时间:2023-03-10 21:58:11
1."化曲为直"。即把曲线运动分解为两个直线运动
平抛运动根据其受力情况可分解为水平方向上的匀速直线运动和竖直方向上的自由落体运动。物体同时参与这两种运动,故物体到达每一个位置时水平方向匀速直线运动的时间和在竖直方向自由落体运动的时间都相等。解题时可根据运动的独立性,分别列式,再根据运动的等时性联立求解。
【例1】A、B两小球同时从距地面高为h=15m处的同一点抛出,初速度大小均为v0=10m/s.A球竖直向下抛出,B球水平抛出,空气阻力不计,重力加速度取g=l0m/s2.求:
(1)A球经多长时间落地?
(2)A球落地时,A、B两球间的距离是多少?
解析:如图所示:
2.巧选参考系
以地面为参考系,平抛运动分解为水平方向上的匀速直线运动和竖直方向上的自由落体运动。但如果选择一个自由落体运动的物体为参考系,物体则做水平方向上的匀速直线运动;如果选择一个水平方向与之相同初速度的物体为参考系,物体则做竖直方向上的自由落体运动。运用以上方法解决一些选择题非常方便。
【例2】飞机以150m/s的速度水平匀速飞行,某时刻自由释放a球,1s后又自由释放b球。不计空气阻力,下列关于两球之间的相对位置关系说法正确的是()
A.a球在b球的前下方
B.a球在b球的后下方
C.a球始终在b球的正下方5m处
D.a球始终在b球的正下方,但两者之间的距离逐渐变大
解析:本题若以地面为参考系,处理起来较为困难。若以飞机为参考系,两球均做自由落体运动,即两个球始终位机的正下方,所以A、B选项都是错误的,根据自由落体运动的公式可得:Δh=hA-hB=g2t+12即A、B间的距离逐渐增大。
【变式训练】从水平匀速向右飞行的飞机上自由释放一个小球,不计空气的阻力,站在地面上的观察者看到小球下落的情况是下图中的(),飞机上的观察者看到小球下落的情况是下图中的()
解析:以地面为参考系,小球向右做平抛运动,故站地面上的观察者看到小球下落的情况是B图中的情形;以飞机为参考系,小球做自由落体运动,故飞机上的观察者看到小球下落的情况是A图中的情形。
3.巧妙建立坐标系,简化解题过程
【例3】如图所示。从倾角为α的斜面上的A点一以初速度V0水平抛出一个物体在空中飞行一段时间后,落到斜面的B点,不计空气阻力。求抛出后经多长时间物体与斜面间距离最大?
解析:平抛运动一般分解为水平方向上的匀速直线运动和竖直方向上的自由落体运动。但在具体题目中,要具体分析,不要盲目照搬。本题若沿水平和竖直方向进行分解计算,解题过程较复杂,如果沿垂直于斜面和平行于斜面分解,解题过程非常简单。
解:将平抛初速度和重力加速度沿平行于斜面和垂直斜面分解,物体在垂直于斜面的方向上做初速为 ,加速度为 的匀减速直线运动,物体距斜面最远的时刻就是在该方向上上升到最大高度的时刻,即在该方向上的末速度为零,
故有:v0sinα-tgcosα=0得t=v0tanαg。
4.轨迹方程法
做平抛运动的物体的轨迹是抛物线,其一般式可表示为y=ax2+bx+c,有的平抛运动问题在建立坐标的情况下,直接将轨迹上的点代入方程里去计算.
【例4】.从高为H的A点平抛一物体,其水平射程为2s,在A点正上方高为2H的B点,向同一方平抛另一物体,其水平射程为S,两物体轨变在同一竖直平面内且都恰好从一屏的顶端擦过,求屏高。
解析:用轨迹方程法求解,因物体从A、B两点抛出的
运动轨迹均为抛物线,如图3所示,轨迹方程分别设为y=ax2+b,
y'=a'x2+b'式中啊a、b、a'、b、为常数,将已知坐标A(0,H)、A'(2s,0)、B(0,2H)、B'(s,0)分别代入上式得a=-H4s2,b=H,a'=-2Hs2,b'=2H≈
代入方程y-H4s2x2+H,y=-2Hs2+2H
由题意可知,两物体抛也的轨迹在屏顶端相交,即两方程有一公共解,联立解得y=67H即h=67H
点评:数形结合是解决物理问题的一种重要方法.
5.几何分析法
几何分析法的基本思路是,在某一量刻(位置)或某段时间上构建速度三角形或位移三角形,运用平抛运动的规律,借助三角形边角关系求解.
【例5】.一人站在某高度处,沿水平方向抛出一个小球,经过一段时间后,小球落到地面,测得抛出点与落地点之间的距离为 ,若抛出时初速度增大到两倍,则抛出点与落地点之间的距离为 。已知两落地点在同一水平面上,求小球落地的时间
解析:设第一次抛出小球,小球的水平位移为 ,竖直位移为 ,如图5左所示,构建位移矢量直角三角形有z2+h2=j2
若抛出时初速度增大到2倍,重新构建位移矢量直角三角形,如图4右所示有,(2x)2+h2=(3j)2
由以上两式得h=j3由h=12gt2得t=2j3g
物体以一定的初速度v0水平抛出后,物体只受到重力的作用,方向竖直向下,根据牛顿第二定律,物体的加速度方向与所受合外力方向一致,大小为a=g,方向竖直向下;由于物体是被水平抛出的,在竖直方向的初速度为零,所以,平抛运动的竖直分运动就是自由落体运动. 而水平方向上物体不受任何外力作用,加速度为零,所以水平方向的分运动是匀速直线运动,速度大小就等于物体抛出时的速度v0.
■ 二、 平抛物体的位置
如图1所示,以物体水平抛出时的位置为坐标原点,以水平抛出的方向为x轴的正方向,竖直向下的方向为y轴的正方向,建立坐标系,物体的位置可用它的坐标x、y来描述. 从物体抛出瞬间开始计时,因平抛运动水平方向的分运动为匀速直线运动,故平抛物体的水平坐标随时间变化的规律是x=v0t;
因平抛运动竖直方向的分运动为自由落体运动,故平抛物体的竖直坐标随时间变化的规律是y=■gt2.
以上两式确定了平抛物体在任意时刻t的位置.
■ 三、 平抛运动的轨迹
从以上两式中消去t,可得
y=■x2
式中g、v0都是与x、y无关的常量,所以■也是常量. 这正是数学中的抛物线方程y=ax2. 实际上,二次函数的图象叫做抛物线,就是来源于此!
y=■x2是平抛运动物体在任意时刻的位置坐标x和y所满足的方程,我们称之为平抛运动的轨迹方程. 由此方程可知,这是一个顶点在原点、开口向下的抛物线.
■ 四、 平抛物体的速度
由平抛运动的特点不难得到:初速度为v0的平抛运动,经过时间t后,其水平分速度vx=v0,竖直分速度vy=gt.
根据运动的合成规律可知物体在这个时刻的速度(即合速度)大小
v=■=■,
设这个时刻物体的速度与竖直方向的夹角为θ,则有
tan θ=■=■.
■ 五、 平抛物体的飞行时间
由于平抛运动在竖直方向的分运动为自由落体运动,有
h=■gt2,故t=■,
即平抛物体在空中的飞行时间取决于下落高度h,与初速度v0无关.
■ 六、 平抛物体的水平射程
由于平抛运动在水平方向的分运动为匀速直线运动,故平抛物体的水平射程即落地点与抛出点间的水平距离
x=v0t=v0■
即水平射程与初速度v0和下落高度h有关,与其他因素无关.
■ 七、 平抛物体的落地速度
根据平抛运动的两个分运动,可得落地速度的大小
v=■=■
以θ表示落地速度与x轴正方向间的夹角,有
tan θ=■=■
即落地速度也只与初速度v0和下落高度h有关.
■ 例1 平抛一物体,当抛出1 s后的速度方向与水平方向成45°角,落地速度方向与水平方向成60°角. (取g=10 m/s2),求:
(1) 初速度;
(2) 落地速度;
(3) 开始抛出点距地面的高度;
(4) 水平射程.
■ 解析 由题知如图2,
(1) t1=1 s时vy=gt1.
vx=vy=v0.
v0=gt1=10×1 m/s=10 m/s.
(2) vt=■=■
vt=■ m/s=20 m/s.
(3) vy′=gt
vy′=vt・sin60°=20×■ m/s,vy′=10■ m/s.
t=■ s=■ s,h=■gt2=■×10×(■) m=15 s.
(4) x=v0t=10■ m.
■ 八、 将斜抛运动转化为平抛运动处理
斜抛运动的轨迹为开口向下的抛物线,轨迹关于过最高点的竖直线对称,且过最高点后物体的运动即是平抛运动,因此可将斜抛运动转化为平抛运动处理.
■ 例2 设乒乓球的球台长2L、网高h,乒乓球反弹前后水平分速度不变,竖直分速度大小不变、方向相反,且不考虑乒乓球的旋转和空气阻力. 若球在球台边缘O点正上方以速度v1水平发出,恰好在最高点越过球网落在球台的P1点,如图3所示,求v1的大小.
■ 解析 乒乓球先做平抛运动,反弹后再做斜抛运动. 由斜抛运动最高点两侧运动的对称性,可将斜抛运动转化为平抛运动处理;根据题给条件“乒乓球反弹前后水平分速度不变,竖直分速度大小不变、方向相反,且不考虑乒乓球的旋转和空气阻力”,由乒乓球反弹前后运动的对称性,可确定相应的几何关系. 具体解法如下:
设发球高度为h1,乒乓球从发出到第一次反弹前的飞行时间为t1,水平位移为x1.
根据平抛运动h1=■gt21,x1=v1t1,
且h1=h,2x1=L,
得v1=■■.
请进一步讨论:若球在O点正上方水平发出后,球经反弹恰好越过球网且刚好落在对方球台边缘P2处,如图4所示,求发球点距O点的高度h2.
①受力特点:F合=mg,方向竖直向下
②运动特点:
平抛物体的速度方向与受力方向不在一条直线上,故平抛运动是曲线运动。又因为物体受恒力作用,加速度不变,故平抛运动是匀变速曲线运动。
平抛物体的运动是曲线运动的一个特例,其运动特点是具有水平方向初速度和竖直向下的加速度g(只受重力、忽略空气阻力),由运动的合成与分解知识可知,平抛运动可分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动。因此,平抛运动问题都可以通过水平方向的分运动和竖直方向的分运动具有等时性的特点进行研究。
2.平抛运动的规律
以抛出点为坐标原点,以初速度v0方向为x正方向,竖直向下为y正方向,如图1所示。则有:
分速度vx=v0,vy=gt 合速度v=s=,tanθ=
分位移x=v0?t,y=gt2 合位移s=
注意:合位移方向与合速度方向不一致。
轨迹:设物体平抛至某点(x,y),如图2所示,则轨迹方程为:
x=v0t,y=gt2 消去参数t,得y=x2。(抛物线)
3.平抛物体运动中的速度变化
水平方向分速度保持vx=v0,竖直方向加速度恒为g,速度vy=gt,从抛出点起,每隔Δt时间的速度的矢量关系如图3所示,这一矢量关系有两个特点:(1)任意时刻的速度水平分量均等于初速度v0;(2)任意相等时间间隔Δt内的速度改变量均竖直向下,且Δv=Δvy=g?Δt
问题全解
平抛运动的飞行时间和水平距离由哪些因素决定?
由于分运动和合运动具有等时性,平抛运动的飞行时间只受下降的距离y的限制,即飞行时间只由竖直分运动决定,与水平分运动无关,只要做平抛运动的物体下降的距离相同,无论水平初速度和质量如何,其飞行时间均相同,且为t=
但飞行的水平距离x则由平抛初速度v0和下降的距离y共同决定,为:x=v0t=v0
[例1]一架飞机水平匀速地飞行。从飞机上每隔1 s释放一铁球,先后共释放4个。若不计空气阻力,则4个球
A.在空中任何时刻总是排成抛物线,它们的落地点是等间距的
B.在空中任何时刻总是排成抛物线,它们的落地点不是等间距的
C.在空中任何时刻总在飞机正下方排成竖直的直线,它们的落地点是等间距的
D.在空中任何时刻总在飞机正下方排成竖直的直线,它们的落地点是不等间距的
解析:飞机和铁球的水平运动相同(相对地面)。选取飞机为参照物,每个铁球都做自由落体运动,都从飞机上释放,可以判断出4个铁球总在飞机正下方排成竖直的直线,每隔1 s释放1个铁球,故铁球落地点是等间距的。C正确。
点评:如果飞机斜向上匀速飞行,每隔1 s释放1个铁球,则以飞机为参照物,在空中铁球仍在飞机正下方排成竖直的直线。但由机释放铁球的高度不同,铁球落地点是不等间距的。
例2 图3为一小球做平抛运动的闪光照相照片的一部分,图中背景方格的边长均为5cm,如果取g=9.8m/s2,那么
(1)闪光频率是__________Hz。
(2)小球运动中水平分速度的大小是 m/s。
(3)小球经过B点的速度大小是___________m/s。
解析:物体竖直方向做自由落体运动,无论A点是不是抛出点,y=gT2均成立(式中y为相邻两闪光点竖直距离之差,T为相邻两闪光点的时间间隔)。水平方向有x=v0T(x为相邻两闪光点的水平距离)。
由v0=x=2L=2=1.4m/s
x=v0T和y=gT2可得T====s
故闪光频率f==16Hz
在B点时的竖直分速度vBy===m/s=2.8m/s
过B点时水平分速度vBx=v0
vB==m/s=3.1m/s
点评:尽管A点不一定是平抛的初始位置,但从图中A、B、C两两相邻所夹的格数相等,得出从AB、BC用的时间都相等,从而知道竖直方向上可以用 列式求解。
【学习方法指导】
运动叠加法
运动独立性原理又叫运动叠加原理。原理指出:一个运动可以看成是由几个同时进行的各自独立的运动的叠加。这是研究曲线运动的基本方法。中学物理课本中虽然没有明确给出运动独立性原理的文字表述,但教材内容和习题却体现了该原理的思想。我们在研究渡船过河时,把渡船的运动看成是船在静水中的运动和河水的运动的叠加。研究平抛运动时,把它分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动。研究斜上抛运动时,把它分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的竖直上抛运动。带电粒子在电场中的偏转也用到运动独立性原理。在物理解题中也常常用到运动独立性原理这一研究运动合成和分解的重要方法。
应用运动独立性原理分析问题,应注意到:(1)各个分运动应是彼此独立的、互不影响的;(2)分运动和合运动具有同时性,各个分运动和合运动是同时进行的。
【知识拓展】
平抛运动的两个重要推论
推论1:做平抛(或类平抛)运动的物体在任一时刻任一位置处,设其速度方向与水平方向的夹角为θ,位移与水平方向的夹角为φ,则tanθ=2tanφ。
证明:如图9所示,由平抛运动规律得:
tanθ== , tanφ===
所以tanθ=2 tanφ。
推论2:做平抛(或类平抛)运动的物体任一时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点,如图10中A点和B点所示。
证明:设平抛物体的初速度为v0,从原点O到A点的时间为t,A点坐标为(x,y),B点坐标为(x′,0),则x=v0t
y=gt2 v=gt, 又tanθ==,
解得x'=。
题型一、实验现象分析
例1(2003年上海)如图1所示,在研究平抛运动时,小球A沿轨道滑下,离开轨道末端(末端水平)时撞开轻质接触式开关S,被电磁铁吸住的小球B同时自由下落.改变整个装置的高度H做同样的实验,发现位于同一高度的A、B两球总是同时落地.该实验现象说明了A球在离开轨道(
)
A.水平方向的分运动是匀速直线运动
B.水平方向的分运动是匀加速直线运动
C.竖直方向的分运动是自由落体运动
D.竖直方向的分运动是匀速直线运动
解析 这是一道有关平抛运动的演示实验题,其间隐藏着严密的逻辑推理方法.这是一个对比实验,A球做平抛运动,B球做自由落体运动,其实是将A球的竖直方向分运动与B球的自由落体运动进行对比,实验发现A、B两球总是同时落地.这里透过现象看本质,有着严密的逻辑推理,“改变整个装置的高度H做同样的实验,发现位于同一高度的A、B两球总是同时落地”这个现象非常关键,任意性推理出普遍性,只有任意高度同时落下A、B两球同时落地时才能推理出A球竖直方向的分运动是自由落体运动.由于A球做平抛运动,其水平方向的分运动的确是匀速直线运动,但这里并没有将其水平方向的分运动与某个匀速直线运动对比,所以不能证明水平方向的分运动是匀速直线运动.当然我们可以进一步思考:如何设计一个实验方案来验证平抛运动的水平方向的分运动是匀速直线运动?答案为C.
题型二、实验基本操作
例2(2014安徽)图2“研究平抛物体运动”的实验装置,通过描点画出平抛小球的运动轨迹,以下实验过程的一些做法,其中合理的有
(
)
A.安装斜槽轨道,使其末端保持水平
B.每次小球释放的初始位置可以任意选择
C.每次小球应从同一高度由静止释放
D.为描出小球的运动轨迹描绘的点可以用折线连接
解析 斜槽末端水平,才能保证小球离开斜槽末端的速度为水平方向,故A对;为保证小球多次运动是同一条轨迹,每次小球的释放点都应该相同,C对;为了减少误差,小球释放的高度要适当高些,且从同一个位置释放,B错;描绘轨迹时,要用圆滑的曲线把大部分点连起来,偏差大的点舍去,D错.位置由静止释放.每打完一点后,把B板插入后一槽中并同时向纸面内侧平移距离d.实验得到小球在白纸上打下的若干痕迹点,如图6所示.
(1)实验前应对实验装置反复调节,直到________,每次让小球从同一位置由静止释放,是为了________
(2)每次将B板向内侧平移距离d,是为了________
(3)在图中绘出小球做平抛运动的轨迹.
解析 该题考查了实验中的留迹法,是创新题目,考查了发散思维能力.
(1)本实验方案既然是研究平抛运动,要保证小球飞出滑轨时的速度方向为水平方向,所以实验前应对实验装置反复调节,直到斜槽末端应调成水平;每次让小球从同一位置由静止释放,是为了保持小球水平抛出的初速度相同,否则描出的轨迹不是同一次运动的轨迹.
(2)每次将B板向内侧平移距离d,是为了保持相邻痕迹点的水平距离大小相同.每次平移相同的距离d,可以使记录纸上每两点之间的水平距离等于小球在水平方向上的位移,也相当于取相等的时间间隔,这样在B板上打下的点迹反映的才是水平分运动和竖直分运动等时间内的位移变化情况,才能够画出更符合实际的平抛运动轨迹.
人教版高中物理必修2第13页第三节《实验:研究平抛运动》中,提供了三种参考案例描绘平抛运动轨迹。本人在教学中,综合这三种案例,让学生利用自己的手机,描绘出了平抛运动轨迹,收到了很好的效果,下面来说说具体做法。
第一步,将案例一中的平板竖直固定在实验台上,调整重锤线,使平板竖直,并使两条坐标轴水平竖直,然后用磁性条将复写纸贴在板上。
第二步,将案例二中的水瓶用铁架台固定好,调整喷嘴,使之能水平喷出一条细细的水流。然后将水瓶移到板前,调整水瓶高度,使喷嘴出水点在板上坐标原点处。
第三步,使喷嘴喷水,让同学在板的正前面大约一米远处拍照,注意让同学们依次拍照,不要拥挤。
第四步,同学用QQ将照片传给老师,老师当堂用打印机打出来,分发学生。
第五步,同学们用自己照出来的平抛运动轨迹,进行探究,判断平抛运动轨迹是不是抛物线,并求出平抛运动的初速度。
下图中的轨迹是一(3)班余艳双同学的作品原稿。
老师在输出照片的时候可以用电脑画上方格线,这样方格线与坐标轴相对应,可以很方便学生准确读数。下图是画好方格线的照片。
至于数据的处理,则和其它实验方法一样,不再赘述。
本实验还有几处可以改进的地方。一是可以使用颜色很深的水,这样轨迹是深色的,可以使用白色的纸;二是在纸上事先画好方格线,照片可以直接打印出来;三是喷嘴尽量细一些,水流细一些误差会更好。
这种方法取得平抛运动的轨迹,使学生感到新奇兴趣盎然,让学生很有成就感,昔日老师严禁使用的手机,居然能在课堂上能在学习中派上用场,成为学习的工具。借此可以引导学生正确使用手机,鼓励学生在学习中正确利用手机使之成为学习的工具。
本文意在抛砖引玉,希望能激发更多利用身边器材做好物理实验的方法。
______________
■ 一、 飞车过黄河
■ 例1 (1997年全国)在一次“飞车黄河”的表演中,汽车在空中飞经最高点后在对岸着地,已知汽车从最高点至着地点经历的时间约0.8 s,两点间的水平距离约为30 m,忽略空气阻力,取g=10 m/s2. 求:
(1) 汽车在最高点时的速度约为多少?
(2) 最高点与着地点的高度差约为多少?
■ 解析 汽车在最高点时的竖直速度为零,只存在水平方向的速度,因此在最高点后汽车做的是平抛运动.
(1) 水平方向为匀速运动,
v=■=■ m/s=37.5 m/s.
(2) 竖直方向为自由落体运动,
h=■gt2=■×10×0.82 m=3.2 m.
■ 二、 网球运动
■ 例2 某运动员对着墙壁练习打网球,假定球在墙面上以25 m/s的速度沿水平方向反弹,落地点到墙面的距离在10 m至15 m之间,忽略空气阻力,取g=10 m/s2. 球在地面上反弹点的高度范围是( )
A. 0.8 m至1.8 m B. 0.8 m至1.6 m
C. 1.0 m至1.6 m D. 1.0 m至1.8 m
■ 解析 网球反弹后做平抛运动,如图1所示.
则h1=■gt2 1,s1=vt1,
h2=■gt2 2,s2=vt2.
将v=25 m/s,g=10 m/s2,s1=10 m,s2=15 m代入以上方程可求得h1=0.8 m,h2=1.8 m,从而确定A选项正确.
■ 三、 射击运动
■ 例3 (2009年福建高考第20题)如图2所示,射击枪水平放置,射击枪与目标靶中心位于离地面足够高的同一水平线上,枪口与目标靶之间的距离s=100 m,子弹射出的水平速度v=200 m/s,子弹从枪出的瞬间目标靶由静止开始释放,不计空气阻力,取g=10 m/s2,求:
(1) 从子弹由枪出开始计时,经多长时间子弹击中目标靶?
(2) 目标靶由静止开始释放到被子弹击中,下落的距离为多少?
■ 解析 (1) 子弹做平抛运动,它在水平方向的分运动是匀速直线运动,设子弹经t时间击中目标靶,则t=■,
代入数据得t=0.5 s.
(2) 目标靶做自由落体运动,则下落的距离h=■gt2,
代入数据得h=1.25 m.
■ 四、 滑雪运动
■ 例4 跳台滑雪是勇敢者的运动,它是利用山势特别建造的跳台进行的.运动员穿着滑雪板,不带雪杖在助滑路上取得高速后起跳,在空中飞行一段距离后着陆. 这项运动极为壮观. 如图3所示,设一位运动员由a点沿水平方向跃起,起跳的速度为17.3 m/s,到b点着陆,测得山坡倾角为θ=30°. 试计算运动员在空中飞行的时间及着陆点b到起跳点a的距离. (不计空气阻力,取g=10 m/s2)
■ 解析 设ab间的距离为L,则运动员在空中飞行的水平距离为Lcosθ,竖直距离为Lsinθ,由平抛运动规律得
Lcosθ=v0 t,Lsinθ=■gt2,
联立解得ab间的距离
L=■=40.0 m,
运动员在空中飞行的时间
t=■=2.0 s.
■ 五、 飞镖运动
■ 例5 如图4所示,墙壁上落有两只飞镖,它们是运动员从同一位置水平射出的,飞镖A与竖直墙壁成53°角,飞镖B与竖直墙壁成37°角,两者相距为d,假设飞镖的运动是平抛运动,求射出点离墙壁的水平距离. (sin37°=0.6,cos37°=0.8)
■ 解析 设射出点离墙壁的水平距离为x,A下降的高度为h1,B下降的高度为h2,根据平抛运动规律可知:
h1=■,h2=■,
而h2-h1=d,
联立解得x=■d=3■d.
■ 六、 排球运动
■ 例6 排球场总长18 m,网高2 m,运动员在3 m线正上方水平击球(方向垂直于底线),假设球做平抛运动,问在什么高度处击球,无论速度为多大,球总要出界或触网?
■ 解析 我们知道除时间以外,其他物理量均与初速度和高度有关,那么本题只有一种可能,就是击球点D与对方底线B和球网上边缘C在同一条抛物线上(如图5所示).
根据平抛运动的轨迹方程y=■x2,得
■=■,则h=2.13 m.
这样,如果速度大必然出界,速度小必然触网.
点评 轨迹方程解决问题是很简捷的,应用是很广泛的,由此题可见一斑.
■ 七、 篮球运动
■ 例7 如图6所示,在投球游戏中,小明坐在可沿竖直方向升降的椅子上,停在不同高度处将小球水平抛出落入固定的球框中. 已知球框距地面的高度为h0,小球的质量为m,抛出点与球框的水平距离始终为L,忽略空气阻力. 若小球从不同高度水平抛出后都落入球框中,试推导小球水平抛出的速度v与抛出点高度H之间满足的函数关系.
■ 八、 乒乓球运动
■ 例8 抛体运动在各类体育运动项目中很常见,如乒乓球运动. 现讨论乒乓球发球问题,如图7所示,设球台长2L、网高h,乒乓球反弹前后水平分速度不变,竖直分速度大小不变、方向相反,且不考虑乒乓球的旋转和空气阻力. (设重力加速度为g)
(1) 若球在球台边缘O点正上方高度为h1处以速度v1水平发出,落在球台的P1点(如图实线所示),求P1点距O点的距离x1.
(2) 若球在O点正上方以速度v2水平发出,恰好在最高点时越过球网落在球台的P2点(如图中虚线所示),求v2的大小.
(3) 若球在O点正上方水平发出后,球经反弹恰好越过球网且刚好落在对方球台边缘P3处,求发球点距O点的高度h3.
■ 解析 (1) 设发球时飞行时间为t1,根据平抛运动得
h1=■gt21,x1=v1t1.
解得x1=v1■.
(2) 设发球高度为h2,飞行时间为t2,同理根据平抛运动得
h2=■gt22,x2=v2t2.
且h2=h,2x2=L.
解得v2=■■.
(3) 如图9所示,设发球高度为h3,飞行时间为t3,同理,根据平抛运动得
h3=■gt23,x3=v3t3.
且3x3=2L.
设球从恰好越过球网到最高点的时间为t,水平距离为s,有h3-h=■gt2,s=v3t.
由几何关系知x3+s=L.
一、平抛物体的运动规律
物体以一定初速度沿水平方向抛出(不计空气阻力)如果物体仅受重力作用,这样运动叫做平抛物体运动。
平抛物体运动通常可看作是水平方向和竖直方向的分运动的合成。在水平方向上,物体不受外力,所以做匀速直线运动,其速度为平抛物体运动的初速度。在竖直方向上,物体只受重力作用,所以做自由落体运动。
平抛物体的运动之所以是两个分运动的合运动,因此分,合运动之间存在同时性、等效性和独立性。
平抛物体运动可分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动。因此我们可以计算出任意时的物体的x和y方向的坐标。水平向右方向被认为x轴,它的方向和物体的初速度方向一致,竖直向下的方向被认为y轴。
它的运动轨迹如图1所示:
图1
平抛物体运动只受重力作用,所以它的加速度大小a=g,方向与y方向一致。物体任意t时刻的坐标通过以下公式可以找出来的。在水平方向做匀速直线运动,所以x=v0t。在竖直方向做
自由落体运动,所以 。通过以上两个公式我们可以画
出平抛物体运动的运动轨迹。
平抛物体运动的t秒末水平方向速度为vx,竖直方向的分速度为vy,可以得到vx=v0、vy=gt,t秒末时刻速度大小
速度的方向可以用vt与x轴之间的锐角表示,也可以叫作速度的
偏角,并用以下公式来表示: ,合位移的大小也可以用
以下公式表示: ,位移的方向(s与x轴
之间的锐角) ,从速度方向与位移方向之间的关系
可看出: 。
以上公式可得出平抛物体运动时间由高度唯一决定的。研究平抛物体运动除了学好以上公式以外,还需要掌握平抛物体运动是曲线运动中的一种匀加速运动。
二、类平抛物体运动
物体水平抛出后,在水平方向上做匀速直线运动(不计空气阻力),而在竖直方向上的运动不仅受到重力还受到竖直方向的其他力的作用叫做类平抛物体运动。这种运动类型很多,本文主要讨论高考中出现可能性较大的带电粒子在匀强电场中的运动。
带电粒子在匀强电场中的运动:
电量为q的粒子以一定的初速度v0进入电场中(垂直切割电场线)不考虑其他力的相互作用时,带电粒子只受垂直于原射入方向的电场作用,使物体做类平抛物体运动。如图2所示:
图2
当我们研究这类运动时需要考虑平抛物体的运动规律。这类运动也要分解成两个分运动来讨论。在一方向不受力的作用,做匀速直线运动,而在另一方向做初速度为v0的匀加速直线运动。所以这类似于平抛物体运动规律的分析。
带电粒子水平射入匀强电场时运动可总结为以下两个式子:
、 ,这些公式的推导过程与平抛物体
运动公式相比可得到以下总结表:
平抛物体运动的规律 带电粒子垂直射入匀强电场中的运用公式
合 力 F合=mg F合=Eq
加速度 a=g
竖直位移
水平位移 x=v0t L=v0t
水平速度 vx=v0 vx=v0
竖直速度 vy=gt
速度的偏角
例如:如图3所示,M、N是两块平行金属板,板长为L,两板间距也为L,电势差为恒定,一个带电粒子以一定的初速度水平射入电场,最后打在与两个平行金属板间距为L的荧光屏上。粒子落地点与O点的距离为L/2,如果大量像以上一样的粒子(与初速度一样,不计粒子之间的相互作用)从MN板之间的不同地方垂直射入电场时(不计重力),求大量带电粒子打在屏上的范围?
图3
解析:要求这些粒子打在屏上的范围,首先要考虑粒子在电场时的运动和飞出电场后的运动。粒子在两板之间做类平抛运动,在两板之外做匀速直线运动。为求大量粒子打在屏上的范围,先讨论一个粒子的运动情况,以此推广求大量粒子运动范围。
一个带电粒子在电场中的竖直偏转距离为y。所以粒子可飞出金属板打在荧光屏上。如果射入电场时的点到金属板的距离小于y的粒子是飞不出板的。如图4所示(粒子带负电):
图4
对于大量带电粒子,如图5所示:
图5
从图5得知,我们要求的范围为d=l-y。 (1)
因此应该先求y。我们通过以下公式推出竖直偏转距离:
合并可得3al= 。(2)
把公式(2)代入公式(1)中,可求d。
;
因此这些大量粒子打在屏上的范围为 。
三、结束语
关键词:平抛运动;水平槽;坐标;定位器
中图分类号:G632.0 文献标识码:B 文章编号:1002-7661(2014)02-239-01
人教版全日制普通高中物理教科书(必修)第一册学生分组实验“研究平抛物体运动”在确定轨迹时,是先用眼睛初略确定小球通过的位置,从而得到平抛运动轨迹。在学生分组实验实际操作过程中,学生很难“较准确”地确定小球通过的位置,即采用这种初略的记点描述法误差很大,实验操作也较困难,难以得出较准确的运动轨迹;同时,不利于培养学生严谨、细致的实验品质。
为了提高实验精度,有教师使用J2154平抛运动试验器来做这项实验。通过观察实验,笔者发现J2154平抛运动试验器有以下不足之处:一是实验室水平槽没有参照线,难以调成水平;二是试验器的左边金属杆与轨道末端刚好处在1条垂直线上,造成记录纸无法再向左边伸展,使得纵坐标线刚好为记录纸的左边缘,不变观察;三是竖直面板的坐标刻度线仅在水槽的下方,很难确定小球球心的准确位置。为此,笔者对平抛运动器进行了改装,取得了较好的实验教学效果。
一、改装平抛运动试验器
取下水平槽的2颗紧固螺丝,将水平槽末端高竖直面板的一面锉刀锉去长10~15mm、厚1mm的面,以确保记录纸能插入里面;将水平槽向右移23mm左右使水平槽左边的孔与竖直面板右孔相对应;然后,根据竖直面板左孔的位置在水槽上相对应的地方打1个同样大小的孔,将水平槽按新打的孔安装好,使得在实验时记录纸上的坐标与记录纸的边缘有一定距离。
在竖直面板上贴上1张左边插入水平槽内测、上端与竖直面板顶端相平且竖直线与竖直面板的重垂线相平行的坐标纸,以便于在实验中为安装实验记录坐标纸作参考。
适当放松水平槽的螺丝,微调水平槽的位置使得水平槽的水平边缘与坐标纸的水平坐标线平行;然后,紧固水平槽螺丝,确保在使用时只要调整好重垂线,水平槽的水平端就会处在水平状态。改装好平抛运动试验器。
二、改装后的实验步骤
1、把平抛运动试验器放在水平桌面上,调节底座上的调平螺丝,使垂直线 跟竖直面板直线重合,置水平槽轨道处于水平位置上。
2、用刻度和三角板(或游标卡尺)测出小球的半径。
3、把坐标纸固定在竖直面板上,并使坐标纸上的竖线跟垂直线平行;然后,根据水平槽末端槽底的位置竖直向上加上小球的半径得出小球恰好离开水平槽时,求新投影在竖直面板上的位置(小球做平抛运动的抛出点);以这点为坐标原点向右画1条水平直线为X轴正方向,向下画1条竖直线为Y轴正方向;在坐标纸上放1张复写纸或打字蜡纸,以便实验中小球落在接球挡板时能在坐标上留下印迹点。
4、将定位器定在某一位置并固定好,把接球挡板上移到紧靠水平槽的地方;小球紧靠定位器释放,球沿轨道向下运动,以一定的初速度由轨道的平直部分水平跑出。
5、下落的小球打在向面板倾斜的接球挡板上,同时通过复写纸或打字蜡纸在面板的坐标纸上留下1个印迹点。
6、再将接球挡板向下移一定的距离,重复上述操作方法,打出第2印迹点;用此操作方法继续下移接球挡板进行多次实验,即可得到平抛的小球下落时的一系列迹点。
7、改变定位器的位置,即可改变小球平抛的初速度。按上述实验操作方法,便可打出不同初速度小球平抛的运动迹点。
8、取出记录纸,将各次实验所记录的点分别用平滑曲线连接起来,即可得到以不同的初速度做平抛运动的轨迹图线;然后,通过公式y=1/2gt2和s=vot两个方程式即可求出小球做平抛运动的初速度uo。
三、注意事项
1、在确定坐标原点时,要使坐标原点与平抛小球恰好离开水平槽的抛出点重合,这样才能准确地确定小球平抛运动轨迹的起始点,从而确定轨迹上任意点的坐标。
2、在画小球做平抛运动的轨迹时,一定要根据坐标纸上记录的一系列点用平滑的曲线画出,不要画成折线。
3、在实验过程中,移动接球挡板时要小心细致,不能使平抛运动实验七发生移动,以免平抛运动试验器的水平状态发生改变,影响实验效果。
四、改装后的优点
1、很容易就能确定小球球心的位置,从而准确确定小球做平抛运动的起始点,降低了实验误差,提高了实验精度。
在教科版普通高中课程标准实验教科书物理必修二中对平抛运动的定义是:将物体以一定的初速度沿水平方向抛出,不考虑空气的阻力,物体只在重力作用下所做的运动,叫做平抛运动.平抛运动是一种曲线运动,在分析平抛运动时可以将其分解为水平方向和竖直方向的分运动.水平方向的运动为匀速直线运动,竖直方向的运动为自由落体运动.“研究平抛运动”是高中物理新课标准学生实验中极为重要的探究实验之一.为了研究平抛运动水平与竖直方向的运动情况、描绘平抛运动的轨迹、探究平抛运动的性质,研制了一款新的智能平抛运动演示仪,该演示仪是在传统的平抛仪的基础上,针对其不足而做出的改进.实践表明,该仪器能很好地突破平抛运动教学的重难点,并且操作更简便,效果更明显.
2现有平抛仪的工作原理及存在的不足
图1是常见的平抛运动实验仪―平抛仪,A、B两个轨道用于探究平抛运动在水平方向的分运动,A轨道和C处的电磁铁用于研究平抛运动在竖直方向的分运动.A、B处的两个电磁铁接通电源之后,能分别吸引两个小钢球,断开电源时,两个小球将同时静止释放,滚下相同的高度后分别到达上下两个水平面,上面轨道的小球将被水平抛出,在忽略阻力的情况下,上面轨道被水平抛出的小球将做平抛运动,而下面轨道的小球将在水平方向近似做匀速直线运动.通过对比两个小球每时每刻的运动情况,最后得出平抛运动水平方向的运动为匀速直线运动.但整个实验过程由于所用时间非常短,肉眼便无法看到两个小球每时每刻的运动情况以及所处的位置和所用的时间,所以此平抛仪不利于平抛运动水平方向的研究.
在A轨道边缘处有一个金属片,当A处的小球从某一高度由静止释放,运动至轨道边缘,撞开金属片后水平抛出,同时C处电磁铁断电,小球由静止下落.通过对比两个小球每时每刻的运动情况来判断平抛运动竖直方向的运动为自由落体运动.要成功的得出这一结论,就需要观察两个小球每时每刻所处的位置及运动情况,而此过程所用的时间同样很短,不利于老师和同学们的观察与记录.另外,C处的小球是靠A处的小球运动至轨道边缘撞开金属片后才开始运动的,由于碰撞的动能损失和开关的延迟,造成C处小球下落的时刻和A处小球开始平抛的时刻并不同步,从而使得两个小球不能保持同时从同一高度下落,给实验造成误差.
3智能平抛运动演示仪的设计
在高中物理学习中,平抛运动是学生遇到的第一个曲线运动,是高中物理的主干知识,是历年高考必考内容.对曲线运动的理解一直是一个比较棘手的问题,学生在学习中会遇到很多与自己原有概念相冲突的思维障碍,如何探究平抛运动并对该运动进行分解,才能让复杂的曲线运动转化成简单的直线运动呢? 现有的平抛仪使学生不易理解平抛运动是水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动的合成,为了解决这个问题,我们改进了现有的平抛仪.改进后的平抛运动演示仪是在现有的平抛仪的基础上加了红外线发射管和光束遮断式感应器及显示屏,能精确的测量与记录平抛运动的小球在运动过程中的轨迹和位置坐标;同时在现有的平抛仪的基础上加入计时计数毫秒仪与速度传感器,这样就可以准确的记录小球下落的每一位置对应的时间以及小球被水平抛出的初速度,同时还能测量重力加速度.这些改进有助于学生更好的学习和理解平抛运动,这是现有的平抛仪所不能做到的.
3.1设计的基本思路
智能平抛运动演示仪是在现有的平抛仪的基础上,针对其不足而做出的改进.首先,为了方便测量其下落的高度,在传统的平抛仪上加上厘米坐标板,并且在竖直和水平方向分别每隔0.5 cm加一个红外线发射管.在竖直和水平的对立面分别加上光束遮断式感应器,让红外线在坐标板上形成网格.小球在平抛运动中会经过其坐标并挡住对应的竖直和水平方向的红外线,对应的光束遮断式感应器形成电脉冲信号,经过集成线路内的PLC时刻记录下(显示屏)小球在运动过程中的位置坐标.
其次,为了能时刻观察小球运动过程中每一坐标所对应的时间,在传统的平抛仪上加一个计时计数毫秒仪与速度传感器.这样既能同时观察小球合运动和水平竖直分运动的等时性,又可以避免传统的平抛运动演示仪因观察和计时而存在的误差.
最后,在小球被水平抛出时的位置加上速度传感器,这样就能测出小球在水平方向的速度.同时在竖直方向上测出其高度和时间,就能测出其重力加速度.
3.2工作原理
智能平抛运动演示仪加入了微动开关,如图2,通过观察小球落地的等时性,得出平抛运动是水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动的合成.该仪器的先进性主要在于:运用红外线发射管和光束遮断式感应器科学的测量与记录平抛运动的小球在运动过程中的轨迹和位置坐标,利用红外线定位网格,使位置的测量更准确;利用计时计数毫秒仪和速度传感器可以记录平抛运动的小球在运动过程中所对应的时间,时间精确到ms,记录的时间将更有说服力,可信度更高,利用光电触发,延迟时间小于0.01 s,使结果更加准确;使用速度传感器可以测出平抛运动的小球被水平抛出时的速度;利用坐标版与计时计数毫秒仪可以测重力加速度.
3.3使用方法
(1)水平方向
在探究其水平方向的运动时,如图2,接通电源,闭合开关,接通平抛运动的小球和水平运动的小球的电磁铁(M1和M2)所在的电路.当两个小球被吸引后,断开开关,两个小球将运动相同的高度后分别经过B1和B2两处速度传感器到达上下两个水平面,通过速度传感器可以测出两个小球的速度.上面平抛运动的小球将被水平抛出,下面的小球将继续沿水平方向运动.然后通过光束遮断式感应器的显示屏读出小球在运动过程中竖直和水平坐标,最后通过计时计数毫秒仪读出对应的时间,这样就可以分别测出平抛运动的小球和水平运动的小球在运动过程中任意时刻的水平位置和速度.通过比较,就可得出小球做平抛运动在水平方向的分运动的运动特征.
(2)竖直方向
在探究平抛运动在竖直方向的分解时,如图2,将吸引竖直方向的电磁铁M3所在的电路的开关关闭,此时竖直方向的小球将被电磁铁所吸引,当平抛运动的小球运动至水平位置,经过通过型感应器时,竖直方向的小球即M3处立即接收到感应信号,M3所在的电路断开,小球随之由静止下落,通过光束遮断式感应器的显示屏读出小球在运动过程中竖直和水平坐标,最后通过计时计数毫秒仪读出对应的时间,这样就可以分别测出平抛运动的小球和竖直下落的小球在竖直方向的位置和速度.通过比较就可得出小球做平抛运动在竖直方向的分运动的运动特征.当测出竖直高度和所对应的时间时,还可推测出重力加速度.
改进后的平抛仪通过引入精密测量长度、时间和速度的手段,一方面提高了实验的精度,另一方面让学生更直观的观察到平抛运动可分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动.实验操作简单,现象明显、清晰、准确,能有效地启迪学生理解平抛运动的规律.设计和制作智能平抛运动演示仪,使之成为中学教学重要的演示仪器,对学生在理解和掌握平抛运动的物理过程至关重要.
1巧用 Δs=At2
例1在研究平抛运动的实验中,用一张印有小方格的纸记录轨迹。小方格的边长为L=1.25cm,若小球在平抛运动中先后经过的几个位置如图1所示中的a、b、c、d,则小球做平抛运动的初速度的计算式v0=(用L,g表示),其值为。
2巧用初速度v0=0的匀加速直线运动在连续相等的时间内通过的位移之比为1:3:5:7…
例2在研究物体平抛运动的实验中,某同学记录了A、B、C三点。各点的坐标如图2,则开始平抛的初始位置坐标为。
解析由于平抛运动水平分运动为匀速直线运动,从轨迹上可以看出AB段和BC段对应的水平位移相同,因而所用时间也相同。设时间间隔为t,对应的竖直位移分别为y1和y2,由于y1∶y2=3∶5,所以平抛运动的抛出点不在A点。应在轨迹A点前对应一个时间间隔t的位置。由初速v0=0的匀加速直线运动在连续相等的时间内通过的位移之比为1∶3∶5∶7…,所以抛出点的坐标为x=-10cm,y=-5cm。
3巧用轨迹方程
例3如图3所示,从高为H的A点平抛一物体,其水平射程为2s,在A点正上方高为2H的B点,向同一方向平抛另一物体,其水平射程为s。两物体轨迹在同一竖直平面内且都恰好从同一屏MN的顶端擦过,求屏的高度。
解这个方程组,得y=67H,即为屏的高度。
4巧用对称性
例4在一房间内靠近右墙的A点处,沿水平方向抛出一个小球与左墙B点碰撞,碰撞前后竖直速度不变,水平速度等大反向,最后落在C处,已知A点与C点的高度差为H,则B点与C点的高度差为多少?
解析小球在B点和墙壁碰撞时竖直速度不变,水平速度等大反向,由于水平位移相同,则AB段和BC段对应的时间相同。由对称性可知,BC段可以和BD段等效,则从ABC的运动可以等效为从ABD的运动。由自由落体运动的特点可知,AB段和BC段竖直位移之比为1:3,因此BC段的竖直位移为 34H。
注:本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文