键语句“3支钢笔比5支圆珠笔要多花0.9元”,便可以整理成用等式形式表示的相等关系:3支钢笔的价钱-5支圆珠笔的价钱=0.9元。

二、利用常见的公式找等量关系

学生已经接触了很多常见的公式。如:路程=速度×时间、工作总量=工作效率×工作时间、总价=单价×数量、利润=收入-成本、本息=本金+利息,还有各种图形的面积、周长和体积公式等。如果能引导学生在弄清题意、分析数量关系的基础上,根据题目涉及的背景,巧妙利用相关的公式,其实就是找到了能串联题目各种数量的相等关系。

案例:一家商店将服装按成本价提高40%后标价,又以8折(即按标价的80%)优惠卖出,结果每件仍获利15元,这种服装每件的成本是多少元?

由于这个题目的背景是销售利润的问题,所以自然联想到有关利润的常用公式:利润=收入-成本,根据公式把各部分用代数式表示出来就得到该问题的方程。

三、利用示意图抽象情境找相等关系

列方程解一些实际问题的过程是一个数学化的过程,这个过程常常需要文字语言、图形语言和符号语言互相转换,有些实际问题,如果能把题目中的文字和符号语言转化成图形语言,即示意图,就容易找到相等关系。示意图有线段示意图、图画示意图、面积示意图等多种,其中,线段示意图最为学生熟悉并接受。

案例:小明每天早上要在7:50之前赶到距家1000米的学校上学。一天,小明以80米/分钟的速度出发,5分钟后,小明的爸爸发现他忘了带语文书。于是爸爸以180米/分钟的速度去追小明。

(1)爸爸追上小明用了多少时间?

(2)追上小明时,距离学校多远?

我让学生根据题意试着画出线段示意图:

根据示意图学生很容易就会发现题目中的等量关系:小明一共所行的距离=爸爸一共所行的距离,从而建立方程:80×5+80x=180x。

四、利用表格梳理数量关系找相等关系

列表法是指将题目中数量及其关系填在表格内,再据此逐层分析,找到各量之间的内在相等关系,列出方程(组)的方法。列表时分类整理排列,条理清晰,优点明显,尤其对于题目较为复杂,等量关系较为隐蔽的题目效果较好。

案例:医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配置营养品。每克甲种原料含0.5单位蛋白质和1单位铁质,每克乙种原料含0.7单位蛋白质和0.4单位铁质。若病人每餐需要35单位蛋白质和40单位铁质,那么每餐甲、乙两种原料各多少克恰好满足病人的需要?

解:设每餐需要甲、乙两种原料各x、y克,则有下表:

由表格中所填的第一行会发现一个相等关系:甲原料所含蛋白质+乙原料所含蛋白质=35单位蛋白质,由所填的第二行又会发现一个相等关系:甲原料所含铁质+乙原料所含铁质=40单位铁质。从而根据两个相等关系列出两个方程,建立方程组解决了这个问题。

本题的数量关系相当复杂,学生通过填写表格,既找到了题目中的等量关系,同时又顺利地列出了方程组。

五、利用“变化中的不变量”找相等关系

有些应用题的数量关系比较复杂,题目本身包括的变化量多,相等关系比较隐蔽。这类问题往往可以通过找出“变化中的不变量”来找到我们需要的等量关系。比如平面图形形状改变,而周长不变,立体图形的形状改变,而体积不变等问题。

案例:墙上钉着用一根彩绳围成的梯形的装饰物,小影将梯形下底的钉子去掉,并将这条彩绳钉成一个长方形,那么,小影所钉长方形的长和宽各为多少厘米?

题目的本身体现了一个变化的过程,彩绳的形状由长方变成了梯形,这种题目很容易让学生眼花缭乱。但是仔细一想,在这个变化的过程中有没有不变的量呢?就会豁然开朗,发现等量关系:变形前周长=变形后周长。根据两种图形的周长公式不难列出方程。

六、利用直观操作、深入情境找相等关系

有的应用题的情境学生难以理解,大多数原因是不能深入到实际问题中去理解,只是作为局外人看问题,不能和实际情境融为一体。对于这种情况,可以通过组织学生进行直观演示、实际操作或教师利用电子白板进行模拟演示等方式,让学生深入到问题的情境中去,在直观操作的过程中学生会对过程有一个深刻的体验,从而顺利地发现相等关系。

案例:将一个底面直径是10厘米、高为36厘米的“瘦长”形圆柱锻压成底面直径为20厘米的“矮胖”形圆柱,高变成了多少?

我让学生用已经备好的橡皮泥,自制“瘦长”与“矮胖”的圆柱,观察分析其中的现象。同时提出问题:1.手里的橡皮泥在手压前和手压后有何变化?2.在你操作的过程中,圆柱由“瘦”变“胖”,圆柱的底面直径变了没有?圆柱的高呢?3.在这个变化过程中,是否有不变的量?是什么没变?

通过具体的操作,让学生在玩中体会到等体积变化的现象中蕴涵的不变量,学生深入到了问题的情境中,发现了只依靠阅读文字无法发现的东西,再利用前面找“变化中的不变量”的方法很容易找出本题的相等关系,即“瘦长”圆柱的体积=“矮胖”圆柱的体积,学生再利用圆柱的体积公式表示出两种圆柱的体积,从而建立方程。

在实际的教学中,要在学生充分思考交流的基础上,总结出这六种找相等关系的常用方法,从而把实际问题抽象成数学问题,建立方程(组)模型,达到解决实际问题的目的。当然,学习分析解决实际问题的能力不是一下子就能培养起来的,需要在我们老师耐心的指导下逐步形成。

参考文献:

中华人民共和国教育部编制.义务教育数学课程标准(2011年).北京师范大学出版社,2011(7)