数学思想范文
时间：2023-03-22 09:28:42
数学思想范文第1篇
关键词：小学数学 数学广角 渗透思想方法
《九年义务教育全日制数学课程标准》（以下简称“课标”）总体目标第一条就明确提出：“让学生获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识，以及基本的数学思想方法和必要的应用技能。”为了有效落实这一总体目标，人教版教材编排中不但加大力度把数学思想渗透在数与代数、量与计量等每一个知识板块中，更以新增设的单元“数学广角”为呈现形式，集中向学生渗透数学思想方法。
一、为什么要渗透基本数学思想方法
1.基本数学思想方法对学生的发展具有重要意义
掌握科学的数学思想方法对提升学生的思维品质，对数学学科的后继学习，对其他学科的学习，乃至学生的终身发展有十分重要的意义。在小学数学教学中有意识地渗透一些基本数学思想方法，不仅能使学生领悟数学的真谛，懂得数学的价值，学会数学地思考和解决问题，还可以把知识的学习与能力的培养、智力的发展有机地统一起来，这正是课程标准所强调的。
2.渗透基本数学思想方法是落实课标精神的需求
数学课程标准修订稿把“四基”：基本知识、基本技能、基本思想、基本活动经验作为目标体系，基本思想是我们的数学学习目标之一，其重要性不言而喻。在人教版新课程教材中，“数学广角”是新增设的一个内容，主要是介绍和渗透一些数学思想方法，其目的是把一些重要的数学思想方法通过学生日常生活中最简单的事例呈现出来，并运用操作、实验、猜想等直观手段解决这些问题。
二、怎样有效地渗透基本数学思想方法
“数学广角”是人教版小学数学实验教材新增加的板块，许多执教教师都感到比较迷茫，迷茫于编者的意图，迷茫于教学目标的把握，迷茫于教学方法的选择，迷茫于内容的处理，迷茫于过程的展开……再有，《数学广角》的内容不列入期末考试的重点范畴，所以有的教师就蜻蜓点水，一带而过，而有的教师又因为学生要参加各类竞赛，又上成奥数课，过度拔高了要求。其实 “数学广角”的实质就是解决问题。那么，怎么样能让学生在数学广角学习过程中既掌握基本的知识技能和方法，又能亲历数学思想方法的形成过程呢？我们在课堂教学预设和课堂学习过程中又该怎样有效地渗透思想方法呢？下面我们就来谈几个有效的教学策略。
1.教师要更新教学观念，提高自身数学素养
随着数学课程改革的逐步深化，人们对数学的观念也在不断更新。广大数学教育工作者逐步认识到数学素养不能仅仅停留在传统的双基的层面上，数学思想方法越来越得到人们的重视。长期以来，数学教学因受应试教育的严重影响，教师往往出于无奈而采取题海战术式的双基训练。学生们也早已习惯于被动的接受和机械的训练，成为了做数学题的“机器”，这样培养出来的学生又何谈发明创造呢？因此，广大教师应站在素质教育的高度，不要因为数学广角的内容不考试就不重视，走出课堂教学只重视考试的内容，不考试的内容不教学或轻描淡写的现状。
2.在游戏中丰富体验，感受数学思想方法
《数学课程标准》指出，数学课程“不仅要考虑数学自身的特点，更应遵循学生学习数学的心理规律，强调从学生已有的生活经验出发……数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的生活经验上。”
3.在操作中交流比较，渗透数学思想方法
新课标指出：“教师是学生学习的组织者、引导者、参与者。”而每个学生都有分析、解决问题和创造的潜能，都有一种与生具来的把自己当作探索者、研究者、发现者的本能。如教学四年级上册的烙饼问题，“烙3张饼的最佳方法”是本课的关键也是难点，我通过创设小组的探究活动，引导学生对比，感悟优化的思想。先从易到难，引导学生研究烙的饼数是双数的情况，初步感受解决问题过程中的策略选择的方法。接着研究烙的饼数是单数的情况。这时引导学生进行首次对比：为什么烙两个饼要用6分钟，烙一个饼也要用6分钟呢？让学生明确一个饼要烙两面，一个饼的两面不可能同时放在一个平面（铁锅）上。然后研究烙3块饼的情况，给学生多一点时间操作、交流，进行不同方法的对比、碰撞，感悟优化思想。通过小组合作、操作尝试，让学生在活动中初步体验和感悟优化思想。
总之，问题是数学的心脏，方法是数学的行为，思想是数学的灵魂。不管是数学概念的建立，数学规律的发现，还是数学问题的解决，核心问题在于数学思想方法的培养和建立。因此，在教学中，我们不仅重视知识形成过程，还要重视发掘在数学知识的发生、形成和发展过程中所蕴藏的重要思想方法，有意识地、潜移默化进行渗透，做到“随风潜入夜，润物细无声”。
参考文献：
[1]《全日制义务教育数学课程标准》.北京师范大学出版社.2011年版
[2]王光明 范文贵 《新版课程标准解析与教学指导（小学数学）》.北京师范大学出版社.2012年7月版
数学思想范文第2篇
关键词：数学思想；学生；思维
【中图分类号】G 【文献标识码】B 【文章编号】1008-1216（2016）07B-0067-01
《义务教育数学课程标准》（2011版）指出：“数学课程内容不仅包括数学的结果，也包括数学结果的形成过程和蕴含的数学思想方法。”在小学数学课堂教学中，教师不仅要重视知识的传授，还要挖掘知识背后蕴含的数学思想，提升学生的思维品质。有些老师把学生当作储存知识的容器，灌输知识，忽略数学思想的培养。因此，在教学中，教师只有做到传授知识与渗透数学思想并重，才能为学生终生学习打下坚实的基础。
一、渗透转化思想，让思维更灵活
数学是一门系统性很强的学科，前后知识有着密切的联系，转化思想是小学数学一个重要的思想，它是数学思想的灵魂。在课堂教学中，教师要有机地渗透转化思想，将陌生的问题转化为熟悉的问题，通过有效迁移，达到内化新知的目的，完善学生的知识体系。
在教学《圆的面积》时，教师借助多媒体呈现了平行四边形、三角形、梯形和圆形，教师引导学生回顾平行四边形、三角形、梯形面积公式的推导过程，并提问这些图形的面积公式推导过程，有什么相同点？“都运用了转化的策略。”学生们异口同声地说。“那么圆可以转化成什么图形呢？”学生们纷纷猜想，有的学生猜想可以转化为平行四边形，也有学生猜想可以转化为梯形……于是教师引导学生拿出将圆等分的学具进行验证，通过拼一拼、看一看、比一比等活动，学生们发现，可以拼成近似的平行四边形。由于圆是曲线图形，不能通过简单的几次拼接，就可以转化成标准的已学图形，于是教师借助多媒体进行演示，将圆平均分成32份、64份、128份……把圆分成的份数越多，学生直观地感受到拼成的平面图形就越接近长方形，引导学生思考拼成的长方形与原来的圆有什么关系，推导出了圆的面积计算公式S=πr2。
二、渗透数形结合思想，降低问题难度
华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休。”数形结合是重要的数学思想之一，以形解数，可以降低思维难度，达到化难为易、化繁为简的目的。在课堂教学中，教师捕捉时机，渗透数形结合的思想，可以开阔解题思路，提升学生的思维能力。
教学《分数应用题》时，教师出示了这样一道题目：果园里有梨树180棵，梨树的棵数比桃树多 ，果园里有桃树多少棵？这道题学生通过阅读文字，就能理清题目中的数量关系，对很多学生而言，这是有难度的。因此，在做题时，教师可以引导学生画出线段图，借助线段图分析题目中的数量关系：学生借助所画的线段图，就可以很轻松地理清题目中的数量关系，很容易地找出桃树的棵数是“单位1”， 指的是梨树比桃树多的棵数，要求出桃树有多少棵，首先要求出梨树是桃树的几分之几。这样做，有效地降低了问题的难度。
上述案例，在面对复杂的数学问题时，教师有效地运用了数形结合的思想，借助线段图，变“看不见”为“看得见”，帮助学生理清了各个量之间的关系，明确了解题思路。这不仅让学生获得了知识，而且使学生的思维得到多元的发展。
三、渗透模型思想，化抽象为直观
《义务教育数学课程标准》（2011版）指出：“模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。”数学模型思想是帮助学生用数学知识解决实际问题的桥梁，这就要求教师在课堂教学中，不仅要重视知识的传授，还要帮助学生在学习中建立数学的模型，提升学生解决实际问题的能力。
在教学《长方形和正方形的面积》时，教师设计了动手拼一拼的活动：用12个1平方厘米的正方形拼成长方形，可以拼出几种不同形状的长方形？学生通过摆一摆，发现可以摆出3种不同形状的长方形：⑴长12厘米，宽1厘米；⑵长6厘米，宽2厘米；⑶长4厘米，宽3厘米。通过摆的活动，学生明白长方形里面含有多少个这样的面积单位，它的面积就是多少平方厘米。然后让学生根据操作，将探究的数据填到表格中，教师紧接着让学生观察表格中“每行摆的个数”“摆的行数”“所拼长方形的长和宽”，说一说长方形的面积跟什么有关，有什么样的关系。学生通过观察、比较、思考、交流，归纳出了长方形的面积计算公式=长×宽。这一新知探索的过程让学生充分体验了数学模型的形成过程。
上述案例，教师在教学过程中，渗透了模型思想，不仅能够帮助学生内化新知，加深对所学知识的理解，还有效地培养了学生应用模型思想解决实际问题的意识和能力。
总之，数学思想是数学知识的精髓。在课堂教学中，教师要研读教材、挖掘教材，优化教学方法，以传授知识技能为载体，有步骤地渗透数学思想，让学生在主动建构、自主探索的过程中掌握思想，同化新知识，不断提高学生的数学素养，充分体会数学思想的魅力。
参考文献：
[1]李梅芝.依数学思想方法 育数学思维品质[J].小学教学参考，2015，（8）.
数学思想范文第3篇
在不同的知识领域开垦函数
基地
在整个小学阶段的数学学习中，凡是有“变化”的地方就蕴涵着函数思想，它是学生获得数学知识、发展思维能力的动力和工具;是我们进行教学设计和教材重组的指导思想，对于培养学生分析问题和解决问题的能力都有极其重要的意义. 在教材的每个领域，只要你细细研磨就会发现，到处都有函数思想的影子.
1. 在“数与代数”中渗透函数思想
在小学数学“数与代数”领域中，运算是主要的内容之一，且各种运算性质中都渗透了函数思想. 低年级主要借助计算表让学生发现加法、减法、乘法口诀中的规律;高年级则让学生自己探索小数乘、除法的运算规律.
如四年级上册第5页第6题：先填表，再在小组里说说你的发现.
教师出示表格，观察被除数和除数，你能发现什么？猜想商会有什么变化？然后，学生进行计算、验证. 最后，引导学生发现并用自己的话口述规律. 虽然这里并不要求学生能用规范的语言叙述商不变的规律，但变与不变的函数思想已以润物细无声的方式悄然渗透.
2. 在“图形与几何”中渗透函数思想
教学完“长方形和正方形的周长与面积计算”以后，可以安排这样一组题：
（1）你能设计周长为18 m的花圃吗？它的面积最大是多少？并填写如下表格，比一比谁的方法多，谁填得有序.
学生经过研究可以得到，长方形的长和宽分别可以为：8和1、7和2、6和3、5和4.
（2）用18个边长为1 cm的正方形拼成长方形，比一比谁的方法多，谁填得有序.（表格略）
学生经过研究得到，长方形的长和宽可分别为18和1、9和2、6和3.
在此基础上引导学生观察、比较这两道习题在解答时有什么不同的地方. 学生经历了真正的探索，于是不难发现：第（1）题是在周长不变的情况下，改变长和宽;第（2）题是在面积不变的情况下，改变长和宽. 第（1）题不变的是长和宽的和，第（2）题不变的是长和宽的积. 教师接着又提出：这两道习题在解答的时候有什么相同的地方？（都是把可能出现的情况一个一个地列举出来，并从宽是1想起. 在列举的过程中，还应注意有序性）解决一道题不是目的，由一道题的解答可以收获一类题的经验才是教师和学生共同的追求. 以上环节中，求异活动有效地渗透了函数思想，求同活动更为学生今后的学习提炼了数学活动的经验. 这样就把“静态”的学习变成了“动态”的研究，而这种由“静”到“动”本身就是函数的本质. 所以，函数思想使学生学习的过程“动”了起来，使学生的学习“主动”起来，这样也更有利于渗透函数域的概念和极值的概念.
3. 在“统计与概率”中渗透函数思想
函数就像一座桥梁，建立起两个集合之间的“关系”. 由于统计与概率的内容往往通过表格和图象来描述数据，所以统计与概率中也可以渗透函数思想，如折线统计图就可以渗透函数思想：学生学习了折线统计图后就可以从图中得到丰富的信息，如一天中骆驼的体温最高是多少？最低是多少？一天中，在什么时间范围内骆驼的体温在上升？什么时间范围内骆驼的体温在下降？第二天8时的体温与前一天骆驼的体温有什么关系？……从图象中可以自然地向学生渗透变化的量等函数思想. 教师还可出示骆驼体温随外界温度发生变化的折线统计图，引导学生对比、分析两幅图的相同点、不同点，及其成因，讨论温度变化的周期.
在课堂的不同环节孕育函数
之苗
我们的数学课堂一般分为复习导入、新知教学、练习巩固、总结反思等几个环节，在不同的教学环节，我们都可以适时、适度地渗透函数思想.
1. 丰厚新知教学，体验函数思想
如二年级上册“7的乘法口诀”教学：如图1所示，摆1只小船用7个，摆2只这样的小船要用几个？摆3只、4只……7只呢？
结合教材数帆船中三角形个数的活动，引导学生在数的基础上列出乘法算式，并编制出相应的口诀后――
师：观察这7个算式，你能找一找其中的规律吗？
生1：都是乘7.
师：恩，这是相同的地方，还有吗？
生2：开始是1×7等于7，2×7等于14，3×7就等于21……（未等该生说完，另一生便喊出“越乘越多！”）
师（沉默，故作不解）：怎么会越乘越多呢？
生3：就是积越来越大了.
师（还是故作不解）：为什么积会越来越大呢？
生4（激动地）：就是前面和7乘的数越来越大了啊，比如1×7=7，就是1个7;2×7=14，就是2个7，答案是14;3×7就是有3个7，就是21. 越来越多个7，结果也就越来越大了啊. （其余学生纷纷点头认可）
师（也微笑点头）：明白你的意思了，你结合乘法的意义来解释了这种变化，对吗？还有什么不变吗？
生：乘法算式中的一个乘数总是7，而且得数每次都增加一个7.
函数是研究变量和变量之间关系的重要数学模型，在以上判断中，这些学生感受到了积越来越大是因为前面和7相乘的数越来越大，积随着和7相乘的那个乘数变化而变化，也随着它的确定而确定. 这种对应关系正是函数思想的核心. 7的乘法口诀只是口诀教学中的1个课时，如果在整个乘法口诀的教学过程中，教师既关注口诀，又关注其背后的函数思想，站在函数思想的高度审视教材、设计教学，不仅能使学生乘法口诀的学习之旅更加有趣、更加深刻，也能使学生意识到一切事物都在不断变化，而且相互联系、相互制约，从而主动地去了解事物的变化趋势及其运动规律.
2. 优化课本习题，浸润函数思想
如四年级下册“三角形的内角和”课后习题教学：图2中的三角形都被一张纸遮住了一部分，只看露着的一个角，你能确定它们各是什么三角形吗？
笔者进行了拓展练习，不仅完成了书本要求，更增添了自主设计不同三角形的环节.
师：知道三角形中已知一个角是锐角，不能确定它是什么三角形（指着图2）. 如果这个角是50°，你能设计出不同的三角形吗？看不见的两个角分别是多少度呢？可以分类设计，大家尝试在表格中填一填.
以上练习中，教师给予学生自主创新设计的空间，启发学生先设计直角三角形，再分别设计钝角三角形和锐角三角形. 学生踊跃交流后，教师不失时机地提问：观察表格，你有什么发现吗？学生发现，如果设计的是直角三角形，另一个锐角的度数是确定的;如果设计的是钝角三角形或锐角三角形，∠2和∠3的大小是变化的，一个角变大了，另一个角就会变小，但是两个角的大小无论怎么变化，它们的度数和始终是130°. 学生在此过程中不仅加深了对“三角形的内角和是180°”这一规律的理解，而且培养了灵活解决问题的能力，更发现了三角形中三个内角的大小变化规律以及内在联系，感受到了确定与不确定现象的本质，函数思想又悄然渗透了.
3. 增设课末反思，回味函数思想
好的课末反思总结，可以使一节课甚至几节课的诸多内容浓缩成“板块”，得以系统概括、深化，以便学生理解;可以使课堂教学结构严密紧凑、融为一体，显现出课堂教学的和谐与完美;还可以提炼方法、总结规律，帮助学生更好地理解数学思想方法.
如三年级下册“除法”单元复习第2题：
369÷3？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇423÷3？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇672÷6
360÷3？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇423÷4？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇620÷6
306÷3？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇423÷6？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇602÷6
师：学习了这节课，你们有什么收获？
生1：（手指黑板上的习题：369÷3，360÷3，306÷3）我发现除数不变，被除数越大，商也越大.
师（欣喜）：离开了黑板，也许有些小朋友就会忘记这样的规律，你有办法让大家深刻地记住它吗？
生2：我们可以举例，每天都是吃两个鸡蛋，妈妈买的鸡蛋越多，吃的天数就越多.
生3：给我们6个优秀少先队员发奖品，奖品越多，每人发到的就越多.
师：在这道题里，你还能发现什么？
生4：（手指423÷3，423÷4，423÷6）被除数不变，除数越大，商越小.
生5：同样也可以举例记住这样的规律！12粒糖，分给2个人吃和分给3个人吃相比，当然是选分给2人吃，因为每个人分到的糖多.
生6：一本书，看的总页数一定，每天看得越多，需要的天数就越少.
……
师：小朋友们真厉害，举出了发生在小朋友身边的例子，轻松而深刻地记住了这些规律.
函数思想本身比较抽象，如果让学生光凭几道算式记住其中的变化规律，可能比较困难，但以上片段中教师进行了巧妙地引导，让小朋友们想想有什么好办法方便地记住这些规律，大家很快就把枯燥的思想与丰润的生活联系了起来，举出了许多耳濡目染有切身体会的例子.
有了这些来自学生自己生活的实例支撑，学生的理解变得轻松起来. 学生在举例的过程中不仅记住了这些规律，更理解了规律之中所蕴涵的函数思想.
用不同的学习方式绽放函数
之花
1. 在合作交流中体验函数思想的美妙
萧伯纳曾经说过：你有一个苹果，我有一个苹果，交换后还是一个苹果，但如果你有一个思想，我有一个思想，交换后就有两种思想. 合作交流为学生的思维碰撞搭建了平台，学生在互动交流中发展思维、积累思想.
如三年级下册“认识分数”的教学：一堆小棒有12根，分别拿出这堆小棒的和，你还能拿出这堆小棒的几分之一？
经过改编，有以下教学活动――
师：把同桌两人的小棒合起来是多少？（12根）想想你们能拿出这12根小棒的几分之一. 同桌讨论讨论，可以拿笔分一分，也可以在图上画一画，如果能直接填表那是最棒的，不过要比一比谁的方法最多，填写得最有顺序！
收集学生的作业纸，展示两种表格，一种是无序的，一种是有序的.
师：观察这两张表格，你更喜欢哪一张？说说你的理由.
生1：喜欢第2种，因为第2张表格有顺序，这样就不会漏掉，也不会重复.
师：在这样有序的表格中，你能发现什么？
生2：分母越来越大，每份的数量就越来越少.
生3：也就是平均分的份数越多，每份就越少！
师：是啊，在分的总数不变的情况下，分母越大（平均分的份数越多），每份就越少！
以上片段中，教师改编了书本上的习题，作了更高层次的要求：“比一比谁的方法最多，填写得最有顺序”，在教师充满启发的语言诱导下、在合作伙伴的相互启发下，学生能很快地想到解决方法. 教师让学生填表后还别巨匠心地设计了比较活动，看似不经意的比较，却让学生感受到了有序整理的好处――不重复、不遗漏. 在这样的表格中，学生能很快发现其中隐藏的平均分的份数与每份数的变化规律.
2. 在动手操作中领略函数思想的神奇
儿童的指挥凝结在手指尖上，动手操作能调动学生的多种感官参与学习，能使学生积累一定的操作经验、思维经验，并有效促进函数思想的渗透.
如三年级上册“长方形和正方形的特征”的练习教学：先自己拼一拼，再与同桌交流一下. （1）用6个一样的小正方形，拼成一个长方形. （2）用16个一样的小正方形，拼成一个大正方形. 用16个小正方形能拼成不同的长方形吗？
笔者改编为四人小组合作，用12个小正方形拼出大长方形，并记录拼成的大长方形的长和宽. 通过这一动手操作活动，不仅及时巩固了刚刚学习的长方形与正方形的特征，使学生发现由12个小正方形能拼成的不同的长方形，而且培养了学生思维的发散性. 观察表格时发现，长和宽的乘积不变，长越大，宽就越小，这为今后学习长方形的面积计算奠定了基础.
3. 在自主探究中欣赏函数思想的魅力
瑞士心理学家皮亚杰认为：儿童学习的最根本途径应该是活动，活动是联系主、客体的桥梁，是认识发展的直接源泉. 根据心理特点，放手让学生在动手、动口、动脑的协调之中进行自主探求知识的活动，可发展学生的认知结构. 自主探究也是实现函数思想渗透的学习方法之一.
如二年级下册“百数表”的教学，除了放手让学生自主探究百数表中数的排列规律（横着、竖着、斜着）外，还可以引导学生进一步探索每一行中相邻的两个数的规律、每一列中相邻两个数的规律，甚至每两行与每两列相邻四个数之间的规律，这些规律蕴涵着多种变化.
数学思想范文第4篇
关键词：数学教学思想；数学思想；中学数学教学；素质教育
中图分类号：G633.6 ？摇文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2014）07-0233-02
新的课程标准中强调过程与方法，把知识产生的过程和解决问题的方法提到了一个新的高度。因此，数学教学中大力加强数学思想的教学势在必行。某种意义上来说，不教思想的课不能算是好课，这不仅是一个思想教学问题，更是一个教学思想的问题。因此，亟待弄清数学思想与数学教学思想之间的关系，以利于更好地指导中学数学教学的改革。
一、数学思想与数学教学思想的区别
首先是概括的对象不同。数学思想是对数学规律的本质认识，它是数学科学与数学学科固有的，它是数学的灵魂。而数学教学思想是对数学教学规律的本质认识，它既是数学教学实践活动的产物，又是其指南。它是人们观察、处理数学教学问题，进行教学工作的指导思想，它能经常直接地对数学教学活动发挥定向、控制、执行和反馈的功能，指导数学教学工作正常有效地进行；其次是结构的不同，数学思想包括数学观、认识论、方法论以及渗透在数学知识结构（概念、判断、推理等）的各个层次中的思想火花，而数学教学思想涉及到多学科，尤其与数学、教育学、心理学、哲学、逻辑学等都有紧密的联系；再次是功能的不同。数学教学从外显的知识到内隐的思想，既意味着内涵深化，又意味着功能扩展。有调查资料表明，我国的中学生毕业后，直接用到的数学知识并不太多，更多的是受到数学思想的熏陶与启迪。数学思想在优化学生所学知识的组成方式，发展数学思维，提高问题解决能力等方面有着广泛而重大的作用。而数学教学思想是决定教师进行的教学活动效果的核心因素。不管怎么说，对数学教学总的看法，肯定会自觉地或不自觉地在教学中反映出来，它制约着教学方法的运用，直接影响着数学教学目标的选择与实现；最后是发展特点不同。数学史可以看作一部思想斗争史，数学思想是数学发展的历史长河中积淀下来的精华，它是数学对象及其关系结构反映在人们的意识中经过思维活动而得到的结晶。随着数学的发展，数学思想日益丰富，而数学教学思想是教学论知识的活化和数学教学实践经验类化的结果，其主要来源是数学教学经验的科学总结，对我国古代教学思想的批判继承，从外域的教学思想中取得借鉴，随着时代的进步，社会的发展，数学教学思想也是不断发展的。
二、数学思想和数学教学思想的联系
数学教学思想指导数学教学的外在组织形式，而数学思想指导教学的内在组织形式，它们都是数学教学理论的重要组成部分。
第一，数学思想是数学教学思想的内核。数学思想与数学教学思想都具内隐性，数学学科有着丰富的思想，以数学思想为内核的数学教学思想更科学，优选教学方法更有效。如在方程（组）教学中，强化消元与降次的思想，可采用很普通的单元教学法。这样，能充分体现充满在整个数学中的“思想经济化”的精神，变“板块式”教材为“螺旋式”教学，斯托利亚尔在他所著的《数学教育学》中指出：“实际上，与其说是在中学教学现代数学，倒不如说是数学的现代教学”。波利亚也强调把数学中“有益的思考方式，应有的思维习惯”放在教学的首位，把“数学教给所有的人”。这些名家的论述都说明了数学思想应作为数学教学思想的内核。
第二，数学思想能活化数学教学思想。这里的活化指对数学思想的消化、验证、概括和具体迁移。教学的基本要求是重点突出，难点分散，重点往往要运用数学思想或揭示新的数学思想，数学思想史上的里程碑常常都是教学的难点。数学思想表现为一种意识或观念，很容易迁移到对象情景相似的场合中去。F.克莱因曾提出“用函数来思考”，奥加涅相提出“函数思维”，都强调了函数思想能活化为一种教学思想，这种函数教学思想能有效地帮助学生理解代数式、方程、曲线、函数、图象、不等式、数列等的内在联系，并且是一种“技术性”的教学思想，具有一般性、程序性和构造性的特征，有章可循，对数学教学有着直接而现实的指导意义。数形结合思想贯穿中学数学与数学教学的始终，它在我国从古至今一直是一种教学思想，强调数学应用的“培利运动”，强化现代数学思想教学的“新数运动”，波利亚的“合情推理”的教学思想，汉斯.弗赖登塔尔的“数学现实”、“数学再创造”的教学思想，本质上都是某种数学思想活化的结果。
第三，数学教学思想体现着数学教学规律的本质要求，教学过程的基本程序是：感知―理解―巩固―应用，而要领悟数学思想，则更需要渗透、提炼与反思。数学学科经过了教学法加工，数学教学思想必须充分反映数学的特点，没有数学思想的数学教学思想，是一碗“没有肉的淡汤”，没有先进的数学教学思想指导数学教学，数学思想可能会成为一块“嚼不动的牛肉”，目前的数学教学中，有人在苦口婆心地灌输大量公式和呆板的例题，有人依循一种有条不紊却异常乏味的“定义―公理―定理”的方式进行马拉松式地讲授，也有人特别偏爱魔术般地板演刁钻难题而忽视基础知识与技能，淡化数学思想的教学，不尽快克服这些弊端，后果实在堪忧。
三、数学思想向数学教学思想迁移的条件
数学思想向数学教学思想迁移的问题也即转变数学教学思想的问题。
第一，充分发掘教材内潜在的思想是迁移的前提。巧妇难为无米之炊。首先要发掘教材内蕴含那些思想，构成怎样的体系，教学价值各是什么，认识到数学思想的存在，才有可能根据它来指导数学教学。
第二，进行有效的教学实践活动是更新数学教学思想的基础。教学实践是检验数学教学思想正误、优劣的唯一标准。就目前研究看，数学思想在完善学生数学认识结构过程中起着核心的作用，如波利亚主张的让学生主动探索、猜测、修正结论的合情推理的数学，奥苏伯尔的先行组织者教学，刺激――反应――强化机制的教学思想都具有操作性特点，需要大力实践，摸索经验，积淀出数学教学思想。
第三，掌握数学思想系统是更新数学教学思想的关键。只有掌握了数学思想系统，才能从根本上转变数学教学思想，否则，只能局部更新成功，总体还是沿用陈旧的教学思想，这样，必须在大力发掘教材内的数学思想的同时，研究数学思想的分类、结构与功能，学生数学思想的形成过程及其教学的技术性原则。在数学思想的纵向联系和横向渗透中，真正使学生认识到数学思想是数学的精华，是学生的必备修养，使教师认识到数学教学不仅是外显知识的教学，而且是内隐思想的教学，这是更新数学教学思想的关键。
第四，变升学教育为素质教育是转变数学教学思想的动力。不强化数学思想的教学，素质教育就会成为一句空话，在可以预见的将来，升学的压力仍然很大，需要在提高学生素质的基础上，有利于升学，这样才能求得社会、家长乃至学生对转变教学思想的支持。
数学思想范文第5篇
关键词：数学思想 教学功能概念
数学课堂教学是教师“主体表演”的过程，是语言、动作、板书演示、语言交流、情感交流等融于一体的过程。在这种过程中，往往既能反映出教师专业基础知识的情况，又能反映出教师对教学理论的掌握情况，同时还可反映出教师的数学思想的有关情况。实践证明，在数学教学中，数学思想、方法已经越来越多地得到人们的重视，特别是在数学教学中，如何使学生较快地理解和掌握数学思想、方法，更是我们广大中学数学教师所关心的问题。
一、对中学数学思想的基本认识
“数学思想”作为数学课程论的一个重要概念，我们完全有必要对它的内涵与外延形成较为明确的认识。关于这个概念的内涵，我们认为：数学思想是人们对数学科学研究的本质及规律的理性认识。这种认识的主体是人类历史上过去、现在以及将来有名与无名的数学家；而认识的客体，则包括数学科学的对象及其特性，研究途径与方法的特点，研究成就的精神文化价值及对物质世界的实际作用，内部各种成果或结论之间的互相关联和相互支持的关系等。可见，这些思想是历代与当代数学家研究成果的结晶，它们蕴涵于数学材料之中，有着丰富的内容。
通常认为数学思想包括方程思想、函数思想、数形结合思想、转化思想、分类讨论思想和公理化思想等。这些都是对数学活动经验通过概括而获得的认识成果。既然是认识就会有不同的见解，不同的看法。实际上也确实如此，例如，有人认为中学数学教材可以用集合思想作主线来编写，有人认为以函数思想贯穿中学数学内容更有利于提高数学教学效果，还有人认为中学数学内容应运用数学结构思想来处理等等。尽管看法各异，但笔者认为，只要是在充分分析、归纳概括数学材料的基础上来论述数学思想，那么所得的结论总是可能做到并行不悖、互为补充的，总是能在中学数学教材中起到积极的促进作用的。
关于这个概念的外延，从量的方面讲有宏观、中观和微观之分。属于宏观的，有数学观(数学的起源与发展、数学的本能和特征、数学与现实世界的关系)，数学在科学中的文化地位，数学方法的认识论、方法论价值等；属于中观的，有关于数学内部各个部门之间的分流的原因与结果，各个分支发展过程中积淀下来的内容上的对立与统一的相克相生的关系等；属于微观结构的，则包含着对各个分支及各种体系结构定内容和方法的认识，包括对所创立的新概念、新模型、新方法和新理论的认识。
二、数学思想的特性和作用
1、数学思想凝聚成数学概念和命题，原则和方法
我们知道，不同层次的思想，凝聚成不同层次的数学模型和数学结构，从而构成数学的知识系统与结构。在这个系统与结构中，数学思想起着统帅的作用。
2、数学思想深刻而概括，富有哲理性
各种各样的具体的数学思想，是从众多的具体的个性中抽取出来且对个性具有普遍指导意义的共性。它比某个具体的数学问题(定理法则等)更具有一般性，其概括程度相对较高。现实生活中普遍存在的运动和变化、相辅相成、对立统一等“事实”，都可作为数学思想进行哲学概括的材料，这样的概括能促使人们形成科学的世界观和方法论。
3、数学思想富有创造性
借助于分析与归纳、类比与联想、猜想与验证等手段，可以使本来较抽象的结构获得相对直观的形象的解释，能使一些看似无处着手的问题转化成极具规律的数学模型。从而将一种关系结构变成或映射成另一种关系结构，又可反演回来，于是复杂问题被简单化了，不能解的问题的解找到了。如将著名的哥尼斯堡七桥问题转化成一笔画问题，便是典型的一例。
三、数学思想的教学功能
1、数学思想是教材体系的灵魂
从教材的构成体系来看，整个初中数学教材所涉及的数学知识点汇成了数学结构系统的两条“河流”。一条是由具体的知识点构成的易于被发现的“明河流”，它是构成数学教材的“骨架”；另一条是由数学思想方法构成的具有潜在价值的“暗河流”，它是构成数学教材的“血脉”灵魂。有了这样的数学思想作灵魂，各种具体的数学知识点才不再成为孤立的、零散的东西。因为数学思想能将“游离”状态的知识点(块)凝结成优化的知识结构，有了它，数学概念和命题才能活起来，做到相互紧扣，相互支持，以组成一个有机的整体。可见，数学思想是数学的内在形式，是学生获得数学知识、发展思维能力的动力和工具。教师在教学中如能抓住数学思想这一主线，便能高屋建瓴，提挈教材进行再创造，才能使教学见效快，收益大。
2、数学思想是我们进行教学设计的指导思想
笔者认为，数学课堂教学设计应分三个层次进行，这便是宏观设计、微观设计和情境设计。无论哪个层次上的设计，其目的都在于为了让学生“参与”到获得和发展真理性认识的数学活动过程中去。这种设计不能只是数学认识过程中的“还原”，一定要有数学思想的飞跃和创造。这就是说，一个好的教学设计，应当是历史上数学思想发生、发展过程的模拟和简缩。例如初中阶段的函数概念，便是概括了变量之间关系的简缩，也应当是渗透现代数学思想、使用现代手段实现的新的认识过程。
数学思想范文第6篇
关键词：算经十书，传统数学思想，新理解
Abstract:Exploringandstrivingfortheconstantlyimprovingmethodsandtechniquesofcalculation,stressingtheexplicitthinkingbasis,andconcentratingonitsflexibleandwideapplicationisthepithofthemathematicideasofSuanjingshishu,thethreadofwhichisadvancingalongtheexploration,improvementanddevelopmentoftuibu(thescienceofcalculatingtheastronomiccalendar).Itcombinescalculationwithanalogy,andthus,formsitsuniquetraditionalstyleandmethod.
KeyWords:SuanJingShiShu,TraditionalMathematicalThinking,newunderstanding
在世界科学史中，中国传统数学是一颗灿烂的明珠。在中国传统数学中，“算经十书”是典型的代表。所谓“算经十书”，指的是中国十部古算书：《周髀算经》、《九章算术》、《孙子算经》、《五曹算经》、《夏侯阳算经》、《张丘建算经》、《海岛算经》、《五经算术》、《缀术》（元丰年间已失传，后来以《数术记遗》代之）、《缉古算经》。唐代时期，国子监内设算学馆，置有博士、助教，指导学生学习数学，规定这十部书为课本。许多人为这十部算书作注释，作增补删改，历代华夏子孙学习它，研究它，中国数学也因它而形成自身的传统并将此传统继承和发扬。“算经十书”就其内容来说，属于初等数学；就其数学思想和数学方法来说，则是十分高深的。下面，我们阐述其数学思想。
1.探索和追求精益求精的计算方法和技巧
就数学内容而言，“算经十书”以善于计算而见长，并且这一长足的发展还被推进到让世界其他各国都望尘莫及的地步，这已是中外中算史家的共识。“算经十书”能如此辉煌耀目，是跟它着力探索和追求精益求精的计算方法和技巧分不开的。
“算经十书”中最早的一种《周髀算经》，其第一章叙述了西周开国时期（约公元前1100年）周公与商高的一段问答。从这段问答中，我们可以见到我国早期数学思想的一些初步端倪。当周公问商高“夫天不可阶而升，地不可得尺寸而度。请问数安从出？”时，商高答道：“数之法出于圆方，圆出于方，方出于矩。矩出于九九八十一。”接着，商高还说：“故折矩以为句广三，股脩四，径隅五。既方其外，半之一矩，环而共盘，得三、四、五。两矩共长二十有五,是谓积矩。故禹之所以治天下者，此数之所由生也。”这里，我们可以清新地见到，我们祖先在早期“定天下”、“治天下”时，已经看到了数学的重要性（如大禹、周公）；而掌握到一些数学知识的人（如高商），是注意数学思想和数学方法的。比如，我们从上述商高答问中，就可以看到，古人理解“数之所由生”，是将形与量结合起来考察的。圆和方都是形，而形是有数量关系的，从考察形可以探讨到“数之法”，但这形中又包含着丰富的数量关系，特别是平方关系（九九八十一）。数之法是从圆形和方形开始的。圆是内接正多边形经过无数次的倍边之后所得到的正多边形的极限（我国最早的极限思想，是不是来自于这种“圆出于方”的观念，希望读者引起注意）。矩是木匠用的曲尺，形如L，方中的直角，非矩不能作，所以说方出于矩。矩形的面积又不外于二数相乘，也就是说，要算出来。我国古代算法好凭口诀，而乘法口诀是从“九九八十一”起的，古人用“九九”作为乘法口诀的简称，故有“矩出于九九八十一”。这里所包含的用数的性质来研究形的性质的思想，与古希腊的数学思想旨趣相映。古希腊的毕达哥拉斯定理：a2+b2=c2。而当a=b=1时，则
c=，这既不是自然数，也不是自然数之比，所以不能是可接受的正常的数，被称为无理数，导致了第一次数学危机，从此古希腊数学发展的方向产生了大改变，“几何化”占了主导地位。[1]商高提出了著名的“句三股四弦五”这个勾股定理（也称勾股弦定理、商高定理），是从“折矩”而来然后得“积矩”的，3，4，5及其平方的关系可以体现出勾股定理，但中国并没有由此而产生数学危机，也没有发生发展方向的大改变，反而为“几何代数化”[2]这个中国传统数学发展主导方向奠定了很好的基础。中国早期讲究以算的方法去解决实际数学问题，是“数之所由生”的重要思想。
在古代，不管是西方国家或中国，数学的发展都跟勾股定理结下不解之缘，这不是偶然的历史巧合，而是不同渊源和发展脉络的科学认识的一种必然交汇，其原因是由人们的实践活动决定的。作为人类早期的数学研究活动，很自然地会碰到考察形的性质及数量关系，直角三角形成为关注的对象是在情理之中。正如赵爽所说的，早期先人们（如大禹）能掌握有关的数学知识是“乃勾股之所由生也”。但不同民族的不同思维方式会导致数学发展的不同朝向，至少在初等数学领域内是存在的。古希腊在数、形简单和谐的观念被打破之后发生大转向，从重算发展到重证，发展到重视几何证明，往后的趋势就是有了这种发展趋势和成果的集大成标志——欧氏几何的产生，它是西方国家初等数学体系确立的标志，而中国此时并不发生方向的大改变，而是沿着算的道路继续前进，往广度和深度上延伸发展，导致的是中国传统数学体系的形成——《九章算术》的出现。《九章算术》中有许多具有世界意义的成就，如负数计算、分数计算、联立一次方程解法等，正是沿着探索计算的方法和技巧前进的结果。可贵的是，我们的祖先在此数学思想的指导之下，并不以原有的结果为满足，没有停留在原有的水平上裹足不进，而是精益求精地深入下去。如《九章算术》246道题，有解题方法202“术”，在当时有如此辉煌成绩已难能可贵，但三国魏晋时期的刘徽，就在《九章算术》的基础上，仔细作注，不但为《九章》提供了系统的理论依据，而且大力向前推进，提出了许多创见，将探讨和讲究精益求精的计算方法和技巧这种数学思想，提到一个更高的水平，并对后世的发展带来了深刻的实际影响，如他发现的割圆术，为后来祖冲之求得更精确的π值奠定了基础，唐李淳风注《九章算术》时说：“刘徽特以为疏，遂乃改张其率，但周径相乘数难契合。祖冲之以其不精，就中更推其数。”刘徽本人告诫人们他所得到的“徽率”太小，后人也正是沿着刘徽的思想方法再继续前进，将π值愈推愈精确。在求积问题上，刘徽也有突破，他提出了推求球体积的著名的“牟合方盖”理论，之后，祖暅在刘徽研究的基础上，精益求精，得到了闻名于世的“祖暅定理”，并具体求出了“牟合方盖”。这长江后浪推前浪，一浪更比一浪高的中国高超的算法技巧，正是在一条清晰的传统思维途径――探索和讲求精益求精的计算方法和技巧中进行和取得成就的。如《张丘建算经》自序中这样写道：“其夏侯阳之方仓，孙子之荡杯，此等之术皆未得其妙。故更造新术推尽其理。”在探索精益求精的算法道路上更上一层楼，就是《张丘建算经》的数学指导思想，正是在此思想的指导之下，出现了举世闻名的“百鸡问题”。
2．讲究明确的思想依据
数学思想研究的是数学产生和发展的思想方法和思想依据。“算经十书”不仅在数学知识上光彩耀目，在数学思想上也独树一帜，其显著的特点是对于作为每项有意义的数学成果，都讲究其明确的思想依据。
刘徽精细地注释了《九章算术》，从而确立了中国传统数学理论体系。刘徽的数学思想和方法，对后世影响极深。如王孝通在《上缉古算经表》中云：“徽思极毫芒，触类增长。”说刘徽的思想方法是“一时独步”。而刘徽对自己所接触和研究的数学，是十分讲究明确的思想依据的。“算经十书”中有二部与他密切相关。《九章算术》由于有了刘徽注，从此中国传统数学有了自己的理论体系；他在注《九章算术》时补撰“重差”，其单行本即《海岛算经》。刘徽注《九章算术》时，十分讲究数理之道要有明确的思想依据。在《九章算术》注原序中，刘徽说：“徽幼习《九章》，长再详览。观阴阳之割裂，总算术之根源，探赜之暇，遂悟其意。是以敢竭顽鲁，采其所见，为之作注。事类相推，各有攸归，故枝条虽分而同本干者，知发其一端而已。又所析理以辞，解体用图，庶亦约而能周，通而不黩，览之者思过半矣。”在“圆田术”注中，刘徽写道：“不有明据，辩之斯难”，于是，他在创造“割圆术”的同时，还告诉人们此种创造是有依据的：“谨接图验，更造密率。恐空设法，数昧而难譬。故置诸检括，谨详其记注焉。”在“开立圆”（由球的体积以开立方的方法求其直径）注中，刘徽创立了“牟合方盖”理论，他不仅介绍了有关方法，而且还言明思想依据，“互相通补，……观立方之内，盒盖之外，虽衰杀有渐，而多少不掩。判合总结，方圆相缠，浓纤诡互，不可等正。”但他又担心依据不足，惟恐理法相违，专门作了交待，以待后人获得更严密的依据：“欲陋形措意，惧失正理。敢不阙疑，以俟能言者”。从中我们不仅见到先哲们对探讨数理的思想依据的重视，也深深领悟到他们治学严谨的高尚风范。在谈到将割圆术作为解决有关极限问题的工具时，刘徽也阐述了其思想依据：“数而求穷之者，谓以情推，不用算筹”（“阳马术”注）。意思是说，数学中凡解决有关无穷之类问题时，不必用算筹去计算，应当用数学思想去把握。再拿《海岛算经》来说，刘徽为什么要写《海岛算经》呢？其思想依据是什么?在《九章算术》刘徽注原序中，刘徽清楚的说明“苍等为术犹未足以博尽群数也”，于是“辄造重差，并为注解，以究古人之意，缀于句股之下”，“以阐世术之美”。而造“重差”此术的思路是：要测量不可到达目的物的高和远时，一次测望不够，于是采用二次测望、三次测望、四次测望，即“度高者重表，测深者累矩”（“重表”或“累矩”就是用表或矩测望两次）、“孤离者三望”、“离而又旁求者四望”。更为深刻的是，刘徽并不是勉强、被动地去考究数学知识之思想依据的，他认为数学思想与数学知识之间本身具有非常紧密的联系，他用庖丁解牛来阐述此层道理：“更有异术者，庖丁解牛，游刃理间，故能历久其刃如新。夫数犹刃也，易简用之则动中庖丁之理，故能和神爱刃，速而寡尤”（《九章算术》方程术注）。
自刘徽之后，“算经十书”的著者都较注意阐述算理要有明确的思想依据，如四库总目提要中称：《张丘建算经》之体例，皆设为问答，以参校而中明之，简奥古质，与近求不同，而条理精密，实能深究古人之意。正因为此书注意讲究数学的思想依据，因而对掌握数学知识的来龙去脉很有益处，“故唐代颁之算学，以为专业”。就是在我国近年的中学数学课本中，还列有《张丘建算经》的题目。
此外，“算经十书”中关于数学证明的部分，也讲究要有明确的思想依据。[3]
3.着力于灵活和广泛的应用
中国传统数学十分着力于灵活和广泛的应用。拿“算经十书”最早的一部《周髀算经》来说，东汉末至三国时代的吴国人赵爽曾对《周髀算经》逐段进行详细的注释。在赵爽注释中有这样写道：“禹治洪水，决流江河，望山川之形，定高下之势，除滔天之灾，释昏垫之厄，使东注于海而无侵逆，乃句股之所由生也。”又据《史记•夏本纪》记载，大禹治水时，“陆行乘车，水行乘舟，泥行乘撬，山行乘撵，左准绳，右规矩。”赵爽的注释和《史记》的记载（山东五梁祠画像石中有幅大禹治水图）都说明了我国早期注意从实践中提炼数学知识并将掌握的数学知识应用到实践中去。《周髀算经》中记载的“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远。环矩以为圆，合矩以为方”都充分体现了将数学知识（包括数学器具）着力于在实践中应用的思想。我国是一个农业古国，田地面积的量法极需要数学为它提供手段，储囤粮食、建筑城墙、开沟挖渠等都需要有计算体积的方法，如求方田、广田、圭田……的面积，求城、……的体积，都十分需要有一定的数学工具为人们提供解决问题的手段。我国古代很早就推行按亩收税、两税法的赋税制度，兑换、分配的需要以及工商业的发展，促进和加强了将数学知识应用于实践。再从中国封建统治者来看，他们也极需要精确地计算田亩面积，合理安排赋税，来发展封建社会的经济，巩固封建王朝的统治。特别是天文历法，它对于历代统治者来说，都是至关重要的，似乎它就是封建王朝统治者兴衰的象征。封建统治者需要颁布历法，历法的制定又离不开数学。因此，在古代中国，不管是“民间”或“官方”，都要求数学研究与实践经验相结合。《周髀算经》旨在阐明宇宙结构学说“盖天说”；《九章算术》九个章都与实践紧密相关；《海岛算经》用以解决测量推算远处目的物的高、深、广、远问题；《孙子算经》所选的大部分都是解决实际情况的应用题；《夏侯阳算经》引用当时流传的乘除捷法，为的是要解决日常生活中的应用问题；《张丘建算经》上、中、下三卷，大部分都是涉及到解决测望、方圆幂积、商功、均输、方田等现实的实际问题；《五曹算经》分别叙述计算各种形状的田亩面积、军队给养、粟米互换、租税、仓储容积、户调的丝帛和物品交易，即所谓的田曹、兵曹、集曹、仓曹、金曹等五曹的应用问题；《五经算术》则是力图将古代经籍的注释中有关数字计算的知识与历法、乐律的研究结合起来，另有旨趣；《数术记遗》中载有运用数学知识解决实际问题的数学器械，如积算、太乙、两仪、三才、五行、八卦、九宫、运筹、了知、成数、把头、龟算、珠算、计数等。这些，非常雄辩、实在地体现了我国传统数学思想的鲜明特色。
中国传统数学十分着力于灵活和广泛的应用的显著特点是边讲究算法边探讨应用，把精益求精的算法和灵活广泛的应用紧密结合起来，从而推动数学的进一步发展。以王孝通的《缉古算经》为例。《缉古算经》（公元630年左右）是“算经十书”中最晚问世的一部，也是最难的一部。书中涉及到的问题相当复杂，20道题中除了第一题是关于历法的之外，其余各题都是关于土木工程、仓库容积以及勾股定理的应用问题，王孝通解决它，多数用到三次方程。《缉古算经》是世界上最早提出三次方程代数解法的书，具有世界意义。王孝通的工作，从一个方面体现了当时我国数学研究已达到了相当高深的水平。英国李约瑟说：“三次方程最早是在《缉古算经》中发现的，这部书问世的年代肯定是在公元625年前后。像往常那样，这些方程是从工程师、建筑师和测量人员的实际需要产生的”[4]著名的日本数学史家三上义夫也说过：“唐王孝通之《缉古算经》，使用三次方程式以解各种问题。……中国成立三次方程式，乃在阿拉伯之前；而由术文推得之方程式解法，亦与发达于阿拉伯者全不同也。”[5]王孝通研究三次方程所得到得成果，比阿拉伯人（10世纪之后）和意大利的斐波那契（13世纪）都早得多。《缉古算经》中最重要的部分是关于堤坝求积问题的，我们可以把王孝通的方法称为“堤积术”，“堤积术”是王孝通一生最得意的创作，此书送呈朝廷时，王孝通请求召集能算之人，考究其得失。“如有排其一字，臣欲谢以千金。”隋、唐时期，运河的开凿，桥梁的兴修，大规模的城市宫殿、寺院的建造，以及天文历法的改进，都出现了大量比较复杂的计算问题，时代的需要对于数学知识和计算技能提出了比过去更高的要求。而王孝通能创立解决这些问题的“堤积术”，正是他把探讨应用和讲求算法结合起来的结果。他潜心苦钻，结合当时土木工程中出现的大量实际问题，尽力探索有效的解决办法，他说：“伏寻《九章•商功篇》，有平地役功受袤之术。至于上宽下狭、前高后卑，正经之内阙而不论。致使今代之人不达深理，就平正之间同邪之用。斯乃圆孔方柄，如何可安？”解决土方计算等问题，《九章》商功章中早有述及，但他认为“旧经残驳，尚有缺漏”，商功章中虽有“平地役功受袤”之术，但对于上宽下狭、前高后低等各种情况，还应当探求新的方法给予正确解决，这才导致“堤积术”的诞生。王孝通是通过对当时土木工程中的数学进行了一番的研究和总结，才写出《缉古算经》。
4．对中国传统数学思想的新理解
一般说来，传统是指世代相传、具有特点的社会因素，如思想、道德、作风、艺术、风俗、制度等。而人们习惯于把古代的、民族的东西归为是传统的，或把传统看作是本民族古代产生和存在的东西。实际上，我们应当用发展的、辩证的眼光看待传统。某种东西既称为传统的，或称为具有传统性意义的东西，那么它就有延续之意。传统本身就是在一定的时间、空间中产生，由时间、空间积淀的，并且这空间是开放的，时间是延续下来的。对于之后的来说，之前的往往由于它们某些共同的属性整合在一起就构成传统，或使原有的传统采用旧方式或新方式再延伸开来。当然，也会有传统中断或传统消失。同时还应当看到，传统本身就是惰性，唯有弘扬和发展得起来的才具有活力。因而，能与时俱进的传统，堪称绝佳之传统。
综上所述，可以说，“算经十书”已构成了具有中华民族自身特色的传统数学思想，并且由于这传统的延续使得其思想精粹愈加灿烂。中国古代数学及数学思想，自春秋战国到西汉中期确立了体系之后，一直到唐朝，基本上使沿着《九章算术》这条主线传统式地发展的，在这期间，由于生产水平的提高和科学技术的进步，数学和数学思想也不断得到提高，《九章算术》的数学体系得到充实、丰富和发展，也出现了不少超出《九章算术》范围的研究成果。到了宋元时代，我国传统数学达到鼎盛时期，走在世界数学的前列。从《九章算术》多元一次联立方程组的解法，到天元术，再到朱世杰《四元玉鉴》四元高次方程组的解法；内插法从汉代的一次内插法，推进到等间距二次内插法、不等间距二次内插法、三次内插法；从《九章算术》的“王家共井”（不定方程）、《孙子算经》的“物不知数”（中国剩余定理），到秦九韶的“大衍求一术”（一次同余组）；后来，在高阶等差级数求和上，从“隙积术”，到“招差术”，再到“垛积术”，特别是“尖锥术”，都具有世界意义，这意味着“中国数学也将会通过自己特殊的途径，运用独特的思想方式达到微积分，从而完成从初等数学到高等数学的转变。实际上，在西方，牛顿和莱布尼茨也是通过各自不同的途径，几乎同时达到微积分的思想的。”[6]这些，都是传统数学、数学思想和方法的延伸和发展，都是“算经十书”数学思想精粹的发扬光大。中国传统数学思想是在漫长的岁月中，吸收了从古代到近代各个不同时期的社会发展和社会变革形成的文化因素和思想因素，新旧相互作用，内外（外来的）相互碰撞，延绵伸展开来的。
中国传统数学思想具有显著的民族性特征。我国传统数学是沿着注重从实践经验中产生和发展数学的思维方式发展数学的，擅长于算，运算主要以算筹作为工具。这与西方许多国家发展数学的道路是不同的。中国传统数学思想有着自己的渊源和模式，有其之长，也有其之短。在初等数学领域之内，正是这种传统数学思想把我国数学推向世界的最高峰，许多国家与我国相比，望尘莫及。但是，这种状态是很有限的。1303年，朱世杰出了著名的《四元玉鉴》之后，我国数学出现了停滞。“中国数学经过许多世纪的高涨之后，从14世纪中叶开始了停滞的时期。”[7]“朱世杰（1303）之后，我国数学突然出现中断的现象。”[8]“在1400年间到1500年间，几乎没有一部值得注意的著作。”[9]“自明初至清初，约当公历1367年迄1750年，前后凡四百年，……是称中算沉寂时期。”[10]“以致金元之际的数学名著大都失传，四百年中竟无人能了解增乘开方法和开元术。”[11]这样的事实不得不使今天的人们进行深刻的反思。国人悟出的其中的一个道理是：继承和发展中国传统数学思想，“纯粹的”民族传统是不行的，要面向世界，面向现代化。
面对现代化，弘扬我国传统科学思想，推进科学向前发展，这是摆在我国科学工作者和哲学社会科学工作者面前光荣而艰巨的任务。“面对新世纪新发展，我国科技界的使命是：全面贯彻‘三个代表’要求，坚持实施科教兴国战略，大力推进科技创新，努力为我国先进生产力和先进文化的发展，为维护和实现我国最广大人民的根本利益不断贡献智慧和力量。”[12]“要大力加强对各门传统学科的研究，大力加强各门新兴学科和交叉学科的研究，大力加强各门学科的理论和体系的建设，大力加强各门学科的方法和手段的建设”[13]。如何正确认识和处理好中国传统数学思想及其现代化，并且在实践中真正弘扬中国传统数学及数学思想，积极面对和解决当代现实问题，我国科学工作者实际上已经走出了一条很好的路子，这就是将中国传统数学思想精粹同高新科技结合起来，在实践中摸索出能在我们底子比较雄厚、根基较为扎实、擅长发挥优势的生长点上进行创新。例如，我国“战略数学家”吴文俊教授，在弘扬中国传统数学及数学思想上，做出十分杰出的贡献。他深入地钻研和了解了中国传统数学思想，并且在此基础上有着出色的创新。前已论及，在中国传统数学中，有个显著的特点就是擅长于计算。而计算有它明确的要求，必须把研究对象数量化，同时要建立运算法则。中国传统科学凭借其显著特点，不但在宋元时期把算术和代数推向当时世界的最高峰，而且以一种独特的方式在某种程度上起着数学证明的作用，发挥“算”“证”交互作用推动数学发展的效能。这种传统特征蕴涵着十分深邃的思想精髓。我们知道，在数学研究中，存在着计算和证明这两种不同的手段和风格。一般说来，“算”是把研究对象数量化，遵循一定的规则，按照一定的程序，经过操作，比较机械地得出某种数学结果；而“证”则是要以某些命题作为前提，根据定义和已有的定理，遵循逻辑推理的规则，经过操作，实现概念与关系之间的转换而得出某种数学结果。证和算是相辅相成、互相联系、彼此补充的，它们在一定条件下也可以转化。中国传统数学擅长计算的特点之所以不但能发挥数学运算的效能，而且在某种程度上还可以起到数学证明的效能，关键就在于它有比较固定的规则和确定而有条理的程序。中国古算书中丰富多彩的术文，给出了许多解决数学问题的十分清楚的规则和确定而有条理的程序，虽然不是以公式的形式出现，但对解决问题具有普遍的方法论意义。并且，有的方法按照一定的新规则和新程序继续操作下去，还可推广开来（如把“增乘开方法”推广到开任意高次方，可以得出高次方程的数值解法）。它给人们进行数学研究提供了一种很有价值的思路，即：在数学操作过程中，都有一个确定的、必须选择的下一步，这样就可以延着一条有规律的、逻辑的道路进行下去。实质上，着就是数学问题的机械化，
我国传统数学擅长计算的特点，恰恰是数学问题的机械化的内在机制：确定而有条理的程序保障了数学操作的下一步是“确定的”，固定的运算法则保障了数学操作的下一步是“必须选择的”。我国数学家吴文俊说“中国的古代数学基本上是一种机械化的数学。”[14]这条思路所开辟的前景是十分广阔的。固定的运算法则和明确的操作程序化，十分方便在计算机上施行。把线性方程的求解过程规范化、程序化后，让电子计算机来实现这机械化了的数学问题，在几分钟内就可以求出一个未知数多至上百个线性方程组的答案来，这对现代化建设意义十分重大。这种内在机制给人带来一个十分有趣的念头：能否用机械化方法进行数学证明？也就是说，能否用计算机的“算”来“证”呢？数理逻辑诞生之后，可以把概念形式化和量化，使之纳入逻辑关系的演算。美国王浩先生用计算机证明了《数学原理中的几百条定理，哈肯等人也用计算机证明了四色定理。但是要真正能够体现机械化定理证明，进而实现机器证明，任务还很艰巨。数学证明灵巧性大，难度也很大。把这方面的困难用另一种方式来换取它，即用繁杂的量的运算来取代，利用计算机去完成繁杂的量的运算，这是定理证明机械化的基本思路。换句话说，其基本途径是从公理化出发，通过代数化，达到机械化。比如，初等几何主要一类定理证明的机械化，可以分为这样两步：第一步是引进坐标，然后把需证定理中的假设与终结部分都用坐标间的代数关系（多项式关系）来表示。第二步是通过代表假设的多项式中的坐标逐个消去。如果消去之后结果能为零，这表明定理正确。即用多项式的消元法这种验证的方式来证明定理。两步都可以机械化地进行。我国数学家吴文俊等人采用这条途径，首先证明了初等几何主要一类定理的证明可以机械化，后来又证明了初等微分几何中主要的一类定理证明也可以机械化。可见，中国传统科学思想在现代科学中仍具有很强的生命力，它为现代科学研究提供了一些重要的思路。吴文俊教授深有感叹地说：“我们是在中国古代数学的启发下提出问题并想出解决问题办法来的。”[15]当然，这里不能简单地“复古”回归，而是要把思想加以发展，比如，吴文俊教授采用的是中国产的长城203台式计算机，而不是古代的算筹。第24届国际数学家大会于2002年8月20日起在北京举行，吴文俊院士作为本届大会主席在接受新华社记者专访时表示，中国不仅要振兴数学，更要复兴数学，重视古代数学的辉煌。他说：“我一直推崇中国的古代数学。”[16]传统具有惰性、延伸性和精粹隐藏性，发掘和弘扬优良传统可重现古代数学的辉煌，具有现实意义。科学思想是科学产生、发展的思想依据和思想方法，也包括科学成果所蕴涵的思想精髓。面对现代化，挖掘和弘扬中国传统科学成果所蕴涵的思想精髓，任重道远。
参考文献
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数学思想范文第7篇
关键词 中学数学 函数 函数思想
中图分类号：G424 文献标识码：A DOI：10.16400/ki.kjdkx.2017.04.052
An Analysis of the Thought of Mathematical Function in Middle School
ZHAO Sheng
（Zhanyi Area No.3 Middle School， Qujing， Yunnan 655331）
Abstract Function thought is one of the most basic mathematical ideas， function is the core content of middle school mathematics， it runs through the entire secondary school. Understanding and mastering the function thought can help the learners to understand the true meaning of mathematics， enhance the enthusiasm of the students to learn mathematics， and help mathematics learning. This paper analyzes the importance of the function of thought， from the application and function thought in mathematics teaching in high school mathematics teaching how to penetrate the function of thought were discussed， so as to achieve the function of ideological understanding in middle school mathematics.
Key words middle school mathematics； function； function thought
函邓枷胧窃谑学的发展史中形成的，它是人们对函数知识的本质性认识，来源于函数的基础知识，它在中学数学教学中起着重要的作用，是教材体系的灵魂。在中学数学函数教学中，加强函数思想教学可以帮助学生更好地理解函数知识、形成正确的教学观念和优秀的数学精神；它是落实素质教育的有效途径和重要手段；还可以提高教学质量与教学水平；有利于培养学生的辩证唯物主义能力与函数应用能力。随着数学教育的改革与发展，中学数学函数思想日趋凸显，从事数学教育以及一些数学学习者越来越认识到函数思想的重要性。函数是支撑中学数学的骨架，是中学数学最重要的内容之一，贯穿整个中学阶段。从历年中考、高考的情况来看，以函数为核心编制的题目立意新颖，知识覆盖面广，灵活性较强，有比较理想的选拔功能。所以函数思想有极高的研究价值。作为数学教育工作者了解函数思想的产生、发展和特点，掌握函数运动的发展规律，形成正确的教学观，从而提高对数学知识的驾驭能力。本文通过对中学数学函数思想的研究来指导教育工作者更加有效地进行教学，同时也为新课改提供有力依据，给学生的学习指引正确的方向。
1 函数思想在中学数学中的应用
函数是数集之间的特殊映射，反映事物的内部联系，纵观整个中学阶段，函数将大部分数学知识紧扣在一起，形成一个以函数为中心向四周扩散的知识网络，而函数思想则是形成这个知识网络的灵魂。函数思想的应用就是对于一些实际问题、数学问题构建一个函数模型，应用函数的基本性质更快更好地解决问题，而构造函数模型是函数思想的重要体现。接下来笔者将从以下几个方面阐述函数思想在中学数学中的应用。
1.1 函数思想在中学数学中的宏观应用
函数思想的宏观应用也就是函数性质的直接应用，即应用初等函数的基本性质（定义域、值领、单调性、奇偶性、周期性、有界性、连续性、对称性、图像等）求解有关的值、讨论参数的取值等问题，只要掌握函数的基本概念与性质，直接对其加以简单应用就行，直观明了，同样也是函数思想的简单体现。
例1 函数 （） = + 3 + 有极值，又在其曲线上极大和极小的点分别为、，若线段（不含端点）与曲线交于点（1，0），求的值。
分析：首先弄清已知条件，已知①一个含参数的三次函数；②函数有极值；③有极大和极小点，；④线段（不含端点）与曲线交于点（1，0）。解题目标是求的值。
由 '（） = 3 + 6 = 0得 = 0， = 。
（0，），（， + ）
再由点（1，0）在曲线上以及三点共线，解得
这个结果是否正确？还是要注意题目的条件，即条件④中有一点容易被忽略，这就是点应在线段的内部，因此应满足0
1.2 函数思想在中学数学中的微观应用
函数与方程、不等式、角、数列等均有不同程度的内在联系，将一些非函数问题转化成函数问题、构建函数模型就是函数思想的微观应用，也就是函数的间接应用，此类题型可以锻炼学习者的发散思维和逻辑推理能力。接下来将以几个实例加以说明。
1.2.1 活跃在方程、不等式中的函数思想
函数与方程、不等式有着千丝万缕的关系，绝大多数方程与不等式的研究需要依靠函数来实现，而函数性质的研究则又需要依赖方程与不等式来完成，所以他们是相辅相成的。比若说求定义域、函数单调性证明都需要借助不等式来完成；而解方程又是求函数的零点。所以在解关于方程与不等式这类题的过程中应该考虑以函数为工具，加强函数、方程、不等式的综合应用能力，系统掌握数学各个模块的知识。
例2 证明不等式0）。
分析：证明不等式有很多种方法，可以通过作差、作商、反证、放缩、构造等不同方法来实现，根据不同题目选择合理方法可以达到事半功倍的效果。通过观察，本题通过构造函数的方法来证明，再根据函数单调性来实现不等式大小，既方便又快捷。
证明：要证0），即证
令 = ，（>0）
当>0时， = 1 / （1 + ）即
= 在（0，）上为单调递减函数
那么就有0）
即 =
小结：本题通过构造函数证明该不等式，是应用函数单调性求解问题的典型例题，通过导函数来确定函数的单调性，进而证明不等式，思路清楚，方法简单易懂。
1.2.2 三角函数思想的呈现
例3 已知为锐角，且，求的值。
分析：由的构成特点，本题的化简变形，不宜按常规对的三角函数都采用降次的作法，而需把已知表达式中的含的三角函数升次，含的三角函数降次，即凑出和的表达式出来。
解：由（1），得3 = 2 （3）
由（2），得3 = 2 （4）
（3）鳎？），得 = （） = 0，
因为为锐角，所以0
1.2.3 实际问题中的函数模型
在数学学习中，我们会遇到很多抽象的数学问题，如果直接求解会非常困难或者是直接解不出来，这是我们应该充分应用所学知识，试着应用函数的思想去考虑，试着建立函数关系式，让抽象、复杂的实际问题转化为简单的函数问题，再应用函数的基本性质将它求解出来，这就是应用函数思想求解数学实际问题的基本套路。
例4 （2012浙江省嘉兴市）某汽车租赁公司拥有20辆汽车。据统计，当每辆车的日租金为400元时，可全部租出；当每辆车的日租金每增加50元，未租出的车将增加1辆；公司平均每日的各项支出共4800元。设公司每日租出辆车时，日收益为元。（日收益=日租金收入平均每日各项支出）
（1）公司每日租出辆车时，每辆车的日租金为_______元（用含的代数式表示）；
分析：本题为综合性题目，主要考查二次函数实际问题，怎样建立函数关系式与找等量关系，函数关系建立好之后结合实际函数图像做出解答。
解析：单辆车日租金为：50（20）+400 = 140050
2 中学数学教学中渗透函数思想的途径
中W数学函数教学最重要的目的就是打开学生的函数思维，提升学生们的函数素养，新一轮课程改革中，将函数思想作为必须掌握的教学要求，所以函数教学过程中不再一味地让学生吸收理论知识与概念性内容，而是让学生独立思考，老师引导，建立一定的函数思想基础，从根本上提升自己的函数应用能力。教学过程中渗透函数思想的途径很多，接下来介绍三种渗透方式。
2.1 应用函数思想探究数学知识
新的教育背景下，数学教学过程中应该注重对学生培养知识形成的过程，在数学知识的探索过程中（比如说一些公式、定理、性质的推导过程）就是数学思想方法的最佳体现时刻，因此教师在教学中，要重视公式、定理、性质的推导过程，尽量凸显其相关的数学思想，让学生掌握基本知识的同时，领悟数学真谛。下面我们以函数思想为实例，演示探究数学知识的过程中渗透函数思想。
2.2 在数学解题中渗透函数思想
在数学教学过程中，经常出现课堂上学生听懂了，但是课后做同类型的题目是就无从下手，其原因就是在教学过程中，教师就题论题，拿到题目就草率地解答出来，遇到此类题时照葫芦画瓢，机械操作，学生感到厌烦，学生没有真正认识到题目的出处，没有领略到数学思想方法。在数学解题过程中渗透函数思想也就是在数学解题过程中应用函数的思想方法去求解繁琐的数学问题，比如说用函数的单调性、奇偶性、最值等等基本性质将其复杂问题简单化。
例5 设不等式 + 2 + >0的解集为全体实数，求的取值范围。
分析：题设不等式的系数比较复杂，可通过另设变元的方法，使此题解题过程简化。
解：设 = ，则 = ， = ，
而原不等式化成（） + 2>0
由题意知，
解得
2.3 及时小结，逐步内化函数思想
数学思想范文第8篇
一、教师要用数学思想指导教学
教学活动成败的关键在于教学的指导思想。有了正确的指导思想，教师就能把握住教材内容、设计好教学过程。对学生来说，不仅能掌握基本数学知识，也能学到数学的方法、思想。从某种意义上来说，后者更重要。
1、数学思想是数学教材体系的灵魂
任何一册数学教材的编写，都要表达一定的思想，教材的前后逻辑是一个原则，更深层次的研究是概念和例题的本质是什么，从怎样的材料出发，经过怎样的过程而概括出来的，最终要形成怎样的数学结构，组成怎样的体系，要学生形成怎样的数学思想方法。
2、数学思想是教学设计指导思想
教学设计是构思学生认识数学、建立概念的教学活动过程。它不仅是对历史上数学发展的浓缩或再现数学家的思维活动过程，而且还是渗透数学思想，实现再创造的过程。
二、学生要用数学思想引领学习
陶行知先生曾说过：“我以为好的先生不是教书，不是教学生，乃是教学生学。”叶圣陶先生也曾说过，教任何功课最终的目的就是需要达到不需要教。要学生学会学习，需要有会学习的能力、会学习的方法、会学习的思想。有了深刻的数学思想，就会产生好的方法，就会提高学习的能力，就会为不教奠定基础。
1、数学思想是解题思路的导航灯
解数学题，需要有一定的思路和方法，而思路和方法的背后是数学思想，正如爱因斯坦所说：“在一切方法的背后，如果没有一种生气勃勃的精神，它们到头来，不过是笨拙的工具。
2、数学思想是认识生活的金钥匙
对学生来说，课堂教学是学习的一部分，而他们大部分的生活经验，以及对世界的认识是来自现实生活。但现在的矛盾是我们有些学生不会认识生活，有些学校教育中的佼佼者、解题能手，一到生活中去就不会解决问题，甚至束手无策。这一现象的出现涉及到多种因素，但其中一个因素是没有形成数学思想。
数学思想范文第9篇
【中图分类号】 G633.6 【文献标识码】 C
【文章编号】 1004―0463（2015）11―0121―01
集合是近代数学中的一个重要概念，在解决某些数学问题时，若是运用集合思想，可以使问题解决得更简单明了。而且这种数学思想方法在教学中是很有价值的，它的很多思想和展现的方式对于帮助学生理解题意和解答问题都有很大作用.下面，笔者就谈谈集合中的数学思想.
一、函数与方程思想
函数与方程的思想就是从分析问题的数量关系出发，建立函数关系或方程，然后用函数或方程的方法去解决问题.函数与方程的思想也是高中数学中最基本、最重要的数学思想，就是从分析问题的数量关系入手，把变量之间的关系用方程的关系反映出来，然后通过解方程或对方程进行讨论的方法，使问题得到解决.
例1 已知集合A={（x，y）|y=x2+mx+2}，B={（x，y）|y=-x+1，0≤x≤2}，若A∩B≠空集，求实数m的取值范围.
解：由方程y=x2+mx+2和y=-x+1，联立解消去y得到 x2+（m+1）x+1=0，
此方程在[0，2]上的解不是空集，
必须？驻≥0， f （0）与f （2）异号（或为0），即 1×[2（m+1）+5]≤0 ，求得m≤-■.
对称轴在[0，2]内，且f （0）≥0，f （2）≥0，即（m+1）2-4≥0，0≤-■≤2，2m+7≥0，m≤-1 或 m≥3，-5≤m≤-1，m≥-■，-■≤m≤-1.
对以上两种情况取并集，得到m≤-1.
所以m∈（-∞，-1]
二、数形结合思想
数形结合思想，是将抽象的数学语言与直观、具体的图形结合起来，相互转化，化抽象为直观，达到化难为易，化繁为简的目的.集合中常用到数轴法和韦恩图法.
例2 设集合A={x||x-a|
解：根据B={x|2x-■+2
求出x： -2<x<3
A={x||x-a|<2}，求出x得a-2<x<a+2
A包含于B，a-2≥-2 且a+2≤3
得 0 ≤a≤1.
评注：应用数轴解答有关集合问题时，应先画出数轴，然后依据题目的条件将集合准确地在数轴上表示出来，再借助数轴的直观性，从而使抽象的集合问题的解答简洁、巧妙、形象、直观.
三、分类讨论思想
分类讨论思想是一种重要的数学思想方法，也是一种基本的解题策略，其实质是逻辑划分.通过分类讨论、各个击破的解题手段，使问题变得条理清晰、层次分明、易于解决.在运用分类讨论的思想来解决问题时，必须要统一分类标准，保证分类时不重、不漏，并力求最简.
例3 设集合A={y|y=x2-2x+4，x∈R}，B={y|y=ax2-2x+4a，x∈R}，若A？哿B，求实数a的取值范围.
解：由y=x2-2x+4=（x-1）2+3≥3，得A={y|y≥3}.
在集合B中，y=ax2-2x+4a，x∈R
1.当a=0时，y=-2x，则B=R，满足A？哿B.
2.当a≠0时，y=a（x-■）2+4a-■.
（1）若a<0，则B={y|y≤4a-■，a<0}，这与A？哿B矛盾.
（2）若a>0，则B={y|y≥4a-■，a>0}、为使A？哿B，只要4a-■≤3即可，从而可得0<a<1.
综上所述，实数a的取值范围是{a|0≤a≤1}.
评注：分类讨论是解决集合问题的常用方法，但在分类时，必须要统一标准，简明扼要，做到不重不漏.
四、化归与转化思想
化归与转化思想，就是紧扣求解目标.处理数学问题时，通过某种变换或化归，把复杂问题简单化，把陌生问题转化为熟悉问题，从而使原问题得到解决.
例4 已知集合A={（x，y）|■=a+1}B={（x，y）|（a2-1）x+（a-1）y=15}，当a取何实数时，A∩B=？准.
分析：将A∩B=？准用符号表示的集合问题转化为与之等价的解析几何问题，利用直线平行无交点来解决集合的交集为空集问题，从而求得a的范围.
解：A∩B=？准，当直线y=（a+1）（x-2）+3， 与直线y=-x+平行时，
A∩B=？准，则（a+1）=-（a+1）， 即a=-1.
因为（2，3）？埸A，
所以当（2，3）∈B时， A∩B=？准，
则3=- 2（a+1） +，
解得a=或-4. 所以a=-1，-4，
数学思想范文第10篇
“数学思想”作为数学课程论的一个重要概念，我们完全有必要对它的内涵与外延形成较为明确的认识。关于这个概念的内涵，我们认为：数学思想是人们对数学科学研究的本质及规律的理性认识。这种认识的主体是人类历史上过去、现在以及将来有名与无名的数学家；而认识的客体，则包括数学科学的对象及其特性，研究途径与方法的特点，研究成就的精神文化价值及对物质世界的实际作用，内部各种成果或结论之间的互相关联和相互支持的关系等。可见，这些思想是历代与当代数学家研究成果的结晶，它们蕴涵于数学材料之中，有着丰富的内容。
通常认为数学思想包括方程思想、函数思想、数形结合思想、转化思想、分类讨论思想和公理化思想等。这些都是对数学活动经验通过概括而获得的认识成果。既然是认识就会有不同的见解，不同的看法。实际上也确实如此，例如，有人认为中学数学教材可以用集合思想作主线来编写，有人认为以函数思想贯穿中学数学内容更有利于提高数学教学效果，还有人认为中学数学内容应运用数学结构思想来处理等等。尽管看法各异，但笔者认为，只要是在充分分析、归纳概括数学材料的基础上来论述数学思想，那么所得的结论总是可能做到并行不悖、互为补充的，总是能在中学数学教材中起到积极的促进作用的。
关于这个概念的外延，从量的方面讲有宏观、中观和微观之分。
属于宏观的，有数学观(数学的起源与发展、数学的本能和特征、数学与现实世界的关系)，数学在科学中的文化地位，数学方法的认识论、方法论价值等；属于中观的，有关于数学内部各个部门之间的分流的原因与结果，各个分支发展过程中积淀下来的内容上的对立与统一的相克相生的关系等；属于微观结构的，则包含着对各个分支及各种体系结构定内容和方法的认识，包括对所创立的新概念、新模型、新方法和新理论的认识。
从质的方面说，还可分成表层认识与深层认识、片面认识与完全认识、局部认识与全面认识、孤立认识与整体认识、静态认识与动态认识、唯心认识与唯物认识、谬误认识和正确认识等。
二、数学思想的特性和作用
数学思想是在数学的发展史上形成和发展的，它是人类对数学及其研究对象，对数学知识（主要指概念、定理、法则和范例)以及数学方法的本质性的认识。它表现在对数学对象的开拓之中，表现在对数学概念、命题和数学模型的分析与概括之中，还表现在新的数学方法的产生过程中。它具有如下的突出特性和作用。
(一)数学思想凝聚成数学概念和命题，原则和方法
我们知道，不同层次的思想，凝聚成不同层次的数学模型和数学结构，从而构成数学的知识系统与结构。在这个系统与结构中，数学思想起着统帅的作用。
(二)数学思想深刻而概括，富有哲理性
各种各样的具体的数学思想，是从众多的具体的个性中抽取出来且对个性具有普遍指导意义的共性。它比某个具体的数学问题(定理法则等)更具有一般性，其概括程度相对较高。现实生活中普遍存在的运动和变化、相辅相成、对立统一等“事实”，都可作为数学思想进行哲学概括的材料，这样的概括能促使人们形成科学的世界观和方法论。
(三)数学思想富有创造性
借助于分析与归纳、类比与联想、猜想与验证等手段，可以使本来较抽象的结构获得相对直观的形象的解释，能使一些看似无处着手的问题转化成极具规律的数学模型。从而将一种关系结构变成或映射成另一种关系结构，又可反演回来，于是复杂问题被简单化了，不能解的问题的解找到了。如将著名的哥尼斯堡七桥问题转化成一笔画问题，便是典型的一例。当时，数学家们在作这些探讨时是很难的，是零零碎碎的，有时为了一个模型的建立，一种思想的概括，要付出毕生精力才能得到，这使后人能从中得到真知灼见，体会到创造的艰辛，发展顽强奋战的个性，培养创造的精神。
三、数学思想的教学功能
我国《九年义务教育全日制初级中学数学教学大纲(试用修订版)》明确指出：“初中数学的基础知识主要是初中代数、几何中的概念、法则、性质、公式、公理、定理以及由其内容所反映出来的数学思想和方法”。根据这一要求，在中学数学教学中必须大力加强对数学思想和方法的教学与研究。
(一)数学思想是教材体系的灵魂
从教材的构成体系来看，整个初中数学教材所涉及的数学知识点汇成了数学结构系统的两条“河流”。一条是由具体的知识点构成的易于被发现的“明河流”，它是构成数学教材的“骨架”；另一条是由数学思想方法构成的具有潜在价值的“暗河流”，它是构成数学教材的“血脉”灵魂。有了这样的数学思想作灵魂，各种具体的数学知识点才不再成为孤立的、零散的东西。因为数学思想能将“游离”状态的知识点(块)凝结成优化的知识结构，有了它，数学概念和命题才能活起来，做到相互紧扣，相互支持，以组成一个有机的整体。可见，数学思想是数学的内在形式，是学生获得数学知识、发展思维能力的动力和工具。教师在教学中如能抓住数学思想这一主线，便能高屋建瓴，提挈教材进行再创造，才能使教学见效快，收益大。
(二)数学思想是我们进行教学设计的指导思想
笔者认为，数学课堂教学设计应分三个层次进行，这便是宏观设计、微观设计和情境设计。无论哪个层次上的设计，其目的都在于为了让学生“参与”到获得和发展真理性认识的数学活动过程中去。这种设计不能只是数学认识过程中的“还原”，一定要有数学思想的飞跃和创造。这就是说，一个好的教学设计，应当是历史上数学思想发生、发展过程的模拟和简缩。例如初中阶段的函数概念，便是概括了变量之间关系的简缩，也应当是渗透现代数学思想、使用现代手段实现的新的认识过程。又如高中阶段的函数概念，便渗透了集合关系的思想，还可以是在现实数学基础上的概括和延伸，这就需要搞清楚应概括怎样的共性，如何准确地提出新问题，需要怎样的新工具和新方法等等。对于这些问题，都需要进行预测和创造，而要顺利地完成这一任务，必须依靠数学思想作为指导。有了深刻的数学思想作指导，才能做出智慧熠烁的创新设计来，才能引发起学生的创造性的思维活动来。这样的教学设计，才能适应瞬息万变的技术革命的要求。靠一贯如此设计的课堂教学培养出来的人才，方能在21世纪的激烈竞争中立于不败之地。
(三)数学思想是课堂教学质量的重要保证
数学思想性高的教学设计，是高质量进行教学的基本保证。在数学课堂教学中，教师面对的是几十个学生，这几十个智慧的头脑会提出各种各样的问题。随着新技术手段的现代化，学生知识面的拓宽，他们提出的许多问题是教师难以解答的。面对这些活泼肯钻研的学生所提的问题，教师只有达到一定的思想深度，才能保证准确辨别各种各样问题的症结，给出中肯的分析；才能恰当适时地运用类比联想，给出生动的陈述，把抽象的问题形象化，复杂的问题简单化；才能敏锐地发现学生的思想火花，找到闪光点并及时加以提炼升华，鼓励学生大胆地进行创造，把众多学生牢牢地吸引住，并能积极主动地参与到教学活动中来，真正成为教学过程的主体；也才能使有一定思想的教学设计，真正变成高质量的数学教学活动过程。
有人把数学课堂教学质量理解为学生思维活动的质和量，就是学生知识结构，思维方法形成的清晰程度和他们参与思维活动的深度和广度。我们可以从“新、高、深”三个方面来衡量一堂数学课的教学效果。“新”指学生的思维活动要有新意，“高”指学生通过学习能形成一定高度的数学思想，“深”则指学生参与到教学活动的程度。
有思想深度的课，能给学生留下长久的思想激动和对知识的深刻理解，在以后的学习和工作中，他们可能把具体的数学知识忘了，但数学地思考问题的方法将永存。我们进行数学教学的根本目的，是通过数学知识和观念的培养，通过一些数学思想的传授，要让学生形成一种“数学头脑”，使他们在观察问题和提出问题、解决问题的每一个过程中，都带有鲜明的“数学色彩”，这样的数学一定会有真正的实效和长效，真正提高人的素质。