数学期望范文

数学期望范文第1篇

[关键词] 数学期望；离散型随机变量

【中图分类号】 O211.67 【文献标识码】 A 【文章编号】 1007-4244（2013）07-124-2

一、离散型随机变量数学期望的内涵

在概率论和统计学中，离散型随机变量的一切可能的取值xi与对应的概率P（=xi）之积的和称为数学期望（设级数绝对收敛），记为E（x）。数学期望又称期望或均值，其含义实际上是随机变量的平均值，是随机变量最基本的数学特征之一。但期望的严格定义是∑xi*pi绝对收敛，注意是绝对，也就是说这和平常理解的平均值是有区别的。一个随机变量可以有平均值或中位数，但其期望不一定存在。

二、离散型随机变量数学期望的作用

期望表示随机变量在随机试验中取值的平均值，它是概率意义下的平均值，不同于相应数值的算术平均数。是简单算术平均的一种推广，类似加权平均。在解决实际问题时，作为一个重要的参数，对市场预测，经济统计，风险与决策，体育比赛等领域有着重要的指导作用，为今后学习高等数学、数学分析及相关学科产生深远的影响，打下良好的基础。作为数学基础理论中统计学上的数字特征，广泛应用于工程技术、经济社会领域。其意义是解决实践中抽象出来的数学模型进行分析的方法，从而达到认识客观世界规律的目的，为进一步的决策分析提供准确的理论依据。

三、离散型随机变量的数学期望的求法

离散型随机变量数学期望的求法常常分四个步骤：

1.确定离散型随机变量可能取值；

2.计算离散型随机变量每一个可能值相应的概率；

3.写出分布列，并检查分布列的正确与否；

4.求出期望。

四、数学期望应用

（一）数学期望在经济方面的应用

例1： 假设小刘用20万元进行投资，有两种投资方案，方案一：是用于购买房子进行投资；方案二：存入银行获取利息。买房子的收益取决于经济形势，若经济形势好可获利4万元，形势中等可获利1万元，形势不好要损失2万元。如果存入银行，假设利率为5.1%，可得利息11000元，又设经济形势好、中、差的概率分别为40%、40%、20%。试问应选择哪一种方案可使投资的效益较大？

第一种投资方案：

购买房子的获利期望是：E（X）=4×0.4+1×0.4+（--2）×0.2=1.6（万元）

第二种投资方案：

银行的获利期望是E（X）=1.1（万元），

由于：E（X）>E（X），

从上面两种投资方案可以得出：购买房子的期望收益比存入银行的期望收益大，应采用购买房子的方案。在这里，投资方案有两种，但经济形势是一个不确定因素，做出选择的依据是数学期望的高低。

（二）数学期望在公司需求方面的应用

例2：某小公司预计市场的需求将会增长。公司的员工目前都满负荷地工作。为满足市场需求提高产量，公司考虑两种方案 ：第一种方案：让员工超时工作；第二种方案：添置设备。

假设公司预测市场需求量增加的概率为P，当然可能市场需求会下降的概率是1―P，若将已知的相关数据列于下表：

市场需求减（1-p） 市场需求增加（p）

维持现状（X）

20万 24万

员工加班（X）

19万 32万

耀加设备（X）

15万 34万

由条件可知，在市场需求增加的情况下，使员工超时工作或添加设备都是合算的。然而现实是不知道哪种情况会出现，因此要比较几种方案获利的期望大小。用期望值判断：

E（X）=20（1-p）+24p，E（X）=19（1-p）+32p，E（X）=15（1-p）+34p

分两种情况来考察：

（1）当p=0.8，则E（X）=23.2（万），E（X）=29.4（万），E（X）=30.2（万），于是公司可以决定更新设备，扩大生产；

（2）当p=O.5，则E（X）=22（万），E（X）=25.5（万），E（X）=24.5（万），此时公司可决定采取员工超时工作的应急措施扩大生产。

由此可见，从上面两种情况可以得出：如果p=0.8时，公司可以决定更新设备，扩大生产。如果p=O.5时，公司可决定采取员工超时工作的应急措施。因此，只要市场需求增长可能性在50%以上，公司就应采取一定的措施，以期利润的增长。

（三）数学期望在体育比赛的应用

乒乓球是我们得国球，全国人民特别爱好，我们在这项运动中具有绝对的优势。现就乒乓球比赛的赛制安排提出两种方案：

第一种方案是双方各出3人，三局两胜制，第二种方案是双方各出5人，五局三胜制。对于这两种方案， 哪一种方案对中国队更有利？不妨我们来看一个实例：

假设中国队每一位队员对美国队的每一位队员的胜率都为55%。根据前面的分析，下面我们只需比较两队的数学期望值的大小即可。

在五局三胜制中，中国队若要取得胜利，获胜的场数有3、4、5三种结果。我们应用二项式定律、概率方面的知识，计算出三种结果所对应的概率，恰好获得三场对应的概率：0.33465；恰好获得四场对应的概率：0.2512；五场全胜得概率：0.07576.

设随机变量X为该赛制下中国队在比赛中获胜的场数，则可建立X的分布律：

X 3 4 5

P 0.33465 0.2512 0.07576

计算随机变量X的数学期望：

E（X）=3×0.33465+4×0.2512+5×0.07576=2.04651

在三局两胜制中，中国队取得胜利，获胜的场数有2、3两种结果。对应的概率为=0.412；三场全胜的概率为=0.206。

设随机变量Y为该赛制下中国队在比赛中获胜的场数，则可建立Y的分布律：

X 2 3

Y 0.412 0.206

计算随机变量Y的数学期望：

E（Y）=2×0.412+3×0.206=1.2

比较两个期望值的大小，即有E（X）>E（Y），因此我们可以得出结论，五局三胜制中国队更有利。

因此，我们在这样的比赛中，五局三胜制对中国队更有利。在体育比赛中，要看具体的细节，具体情形，把握好比赛赛制，用我们所学习的知识来实现期望值的最大化，做到知己知彼，百战百胜。

（四）数学期望对企业利润的评估

在市场经济活动中，厂家的生产或是商家的销售.总是追求最大的利润。在生产过程中供大于求或供不应求都不利于获得最大利润来扩大再生产。但在市场经济中，总是瞬息万变，往往供应量和需求量无法确定。而厂家或商家在一般情况下根据过去的数据，再结合现在的具体情况，具体对象，常常用数学期望的方法结合微积分的有关知识，制定最佳的生产活动或销售策略。

假定某公司计划开发一种新产品市场，并试图确定其产量。估计出售一件产品，公司可获利A元，而积压一件产品，可导致损失B元。另外，该公司预测产品的销售量x为一个随机变量，其分布为P（x），那么，产品的产量该如何制定，才能获得最大利润。

假设该公司每年生产该产品x件，尽管x是确定的.但由于需求量（销售量）是一个随机变量，所以收益Y是一个随机变量，它是x的函数：

当xy时，y=Ax；

当xy时，y=Ay--B（x-y）。

于是期望收益为■问题转化为：

当x为何值时，期望收益可以达到最大值。运用微积分的知识，不难求得。

这个问题的解决，就是求目标函数期望的最大最小值。

（五）数学期望在保险中问题

一个家庭在一年中五万元或五万元以上的贵重物品被盗的概率是0.005，保险公司开办一年期五万元或五万元以上家庭财产保险，参加者需缴保险费200元，若在一年之内， 五万元或五万元以上财产被盗，保险公司赔偿a元（a>200），试问a如何确定，才能使保险公司期望获利？

设X表示保险公司对任一参保家庭的收益，则X的取值为 200或 200a，其分布列为：

X 200 200-a

p 0.995 0.005

E（x）=200×0.9958+（200-a）×0.005=200-0.005a>0，解得a100，所以a∈（200，40000）时，保险公司才能期望获得利润。

从上面的日常生活中，我们不难发现：利用所学的离散型随机变量数学期望方面的知识解决了生活中的一些具有的，实实在在的问题有大大的帮助。

因此我们在实际生活中，利用所学的离散型随机变量数学期望方面的知识，面对当今信息时代的要求，我们应当思维活跃，敢于创新，既要学习数学理认方面知识，更应该重视对所学知识的实践应用，做到理认联系实际，学以致用。当然只是实际生活中遇到的数学期望应用中的一部分而已，还有更多的应用等待我们去思考，去发现，去探索，为我们伟大的时代创造出更多的有价值的东西和财富。

参考文献：

[1]中山大学.概率论及数理统计[M].北京：高等教育出版社，2009：213-235.

[2]张志强.随机置的有关概率问题[J].通信学报，2006.

[3]赵仁.一个数学期望性质的推广[J].青岛建筑工程学院学报，1997，（04）.

数学期望范文第2篇

一、与不等式同行

例1 设[S]是不等式[x2-x-60]的解集，整数[m，n∈S].

（1）记“使得[m+n=0]成立的有序数组”为事件[A]，试列举[A]包含的基本事件；

（2）设[ξ=m2]，求[ξ]的分布列及数学期望[Eξ].

解析 （1）由[x2-x-60]得，[-2x3]，即[S={x|-2x3}]，由于整数[m，n∈S]且[m+n=0]，所以[A]包含的基本事件为（-2，2），（2，-2），（-1，1），（1，-1），（0，0）.

（2）由于[m]的所有不同取值为-2，-1，0，1，2，3，

所以[ξ=m2]的所有不同取值为0，1，4，9，且有[P（ξ=0）=16，][P（ξ=1）=13]，[P（ξ=4）=13]，[P（ξ=9）=16]，

故[ξ]分布列为

[[ξ]＼&0＼&1＼&4＼&9＼&[P]＼&[16]＼&[13]＼&[13]＼&[16]＼&]

所以[Eξ]=[0×16+][1×13+][4×13+][9×16=][196].

二、与函数相约

例2 某花店每天以每枝[5]元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝[10]元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理.

（1）若花店一天购进[16]枝玫瑰花，求当天的利润[y]（单位：元）关于当天需求量[n]（单位：枝，[n∈N]）的函数解析式.

（2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：

[日需求量[n]＼&14＼&15＼&16＼&17＼&18＼&19＼&20＼&频数＼&10＼&20＼&16＼&16＼&15＼&13＼&10＼&]

以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.

①若花店一天购进[16]枝玫瑰花，[X]表示当天的利润（单位：元），求[X]的分布列，数学期望及方差；

②若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由.

解析 （1）当日需求量[n]≥16时，利润[y]=80.

当日需求量[n]

所以[y]关于[n]的函数解析式为

[y=10n-80（n

（2）①[X]可能的取值为60，70，80，并且

[P（X=60）=0.1，P（X=70）=0.2，P（X=80）=0.7.]

则[X]的分布列为

[[X]＼&60＼&70＼&80＼&[P]＼&0.1＼&0.2＼&0.7＼&]

[X]的数学期望为[EX]=60×0.1+70×0.2+80×0.7=76.

[X]的方差为[DX]=（60-76）2×0.1+（70-76）2×0.2+（80-76）2×0.7=44.

②答案一：

花店一天应购进16枝玫瑰花. 理由如下：

若花店一天购进17枝玫瑰花，[Y]表示当天的利润（单位：元），那么[Y]的分布列为

[[Y]＼&55＼&65＼&75＼&85＼&[P]＼&0.1＼&0.2＼&0.16＼&0.54＼&]

[Y]的数学期望为[EY]=55×0.1+65×0.2+75×0.16+85×0.54=76.4.

[Y]的方差为[DY]=（55-76.4）2×0.1+（65-76.4）2×0.2+（75-76.4）2×0.16+（85-76.4）2×0.54=112.04.

由以上的计算结果可以看出，[DX

另外，虽然[EX

答案二：

花店一天应购进17枝玫瑰花. 理由如下：

若花店一天购进17枝玫瑰花，[Y]表示当天的利润（单位：元），那么[Y]的分布列为

[[Y]＼&55＼&65＼&75＼&85＼&[P]＼&0.1＼&0.2＼&0.16＼&0.54＼&]

[Y]的数学期望为[EY]=55×0.1+65×0.2+75×0.16+85×0.54=76.4.

由以上的计算结果可以看出，[EX

三、与直线方程的交汇

例3 设[l]为平面上过点[0，1]的直线，[l]的斜率等可能地取[-22，-3，-52，0，52，3，22]，用[ξ]表示坐标原点到[l]的距离，则随机变量[ξ]的数学期望[Eξ=] .

解析 列表如下：

[[k]＼&[-22]＼&[-3]＼&[-52]＼&0＼&[52]＼&[3]＼&[22]＼&[ξ]＼&[13]＼&[12]＼&[23]＼&1＼&[23]＼&[12]＼&[13]＼&[p]＼&[17]＼&[17]＼&[17]＼&[17]＼&[17]＼&[17]＼&[17]＼&]

答案 [Eξ]=[13]×[17]×2+[12]×[17]×2+[23]×[17]×2+1×[17]=[47].

四、与线性规划整合

例4 某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都是经过第一和第二工序加工而成，两道工序的加工结果相互独立，每道工序的加工结果均有[A，B]两个等级.对每种产品，两道工序的加工结果都为[A]级时，产品为一等品，其余均为二等品.

（1）已知甲、乙两种产品每一道工序的加工结果为[A]级的概率如表一所示，分别求生产出的甲、乙产品为一等品的概率[P甲，P乙]；

（2）已知一件产品的利润如下表所示，用[ξ，η]分别表示一件甲、乙产品的利润，在（1）的条件下，求[ξ]，[η]的分布列及[Eξ，Eη]；

[ 工序

产品＼&第一工序＼&第二工序＼&甲＼&0.8＼&0.85＼&乙＼&0.75＼&0.8＼&][概率]

[ 等级

产品＼&一等＼&二等＼&甲＼&5（万元）＼&2.5（万元）＼&乙＼&2.5（万元）＼&1.5（万元）＼&][利润]

[ 项目

产品＼&工人（名）＼&资金（万元）＼&甲＼&8＼&8＼&乙＼&2＼&10＼&][用量]

（3）已知生产一件产品需用的工人数和资金额如表三所示.该工厂有工人40名，可用资金60万元.设[x，y]分别表示生产甲、乙产品的数量，在（2）的条件下，[x，y]为何值时，[z=xEξ+yEη]最大？最大值是多少？（解答时须给出图示）

解析 （1）[P甲=0.8×0.85=0.68， ]

[P乙=0.75×0.8=0.6.]

（2）[Eξ=4.2，][Eη=2.1.]

数学期望范文第3篇

关键词 数学期望 经济决策

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2015）05-0087-02

数学期望简称期望，又称均值，是随机变量最基本的数学特征之一，它是简单算术平均的一种推广。其本质运用就是对于一个随机事件，采用计算数学期望的方法将问题简化并得出最优方案，结合实例分析总结出这些方法的实用性和有效性，最终得到较科学的决策方法。因其符合客观条件，合理科学，得到了人们的关注。于是通过实践，人们打破了数学的界限，将它推广到了经济活动和实际生活，特别在物流管理、投资决策和风险分析方面，有许多问题都可以直接或间接地利用数学期望来解决。

一、相关随机变量的数学期望

1.数学期望的性质

（1）设C是常数，则有E（C）一C

（2）设X是一个随机变量，C是常数，则有E（CX）=CEX

（3）设X，Y是两个随机变量，则有E（X+Y） =EX+EY

这一性质可以推广到有限个随机变量的情况。

（4）设X，Y是相互独立的随机变量，则有E（XY）一EXEY

这一性质可以推广到有限个相互独立随机变量之积的情况。

2.几种常见概率分布及数学期望

二、数学在经济中的作用

1.培欣决策

培欣决策是基于概率基础上的著名决策法则，实质是一种风险性决策的分析方法，得出事件发生原因的概率，再按概率预测其经济效益，依此进行最后决策。如某企业要生产一种新产品决策前对市场销售量有好、中、差三种预测。其发生概率与经济效益成反比。在这种情况下，需要决策的是：（1）要不要先聘专家进行一次市场调查；（2）要不要生产该种新产品。如果市场情况好，增加的利润大于支付的调查费；若不好，不能增加利润，则支付调查费对企业不利。培欣决策是数学与经济学结合的一个典型事例。

2.生产决策问题

一生产厂对其产品的市场需求增长满怀希望。在确定计划之前，生产厂要进行微观经济决策，微观决策包括企业根据市场确定产量，进行人、财、物的合理分配目前，这样可以降低生产风险，确保生产的顺利进行。例如，某产员工以每周40h满负荷地工作着，为满足预期的市场新需求，业务主管领导在考虑是否要采用员工超时工作的应急措施或添置、更新设备的办法来增加产量（或提高产品质量），市场部的专家们预测对产品需求增加15%的可能性是60%，但同时指出，经济也可能恶化，有实际需求下降5%的可能性，其概率是40%。领导们要在此不确定的情况下做出决策，从三种可以采取的行动中选定一个行动方案，已知的有关的数据列于下表。

解：这是一个在对自然状态的信息不确知（对产品需求可能会减少5%，也可能会增加15%），但又知其概率分布（概率分别为0.4和0.6）的情况下要作出决策的问题，常称这类问题为风险型决策。

对于风险型决策问题，不论采用怎样的决策都带一定的风险，如对本例而言，若采用第一种决策，即既不增加工时也不增添设备，一旦出现市场需求增加的情况时就失去了更多获利的可能。期望值判据是一种常用的处理风险型决策的判据，即比较各种行动所产生之效益期望值的大小以作出决策。对于本例给出的数据，期望收益为：

40x0.4+35x0.6 37.0（万元）

28x0.4+40x0.6 35.2（万元）

3ix0.4+43x0.6 38.2（万元）

故若用期望值判据，则公司领导将决定采取增加设备的应急措施，对自然状态的各种概率估计很重要。在表1的数据中，若对前景持更乐观的态度，认为出现需求增长的概率是0 8，那么依同样的判据就会作出不同的决定。事实上，这时期望收益为：

40x0.2+35x0.8 36.0（万元）

28X0.2+40X0.8 37.6（万元）

3ix0.2+43x0.8 40.6（万元）

于是公司领导将会决定增添新设备，扩大规模。

3.资金投资问题

某投资者有10万元，现有两种投资方案：一是购买股票，二是存入银行获取利息。买股票的收益主要取决于经济形势，假设可分三种状态：形势好、形势中等、形势不好（即经济衰退）。若形势好可获利40000元；若形势中等可获利10000元；若形势不好要损失20000元。如果是存入银行，假设年利率为8%，即可得利息8000元。又设年经济形势好、中等、不好的概率分别为30%、50%和20%。试问该投资者应选择哪一种投资方案？

分析：购买股票的收益与经济形势有关，存入银行的收益与经济形势无关。因此，要确定选择哪一种方案，就必须通过计算这两种投资方案对应的收益期望值E来进行判断。

解：由题设，一年中两种投资方式在不同的经济形势下对应的收益与概率如下表所示：

从上表可以初步看出，如果购买股票在经济形势好和经济形势中等的情况下是合算的，但如果经济形势不好，则采取存入银行的方案比较好。

下面通过计算加以分析：

（1）如果购买股票，其收益的期望值：

E1=40000X 0.3+10000X 0.5+（-20000）X0.2 =13000（元）

（2）如果存入银行，其收益的期望值：

E2=8000x 0.3+8000x 0.5+8000×0.2 =8000（元）

因此，购买股票的收益比存入银行的收益大，按期望收益最大原则，应选择购买股票。

说明：该题是按风险决策中的期望收益最大准则选择方案，在这些方案的最大利润中选出一个最大值，与该最大值相对应的那个可选方案便是决策选择的方案。由于根据这种准则决策也能有最大亏损的结果，所以这种作法有风险存在。

数学期望范文第4篇

关键词：数学期望 离散型随机变量 连续型随机变量

中图分类号：F7 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2013）03（b）-0-02

现代社会是一个竞争非常激烈的社会，同时又是经济社会，面对新世纪的发展要求，培育和不断壮大投资，形成能力无疑具有突出的意义。就小的方面说，经济问题与我们的生活息息相关，大的方面涉及到如何在这个竞争的社会中有所发展获得最大的经济利益？这是一个决策问题，在未来的投资战略设计中，促进投资高水平形成是不可回避且必须着力解决的焦点问题之一。下面就谈谈数学期望在经济问题―投资决策中的应用。

数学期望（mathematical expectation）简称期望，又称均值，是随机变量按概率的加权平均，表征其概率分布的中心位置。数学期望是概率论早期发展中就已产生的一个概念。当时研究的概率问题大多与有关。假如某人在一局中面临如下的

情况。

在总共+种等可能出现的结果中，有种结果可赢得，其余种结果可赢得，则就是他在该局中所能期望的收入。数学期望的这种初始形式早在1657年即由荷兰数学家C.惠更斯明确提出。它是简单算术平均的一种推广。

1 数学期望的类型

1.1 离散型随机变量的数学期望

若随机变量的概率分布为

P（=）=，若级数 绝对收敛，则称=++…+ +…为的数学期望或均值。

1.2 连续型随机变量的数学期望

设连续型随机变量的密度函数为，若 绝对收敛，则称

=为连续型随机变量的数学期望。

1.3 随机变量函数的数学期望

设是随机变量，是的函数。

（1）当是离散随机变量，其分布律为=

随机变量的数学期望为=

（2）当是连续型随机变量，概率密度是，随机变量的数学期望为=

2 数学期望在经济问题―投资决策中的应用

2.1 投保问题

2.2 问题

2.3 商品流通问题

例：假定国际市场每年对我国某种商品的需求量是一个随机变量（单位为吨），它服从[2000，4000]上的均匀分布，已知每售出一吨该商品，就可以赚得外汇3万美元，但若销售不出，则每吨需仓储费用1万美元，那么外贸部门每年应组织多少货源才能使收益最大。

分析：收益是由销售量与组织的货源数量共同决定的。以记组织的货源数量，问题是要确定一个最优的，为此需要确定这些量之间的关系。由于销售量与需求量有关，后者是一个随机变量，因此收益是的函数，并且也是一个随机变量，记为，显然只考虑的情况则可有下述关系式。

2.4 资金投资问题

例：某人用10万元进行为期一年的投资，有两种投资方案：一是购买股票，二是存入银行获取利息，买股票的收益取决于经济形势，若形势好可获利4万元，形势中等可获利1万元，形势不好要损失2万元，如果存入银行，假设年利率为8%，可得利息8000元，又设经济形势好、中、差的概率分别为30%、50%、20%试问应选择哪一种方案可使投资的效益较大？

分析：在经济形势好和中等的情况下，购买股票是合算的；但如果经济形势不好，那么采取存入银行的方案合算，然而事先是不知道哪种情况会出现的，因此要比较两种投资方案获利的期望大小。

3 结语

数学期望范文第5篇

【关键词】数学期望；经济；生活；应用

【中图分类号】021

1.引 言

数学期望的定义：

设随机变量ξ的分布列为

若∑ixipi

2.数学期望在产品销售问题中的应用

例1 设国际市场每年对我国某种出口商品的需求量X（吨）服从区间[2000，4000]上的均匀分布.若售出这种商品1吨，可挣得外汇3万元，但如果销售不出而囤积于仓库，则每吨需保管费1万元.问应预备多少吨这种商品，才能使国家的收益最大？

解 设预备这种商品y吨（2000≤y≤4000），则收益（万元）为

当y=3500吨时，上式达到最大值.所以预备3500吨此种商品能使国家的收益最大，最大收益为8250万元.

3.数学期望在商品流通问题中的应用

例2 春季某服装店计划订购一批夏季服装，根据以往经验来预测，这批新服装销售量为40，100，120（件）的概率分别为0.2，0.7，0.1，这件夏季服装的订购价为60元，销售价为100元，如果夏季售不出以后处理每件为40元，试由概率统计知识来预测应订购多少件新服装？

分析 售出一件服装能得到利润40元，处理后剩书则将亏损20元，为决定进货量，应先求出在不同销售量时盈利的数学期望.

解 （1）订购40件，销售40件，盈利为40×（100-60）=1600（元），

则：Eξ1=1600元.

（2）订购100件，销售40件、100件，盈利分别为40×100-100×60+60×40=400（元），

100×（100-60）=4000（元），

则：Eξ2=400×0.2+4000×0.7+4000×0.1=4000（元）.

（3）订购120件，销售40件、100件、120件时的盈利分别为40×100-120×60+80×40=0（元），100×100-120×60+20×40=3600（元），

120×（100-60）=4800（元），

则：Eξ3=0×0.2+3600×0.7+4800×0.1=3000（元）.

根据盈利的数学期望大小，决定订100件这样的夏季服装.

4.数学期望在试验决策问题中的应用

例3 假设由自动线加工的某种零件的内径X（毫米）服从正态分布N（μ，1），内径小于10或大于12为不合格品，其余为合格品.销售每件合格品获利，销售每件不合格品亏损，已知销售利润T（单位：元）与销售零件的内径X有如下关系：

T=-1， 若X

20， 若10≤X≤12，

-5， 若X>12.

问：平均直径μ取何值时，销售一个零件的平均利润最大？

解 E（T）=-P{X12}=-P{X-μ12-μ}=-φ（10-μ）+20[φ（12-μ）-φ（10-μ）]-5[1-φ（12-μ）]=25φ（12-μ）-21φ（10-μ）-5.

两边取对数有

由此可得，当μ=10.9毫米时，平均利润最大.



5.数学期望在有奖销售中的应用

例4 某商店在年末大甩卖中进行有奖销售，摇奖时从摇箱摇出的球的可能颜色为：红、黄、蓝、白、黑五种，其对应的奖金额分别为：10000元、1000元、100元、10元、1元.假定摇箱内装有很多球，其中红、黄、蓝、白、黑的比例分别为：0.01%，0.15%，1.34%，10%，88.5%，求每次摇奖摇出的奖金额平均值.

解 每次摇奖摇出的奖金额X是一个随机变量，易知它的分布律为

可见，平均起来每次摇奖的奖金额不足6元.这个值对商店作计划预算时是很重要的.

6.数学期望在日常生活中的应用

例5 某人回家探亲购买了上午9点的火车票，当日上午8：50从家乘汽车到火车站，途中有3个交通岗，假设在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是0.4，遇到红灯汽车需要等候5分钟，问此人能否在9点前到达火车站不耽误上火车？

解 设X为途中遇到的红灯的次数，易知X～b（3，0.4），故

P{X=k}=Ck30.4k0.63-k，（k=0，1，2，3）.

则X的分布律为：

0.4=1.2，所以此人到达车站时间为8：56，能够按时上火车.

【参考文献】

[1]魏宗舒等编.概率论与数理统计教程[M].高等教育出版社，2001.

[2]盛骤，谢式千，潘承毅编.概率论与数理统计（第三版）[M].浙江大学出版社，2003.

[3]孙荣恒编著.应用概率论（第三版）[M].科学出版社，2001.

数学期望范文第6篇

[关键词] 数学期望 经济决策 应用

概率论是从数量上研究随机现象统计规律性的学科，而随机变量的分布函数能够全面地反映随机变量的统计规律性．但在诸多的经济管理或决策工作中，一方面由于求出随机变量的分布函数并非易事，而且对于某些实际问题来说，并不需要对随机变量进行全面的描写，只需知道能够反映随机变量的某些重要的数字特征即可．数学期望是反映随机变量总体取值的平均水平的一个重要的数字特征，它在经济决策工作中有着广泛的应用，为决策者做出最优决策提供重要的理论依据。

一、数学期望的概念

定义1（1）设离散型随机变量X的概率分布为P{X=xk}=pk，k=1,2,…，若级数绝对收敛，则称级数为离散型随机变量X的数学期望(或均值),记为EX,即。若级数发散,则称随机变量X的数学期望不存在；（2）设连续型机变量X的概率密度函数为f(x)，若积分绝对收敛，则称其为连续型随机变量X的数学期望或均值,记为E(X),

定义2设Y为随机变量X的函数:Y=g(X)(g是连续函数)，（1)X是离散型随机变量，分布律为P{X=xk}=pk，k=1,2,…,若级数绝对收敛，则有（2)X是连续型随机变量，概率密度函数为f(x)，若积分绝对收敛，则有

二、数学期望的应用

1.期望值问题

例1一商场共有16层楼,设有10位顾客在一层进入电梯,每位乘客在楼上任何一层出电梯是等可能的，且各乘客是否出电梯相互独立,求直到电梯中的乘客出空为止电梯需停次数X的期望值。

解:引入计数随机变量

则有X=X2+X3+…＋X16。

由题意，每一个人在任何一层出电梯的概率为1/15,若10个人同时不在第i层出电梯，那么电梯在该层就不停，而此时的概率为

因此， 进而

2.减少工作量

例2某商场对员工(N人)进行体检，其中普查某种疾病需要逐个验血，一般来说，若血样呈阳性，则有此种疾病;呈阴性则无此疾病．逐个验血需要N次，若N很大，验血的工作量也很大．为了能减少验血的工作量，有人提出想法:把k(k＞1)个人的血样混合后再检验，若呈阴性，则k个人都无此疾病，这时k个人只需作一次检验；若呈阳性，则对k个人再分别检验，这时为弄清谁有此种疾病共需检验k+1次．若该商场员工中患此疾病的概率为p，且各人得此病相互独立，那么此种方法能否减少验血次数？若能减少，那么能减少多少工作量？

解:令X表示该商场每人需要验血的次数，那么X是只取2个值的随机变量，其分布律为

则每人平均验血次数为

而新的验血方法比逐个验血方法平均能减少验血次数为1－EX＝只要EX＜1,就能减少验血的工作量。例如,当p=0.1，k=2时,这时1-EX=0.92-0.5=0.31(次），若商场有员工10000人，则可减少3100次，即减少31%的工作量。

3.选择最优存储量

例3春节期间一商场某种食品的进价为65元/千克,零售价为70元/千克，若卖不出去,则削价20%处理,如供应短缺,有关部门每千克罚款10元。已知顾客对该食品的需求量X服从[20000，80000]上的均匀分布,求该商场在春节期间对该食品的最优存储策略。

解:设存储量为y，则20000≤y≤80000，存储量为y时所得利润为

需求量X服从均匀分布，其密度函数为

则期望利润为

令可得y=57500，即当存储量为57500千克时，期望利润最大，且最大期望利润为81250元。

4.选择最佳进货量

例4设某种商品每周的需求量X是服从区间[10，30]上均匀分布的随机变量，而经销的商场进货数量为区间[10，30]中的某一整数．商场每销售一单位商品可获利500元；若供大于求则削价处理，每处理一单位商品亏损100元；若供不应求，则可从外部调剂，此时每一单位商品仅获利300元．为使商场所获利润期望值不少于9280元，试确定最少进货量。

解:设进货量为a，利润为Y，则利润函数为

X的概率密度函数为

根据随机变量函数的数学期望，有

令-7.5a2+350a+5250≥9280,

即解得在此范围内a取最小的整数21。

以上两个问题属于随机存储模型，由于需求量是随机变量，在知道其概率分布的前提下，构造利润函数（它是随机变量的函数）也是随机变量，根据期望利润最大，确定最佳定货量或最佳存储量．这类问题为随机存储决策提供依据。

5.总利润最大

例5 设某商场正在与一出版社联系订购下一年的挂历问题，已知的有关条件如下：零售价80元/本，挂历的进价50/本．若当年的12月31日以后挂历尚未售出，该商场不得不降价到20元/本全部销售出去．根据该商场以往10年的销售情况，可知需求概率如下:在当年12月31日以前只能售出150本、160本、170本和180本的概率分别为0.1、0.4、0.3、0.2．根据以上条件，该商场应订购多少本挂历，可使期望利润最大？

解:显然，订购的数量应在150本至180本之间．该商场的订购方案有150本、160本、170本和180本，且各种订购方案的获利都是随机变量，记X1,X2,X3,X4分别表示这四种订购方案所获得的利润。根据购进、售出的数量可得如下利润表(单位:百元）:

各订购方案的期望利润分别为

根据期望利润最大的原则，应选择期望利润最大的订购方案，即订购160本或170本．

这种决策是建立在风险中性的基础上的，风险中性的决策者认为：1单位期望利润等于1单位确定利润。在销售市场上，机会与风险并存，不愿冒风险也不可能博取高额利润。因此，对于风险型决策往往持风险中性态度，以期望利润最大原则进行决策．由于需求的不确定性，各种订购方案的利润都是随机变量，随机变量的期望值反映了它的平均水平，即期望利润；随机变量的方差反映了它取值的不确定性，因此反映了经销的风险．在期望利润相等（或很近似）的情况下，应选择利润方差（风险）最小的方案。由于订购160本和170本的期望利润相等，又是期望利润最大的方案，我们应从中选择获利方差较小的方案。由于

EX22=2250，EX32=2262.2，

则DX2=3.24＜DX3=15.84,

所以，订购160本挂历是最优方案．

这类问题是根据期望利润最大的原则进行决策，是建立在风险中性的基础之上，也是风险型决策的前提．如果有两个以上的方案都能够使得期望收益达到最大，那么就应该比较收益的方差（风险）,风险较小者较优．所以，在风险决策问题中，应综合考虑收益的期望和方差，将超额收益（超过无风险收益的部分）作为承担风险的补偿，选择最优的方案才是最合理的。

参考文献:

数学期望范文第7篇

【关键词】概率统计；数学期望；风险决策

面对随机现象，优化决策的正确通常是指随机变量的均值，面对决策方案即将数学期望最大的方案作为最佳方案加以决策。如果知道任意方案Aj（j=1，2…，m）在每个自然状况（影响因素）Si（i=1，2…n）发生的情况下，实施方案Aj所产生的盈利值P（Si，Aj），及各自然状况发生的概率P（Si），则可以比较各个方案的期望盈利：EP（Aj）=选择其中期望盈利最高的为最佳方案。

一、风险决策问题

例1、某商场要根据天气预报来决定节日是在商场内还是场外开展促销活动。统计资料表明，每年国庆节商场内促销可获经济效益2万元，场外促销活动中遇到有雨天气则带来经济损失4万元，无雨可获得经济效益10万元，9月30日气象台预报国庆节当地有雨的概率是40%，商场应该选择哪种促销方式？

设商场外促销活动获得的经济效益为ξ万元，

则P（ξ=10）=0.6，P（ξ=-4）=0.4

所以Eξ=10×0.6+（-4）×0.4=4.4（万元）

由Eξ>2知，场外促销方式可获经济效益的数学期望4.4万元高于场内促销可获经济效益2万元，故应选择场外促销方式。

说明：因为天气有雨或无雨是一个不确定的因素，因此作出决策时有存在一定的风险，我们不能保证所作的决策一定会取得最好效益，但必须使效益的期望值是最高的。

如果选择场外促销方式恰逢天气有雨，则带来经济损失4万元，比商场内促销可获经济效益2万元更不合算，这就是风险。这样的决策称为风险决策。

二、投资决策问题

例2：某人有10万元，有两种投资方案：一是购买股票，二是存入银行获取利息。买股票的收益取决于经济形势，假设可分三种状态：形势好、形势中等、形势不好（即经济衰退）。若形势好可获利4万元，若形势中等可获利1万元，若形势不好要损失2万元。如果是存入银行，假设年利率为8%，即可得利息8000元，又设经济形势好、中、差的概率分别为30%、50%和20%，试问选择哪一种方案可使投资的效益较大？

设a1为购买股票，a2为存银行，θ1为经济形势好，θ2为经济形势中等，θ3为经济衰退，P（θj）（j=1，2，3）为三种形势的概率，aij为第i种方案和第j种状态结合的结果，把它们列成一张表（称之为报偿表），即：

从上表可以看出，如果在经济形势好（θ1）和经济形势中等（θ2）的情况下，那么购买股票是合算的；但如果经济形势衰退（θ3）时，那么采取存银行的方案比较好。然而人们事先是不知道哪种情况会出现，因此采取期望值标准是比较合理的。方案a1、a2的期望值分别为：

E1=40000×0.3+10000×0.5+（-20000）×0.2=13000（元），E2=8000（元）

因为E1>E2，所以方案a1期望的收益比a2大，按最大收益原则，应采用期望收益高的方案，淘汰期望收益低的方案，所以应采用购买股票的方案。

说明：投资方案有两种，但经济形势是一个不确定因素。根据最大收益原则，做出选择的根据必须是数学期望高的方案。

三、方案决策问题

例3、某冷饮店需要制定某种冷饮在七、八月份的日进货计划。该品种冷饮的进货成本为每箱30元，销售价格为每箱50元，当天销售后每箱可获利20元，但如果当天剩余一箱，就要因冷藏费及其他原因而亏损10元。现有前两年同期共120天的日销售量资料，其中日销售量为130箱有12天，日销售量为120箱有36天，日销售量为110箱有48天，其余24天的日销售量也达100箱。请对于进货量分别为100箱、110箱、120箱、130箱四个方案给予决策。

根据前两年同期日销售量资料，进行统计分析，可确定不同日销售量的概率。

按日进货量100箱的方案，不论市场销售状况如何，当天只能销售100箱，可获利20×100=2000元。

若按日进货量110箱的方案，在市场销售状况为日销售100箱时，则当天可盈利20×100-10×10=1900元；而在市场销售大于110箱时，当天也只能销售110箱，则当天可获盈利20元×110=2200元。

据此类推，可计算出各个方案在不同市场销售状况下的盈利值，参见如下盈利表。

四、求职决策问题

中国社会市场化进程越来越快，用人单位在招聘人才时，除了明确所招人员的学历条件和能力之外，一般还会重点申明所招不同岗位人员的年薪值.而当今社会的价值取向主流是，劳动者尽其所能付出劳动后，希望获得尽可能大的薪酬回报，我们认为这是推动社会向前发展的重要因素.现在大学毕业生以年薪期望值作为择业决策的主要依据正是这种价值取向主流的具体体现. 大学生在求职面试多个机会过程中，其年薪期望值是一个动态数据，只有在其择业决策做出后才能相对确定下来，因此，做出好的择业决策就显得相当的重要.以下为了说明问题，通过一个已简单化了的实例，通俗说明如何把握这个动态的年薪期望值来准确做出择业决策的方法.。

例4：有三家公司都为硕士毕业生李宏提供了就职面试的机会，按面试的时间顺序，这三家公司分别记为A、B、C，每家公司都可提供极好、好和一般三种职位，每家公司将根据面试情况决定给予求职者何种职位或拒绝提供职位，若规定求职双方在面试以后要立即决定提供、接受或拒绝某种职位，且不容许毁约。咨询专家为李宏的学业成绩和综合素质进行评估后认为，他获得极好、好、一般职位的可能性分别为0.2、0.3、0.4。三家公司的工资数据如下：

李宏如果把工资数尽量大作为首要条件的话，那么他在各公司面试时，对该公司提供的各种职位应如何对策？

由于面试有时间先后，使得李宏在A、B公司面试，作选择时，还要考虑到后面C公司的情况，所以应先从C公司开始讨论。

C公司的工资期望值为：4000×0.2+3000×0.3+2500×0.4+0×0.1=2700（元）；

现在考虑B公司。因为B公司的一般职位工资只有2500元，低于C公司的期望值，所以只接受B公司极好或好的职位，否则就到C公司应聘，如此决策时，他的工资期望值为：3900×0.2+2950×0.3+2700×0.5=3015（元）；

最后考虑A公司，由于A公司只有极好职位的工资超过3015元，所以他只接受A公司的极好职位，否则就到B公司应聘。

他的总决策是这样的：先去A公司应聘，若A公司提供极好的职位就接受，否则去B公司应聘；若B公司提供极好或好的职位就接受，否则去C公司应聘，接受C公司提供的任何职位。

在这一策略下，他的工资期望值为：3500×0.2+3015×0.8=3112元。

通过数学期望在平均工资中的应用，使我们有了准确具体的决策依据可依，清楚明白其中的决策风险如何，我们果断的决策会带给招聘单位一个良好的印象。面对这个复杂的求职面试多个机会的择业决策问题，数学期望丰富了我们大学生在择业决策依据整合和择业决策风险分析方面相应的知识和技巧。

五、试验决策问题

例5：某新工艺流程如投产成功可收益300万元，但投产之前，必须经过小型试验和中型试验，试验经费分别需2万元和36万元，小型试验的成功率为0.7，如果连做两次小型试验，则成功率可提高到0.8，在小型试验基础上的中型试验的成功率为0.7，如果直接搞中型试验的成功率为0.5，应该如何决策，才能获利最多？

共有三种决策：

⑴一次小型试验和一次中型试验，此时工程的所有可能情况及其概率如下：

工程投资获益的期望值：E1=0.49×262+0.21×（-38）+ 0.3×（-2）=119.8（万元）

⑵两次小型试验和一次中型试验，此时工程的所有可能情况及其概率如下：

工程投资获益的期望值：E2=0.56×260+0.24×（-40）+ 0.2×（-4）=135.2（万元）

⑶如果急于求成，想省去小试，直接搞中试，此时工程的所有可能情况及其概率如下：

工程投资获益的期望值：E3=0.5×264+0.5×（-36）=114（万元）。

E2>E1>E3显然，这时采取第二方案最有利。

通过上述一系列的数学期望在决策中的应用举例，我们看到了数学知识给我们带来的价值与意义。在现代社会中决策问题受到人们极大的重视，就是在市场经济的今天，科学决策在更大范围、更多领域将取代经验决策，要科学决策就离不开数学。

参考文献

[1]谈祥柏.乐在其中的数学[M].北京：科学出版社，2005.

[2]中央电视台《百家讲坛》栏目组.相识数学[M].北京：中国人民大学出版社，2006.

[3]吴建国.数学建模案例精编[M].北京：中国水利水电出版社，2005.

[4]孙荣恒.趣味随机问题[M].北京：科学出版社，2004.

[5]梁之舜.概率论与数理统计（上册）[M].北京：高等教育出版社，2005.

作者简介

1.李桂范（1963--），女，黑龙江哈尔滨人，副教授。

数学期望范文第8篇

一、与不等式整合

例1 若随机事件A在1次试验中发生的概率为p（0

（1）求方差Dξ的最大值；

（2） 求2Dξ-1Eξ的最大值.

解析 随机变量ξ的所有可能取值为0，1，并且有P（ξ=1）=p， P（ξ=0）=1-p，

从而Eξ=0×（1-p）+1×p=p，Dξ= （0-

p）2×（1-p）+ （1-p）2×p=p-p2，

（1）Dξ =p-p2=-（p2-p+14）+14=- （p-12） 2+14，0

（2） 2Dξ-1Eξ= 2（p-p2）-1p=2-（2p+1p），

方形，则必能分割成（k+4）-1=k+3个正方形.故第一步应对n=6，7，8

的情形加以验证.第二步，则只需从k递推到k+3.

证明：（1）当n=6，7，8时，由图1中各图所示的分割方法知，命题成立.

图1

（2）假设当n=k（k∈N*，且k≥6）时命题成立，即一个正方形必能分割成k个正方形.那么，只要把其中任意一个正方形两组对边的中点分别连结起来，即把该正方形再分割成4个小正方形，则正方形的个数就增加了3个.因而原正方形就分割成了k+3个正方形，即当n=k+3时命题也成立.

因为任何一个大于5的自然数n都可以表示成6+3p，7+3p，8+3p（p∈N）中的一种形式，所以根据（1）和（2），可知命题对任何大于5的自然数n都成立.

五、归纳、猜想、证明

例5 （2015年湖北）已知数列an的各项均为正数，bn=n（1+1n）nann∈N+.计算b1a1，b1b2a1a2，b1b2b3a1a2a3，由此推测计算b1b2…bna1a2…an的公式，并给出证明.

解 b1a1=1・（1+11）1=1+1=2；

b1b2a1a2=b1a1・b2a2=2・2（1+12）2=（2+1）2=32；

b1b2b3a1a2a3=b1b2a1a2・b3a3=32・3（1+13）3=（3+1）3=43.

由此推测： b1b2…bna1a2…an=（n+1）n. （*）

证明 下面用数学归纳法证明：

（1）当n=1时，左边=右边=2，（*）式成立.

（2）假设当n=k（k∈N+）时，（*）式成立，即b1b2…bka1a2…ak=（k+1）k.

当n=k+1时，bk+1=（k+1）（1+1k+1）k+1ak+1，由归纳假设可得

b1b2…bkbk+1a1a2…akak+1=b1b2…bka1a2…ak・bk+1ak+1=（k+1）k（k+1）（1+1k+1）k+1=（k+2）k+1.

所以当n=k+1时，（*）式也成立.

根据（1）和（2），可知（*）式对一切正整数n都成立.

数学期望范文第9篇

关键词：连续型随机变量；期望；求法

中图分类号：G642.41 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2014）36-0078-02

如何快速有效地计算随机变量的数学期望是学习概率统计课程和随机过程理论必须掌握的一个知识点，但在一般的概率统计和随机过程教材（如[1，2]）中，计算数学期望主要采用的是定义和性质等常规方法。基于此，文[3]针对离散型随机变量期望计算，给出了对称法、公式法、分解法、递推法和母函数等求法及其技巧。在这些工作的基础上，本文针对连续型随机变量期望计算，通过实例介绍了Laplace-Stieltjes变换法、重期望公式法、利用相同概率性质的随机变量分解法和计算高维Markov过程平均吸收时间的方法。

一、Laplace-Stieltjes变换法

例1 设一非负随机变量X的分布函数为F（t）=■■■G■（t-u）d（1-e■），t>00， t≤0，其中n为确定正整数，λ■，j=1，2，…，n均为已知正数，a=λ1+…+λn，G■（t）为非负随机变量的分布函数，且0

解：因F（t）的Laplace-Stieltjes变换为■（s）=■e■dF（t）=■■■■（s），故E（X）=-[■（s）]′|s=0=■1+■■。

二、重期望公式法

例2 设供货商每月向某经销商供应的货物量X服从（10，30）（单位：1万件）上的均匀分布，该经销商每月实际需要的货物量Y服从（10，20）（单位：1万件）上的均匀分布。若该经销商能从供货商得到足够的货物，则每1万件货物可获30万元利润，若得不到足够货物则需从其他途径进货，此时每1万件可获10万元利润。求该经销商每月的平均利润。

解：因每月利润Z取决于货物供应量X，故由重期望公式得：

E（Z）=0.05[■E（Z|X=x）dx+■E（Z|X=x）dx]。

当x∈（10，20）时，E（Z|X=x）=0.1[■30ydy+

■（10y+20x）dy]=50+40x-x2，

当x∈（20，30）时，E（Z|X=x）=3[■ydy=450，于是E（Z）≈433，（万元）。

三、利用相同概率性质的随机变量分解法

例3 在M/G/1排队系统[4]中，顾客的到达是参数为λ的Poisson流，顾客的服务时间独立同分布，具有分布函数G（t），t>0和有限均值α。到达和服务独立。证明对服务台忙期b的数学期望E（b），当λα小于1时，E（b）=α（1-λα）-1，当λα大于或等于1时，E（b）=∞。

证明：设η表示忙期b中首个顾客的服务时间γ内到达的顾客数，则E（η）=λα。称服务时间γ内到达的η个顾客ξ1，…，ξη为“特殊顾客”，其后到达的顾客为“普通顾客”。因顾客类型和服务顺序不影响忙期b的长度，为研究需要，重新定义服务顺序为：服务完忙期首个顾客后，立即服务ξ1和除ξ2，…，ξη外的“普通顾客”，直到没有新到“普通顾客”时为止（这段时间记为X1），接着开始服务ξ2和除ξ3，…，ξη外的“普通顾客”，直到没有新到“普通顾客”时为止（这段时间记为X2），如此下去，直到最后开始服务ξη及其后所有新到的“普通顾客”（这段时间记为Xη），于是得到分解式b=γ+X1+…+Xη。由于b，X1，…，Xη都表示从一个顾客开始服务直到服务结束的一段时间，故它们具有相同的概率性质，分布相同，且X1，…，Xη独立于γ和η。从而

E（b）=a+∑■■E（X1+…+Xj）P{η=j}=a+λaE（b）。证毕。

四、计算高维Markov过程平均吸收时间的方法

例4 对两部件串联系统，若部件1、2的寿命分别服从参数为λ1的负指数分布和分布函数为X2（t）的一般概率分布，修理时间的分布函数为Yi（t），i=1，2，部件修复如新。t=0时刻部件全新且同时开始工作。求系统的首次平均寿命。

解：定义状态1：系统工作；状态2：部件1在修理，系统故障；状态3：部件2待修，系统故障。设部件2寿命的危险率函数为λ2（t），时刻t系统所处的状态为S（t），ξ2（t）表示时刻t部件2的年龄，ηi（t）表示时刻t部件i已用去的修理时间（i=1，2）。令状态2，3为吸收状态，则{S（t），ξ2（t），ηi（t），t>0，i=1，2}为带两个吸收状态的向量Markov过程。定义状态概率P1（t，x）dx=Pr{S（t）=1，x≤ξ2（t）

[■+■+λ1+λ2（x）]P1（t，x）=0， （1）

边界条件P1（t，0）=δ（t），初始条件P1（0，x）=δ（x），这里δ（t）为狄拉克函数。

对（1）关于t取Laplace变换易解得P1*（s，x）=

e■[1-X■（x）]。注意到系统首次寿命L的补分布■（t）=Pr（L>t）=■P1（t，x）dx（因为■（t）表示时刻t系统正在工作的概率），从而系统的首次平均寿命E（L）=■*（0）=λ■■-X■*（λ1）。

注1：当X2（t）=1-e-λ2t，t>0时，可得E（X）=（λ1+λ2）-1，与文[5]运用概率分析方法得到的结果（n=2的情形）完全一样。

五、结语

通过实例可以看到，本文介绍的连续型随机变量数学期望的求法可以解决一些具体问题中的期望计算，可为学习概率统计、随机过程及工程概率应用提供重要的参考，因此，理解和掌握这些方法是大有裨益的。

参考文献：

[1]李贤平.概率论基础[M].第二版.北京：高等教育出版社，1997.

[2]张波，张景肖.应用随机过程[M].北京：清华大学出版社，2004.

[3]徐传胜.离散型随机变量数学期望的求法探究[J].高等数学研究，2005，8，（1）.

[4]唐应辉，唐小我.排队论――基础与分析技术[M].高等教育出版社，2006.

[5]盛骤，谢式千.概率论与数理统计及其应用[M].北京：高等教育出版社，2004.

数学期望范文第10篇

关键词：花岗岩孤石方量估算概率统计条件数学期望

1前言

在花岗岩地区进行场地平整设计，一般将孤石并入剥离层计算，这种简化的做法造成了石方量计算的偏差。本文所用工程案例位于广州市科学城，工程场地位于覆盖层厚度大且花岗岩孤石较发育的剥蚀残丘，虽然场平设计时钻孔间距达到了20m（图1-1），但最终石方占总方量的比例（13.5%）与计算值（6.5%）仍存在一定的偏差。

现行规程规范并无估算孤石方量的方法，研究花岗岩孤石的估算方法具有现实意义。地表孤石的分布、块径、形状等和地下的孤石有区别，本文仅讨论地下孤石方量估算方法。

本文以钻孔揭露的水平方向遇孤石率，垂直方向线孤石率构造二维随机向量，通过条件数学期望获得二者的函数关系，并进行可靠度估值。最后通过与某工程的平均厚度法计算结果和施工记录进行对比，讨论计算方法的合理性。

2借鉴储量计算方法的孤石方量估算

场平设计时常将孤石视为夹层，借鉴储量计算常用的平行断面法、三角法、平均厚度法粗略估算孤石方量。

根据工程经验，平行断面法计算的储量一般＜平均厚度法计算结果；三角法属于一种精度更高的平均厚度法，但在钻孔较多时效率太低，一般不采用，以下只讨论平均厚度法。

平均厚度法中，剥离层、夹层、有用层相当于同底（S）不同高的柱体，该法不考虑孤石的具体形状，因此计算结果较为保守。设开挖面以上，全部钻孔的孤石平均厚度为，基岩面以上风化带厚度（含孤石）平均值为，则孤石方量，剥离层总方量。

本工程采用一种简化的计算方法，通过对各孔孤石线性比例进行加权平均来获得v/V，，式中yi为各孔孤石总厚度Hi与基岩面以上风化带厚度Ti（含孤石）的比值，si为各孔基岩面以上风化带厚度，n为钻孔总数。可见平均厚度法和加权平均法是等价的。

由于钻孔不可能把孤石全部揭露，平均厚度法一方面会遗漏未揭露的石方量，另一方面把孤石作为成层土处理又夸大的石方量，因此其计算精度难以评估。为反映孤石分布的不确定性，下文把概率统计理论应用到方量估算中来。

3基于概率统计的估算方法

3.1 计算参数

由于孤石之间是相互独立的，水平方向的“遇孤石率”，垂直方向的“线孤石率”具有一定的统计意义。

（1）水平方向计算参数――遇孤石率p

单个钻孔是否遇孤石的随机事件可看作贝努利试验，该事件服从概率为p的两点分布，而n个钻孔相当于n重贝努利试验，因此遇孤石的孔数x服从概率为p的二项分布，即，其数学期望E(x)=np。

对遇孤石率的分区统计见表3-1。

（2）垂直方向计算参数――线孤石率y

把线孤石率y定义为孤石总厚度H与基岩面以上风化带厚度T（含孤石）的比值，y可直观地表示孤石在垂向所占比例，根据钻探资料，对场地线孤石率y进行分区统计如表3-1。

若以y的均值和样本标准差为正态分布参数，对y作Kolmogorov-Smirnov双侧检验，其方法是根据样本经验分布函数Fn(y)和正态分布函数N(y)构造检验统计量，在显著水平0.05下，求得临界值KS0.05=0.2873＞KS=0.271，概率p=0.0747，虽然非常接近拒绝域，但仍接受了正态分布的假设。

y近似服从正态分布是下文计算和讨论的重要前提。

3.2 基于条件数学期望的计算方法

对x进行标准化变换，则服从正态分布，因y近似服从正态分布，随机向量(、y)服从二元正态分布，设的均值和方差分别为、，y的均值和方差分别为、。当已确定，则可通过条件数学期望和描述(、y)的统计学特征。

对场地各分区的、y及其相关系数r统计成果见表3-3。

方量估算与平均厚度法采用同样的假设，全场地揭露孤石的面积为p*S，孤石所占厚度为y*，为基岩面以上风化土和孤石的总厚度平均值，则孤石体积为v=φpSy，基岩面以上的总方量为V=S。式中φ为形状系数，取值0.526（椭球体）～0.67（圆柱）～1（六面体），因此孤石体积占基岩面以上总方量的比例为v/V=φpy。为方便与平均厚度法比较，取φ=1。

因，、n、x确定时，遇孤石率p也是定值，。另有，式中、、、、、已知，因此E(v/V)也是的线性函数，可以用均值的置信区间描述E(v/V)的置信区间。

因服从标准正态分布N(0,1)，因此当显著水平为，其均值的单侧置信区间界限值为，取，取全场地遇孤石率，n取全场地参与统计的钻孔数68，算得，界限值为0.2696。

将各参数代入，算得。

利用分区统计成果计算孤石的比例，即，，。

3.3 对计算结果的讨论

（1）与平均厚度法的对比

考虑各分区p、y平均值等于全场地p、y平均值的情况，此时，，取，，有，该结果与平均厚度法算得的孤石比例v/V=0.0415吻合，此时基于条件数学期望的计算方法退化为平均厚度法。

，主要原因是统计样本数（钻孔数）较少，通常分区数达到大样本（＞30）的情况下，统计量才以标准正态分布为极限，即，另外y的统计样本数只有13个，参数、与其真值有一定偏差；次要原因是各分区数据的离散性以及钻孔数的不均匀性，它造成各分区p、y平均值不等于全场地p、y平均值的情况。

基于条件数学期望的计算方法优势在于可以通过遇孤石率p对孤石比例进行可靠度估值，它考虑了估计量可能的误差，这一点是平均厚度法无法考虑的。

（2）与施工记录对比

根据该工程勘测报告，以平均厚度法算得的基岩占总方量比例为2.4％，孤石占总方量比例为4.1％，地表孤石量未进行估算，近似地提出总石方量约占10％。根据施工记录，按照椭球体计算的地上、地下孤石方量＋基岩石方量约占总方量13.5％。

假设施工记录是准确的，则以估算地下孤石方量更合理，这样地下孤石＋基岩方量约占9.6％，与施工记录更接近。但值得注意的是发生概率仅为5％。

反算施工记录石方比例13.5%的发生概率，，即发生了小概率事件，这显然是不合理的，施工记录的准确性应受到质疑。

由于施工记录的测量过程、精度和可信度未得到岩土专业的确认，它对计算方法的检验作用是有限的，因此置信度的合理取值需要经过更多工程实例的检验方能确定。

（3）形状系数的取值

为与平均厚度法作对比，本文取。由于孤石的形状一般是介于椭球和棱角被剥蚀的六面体之间，有条件的工程应现场调查成果选取合适的值，或以施工记录反算值。

（4）给定y时的条件数学期望计算方法

同理还可以通过以遇孤石率y对对孤石比例进行可靠度估值，由于y只是以正态分布近似描述，估值精度较低。由图3-1，在区间，正态分布的y估值＞实测值，在这个区间内以计算是保守的，超出此区间时正态分布的y估值就不保守了。解决的方法是对y也进行标准化变换，则其标准化随机变量服从T分布，其自由度为分区数-1，由于计算比较复杂，本文未考虑。

4结论

遇孤石率通过标准化变换后，可与线孤石率构成二维随机向量，通过其条件数学期望可获得两者的函数关系。

仿照平均厚度法方量计算的假设，可通过遇孤石率、线孤石率的函数关系，求得孤石比例的数学期望，并作可靠度估值。

基于条件数学期望的计算结果与平均厚度法吻合，说明计算方法是合理的，且平均厚度法是基于条件数学期望计算方法的一个特例。

基于条件数学期望的计算方法优势在于可以通过遇孤石率对孤石比例进行可靠度估值，相比平均厚度法，以可靠度估值计算的土石比与施工记录更接近。

参考文献

张继周,缪林昌.岩土参数概率分布类型及其选择标准[J].岩石力学与工程学报,2009,28(增2):3526~3532.

冯涛,吴光,王华.广东花岗岩地段球状风化地下分布特征分析[J].铁道建筑,2007,(1):104~105.

复旦大学.概率论第二册[M].北京:高等教育出版社,1979.180~183.