混沌分析范文
时间：2023-10-11 16:56:57
混沌分析篇1
关键词:混沌序列; 离散化; 敏感性; 混沌序列
中图分类号:TP391 文献标识码:A
文章编号:1004-373X(2010)10-0043-03
Comparison and Analysis on Some Chaos Sequence Generators
ZHAO Yu-xia, FAN Jing-bo
(Shangluo University, Shangluo 726000, China)
Abstract:Some chaos sequence generators with better performance is introduced andthe method of binary sequence generated by the chaotic mapping is improved. Some common used chaos sequence generators are compared and analysed. Both Logistic mapping and Hybrid mapping are the better ones. Chaos sequence has the features of feasible generation,sensitivity to initial conditions and complete reappearance.Many image scrambling encryption arithmatics use the chaos sequence based on the above features.
Keywords:chaos sequence; discretization; sensitivity; chaos sequence
随着计算机的广泛应用以及网络通信技术的迅速发展,越来越多的信息都借助计算机网络进行传输,因而数据信息的保密储存与传输就显得十分重要。混沌动力系统对初值依赖的确定性和敏感性[1-5],使得混沌序列作为信息存储或传输中的随机加密成为可能。
1 混沌序列
混沌序列是一种伪随机序列。伪随机的意思表面看起来很随机,但其实是确定的序列。所谓“确定序列”是指:如果知道规则,可以一个不漏地写出以后的全部序列(例如:1,4,9,16,25,36,…)。出于某些目的(例如扩频通信),需要随机序列,但从可操作的角度来说(收发必须要用完全相同的序列),需要做出这样的序列,它“看上去很随机”,但实际上是用不太复杂的规则以确定的方式产生的。这样的序列叫伪随机序列或者伪码。混沌动力系统在一定的控制参数范围内和给定的初始条件下,运动是确定的,但该运动的长期状态对初始条件极为敏感,即使初始状态有非常小的差异也会导致产生不同的混沌序列。
2 几种常用的混沌序列生成器
在图像置乱加密算法中常用的几种混沌序列生成器有Logistic映射、Hybrid映射、Optically bistable(光学双稳)模型和Chebyshev映射。
2.1 Logistic映射
Logistic映射是一种非常简单却被广泛应用的混沌序列生成器。混沌系统表述为:
xk+1=μxk(1-xk)(1)
式中:3.569 946≤μ≤4系统初值,x0∈(0,1),本文取μ=4。这样Logistic映射可以定义在(0,1)上,相应地得到定义在(0,1)上的伪随机序列是{xk,k=0,1,2,…)。对其进行非线性离散化,设{sk,k=0,1,2,…)为由混沌序列{xk,k=0,1,2,…)经离散化得到的0,1序列,sk的值由混沌序列xk和0.5比较而得,当xk
2.2 Hybrid映射
Hybird映射是一种新的混沌序列生成器[2],混沌系统表述为:
xk+1=b(1-μ1x2k),-1
1-μ2xk,0
本文取μ1=1.8,μ2=2.0,b=0.85时,映射处于混沌态。 这样,Hybird映射可以相应地得到定义在(-1,1)上的伪随机序列是{xk,k=0,1,2,…)。对其进行非线性离散化,设{sk,k=0,1,2,…)为由混沌序列{xk,k=0,1,2,…)经离散化得到的0,1序列,sk的值由混沌序列xk和0.5比较,当|xk|
2.3 光学双稳模型
该模型可用一个一维非线性迭代系统来描述:
xk+1 =Asin 2(xk-B)
本文取A=4, B=2.5时,系统处于混沌状态。给定该系统的初值x0,进行迭代运算,相应得到的伪随机序列是{xk,k=0,1,2,…)。对其进行非线性离散化,设{sk,k=0,1,2,…)为由混沌序列{xk,k=0,1,2,…)经离散化得到的0,1序列,sk的值由混沌序列xk与2.5A/3比较而得,当xk>2.5A/3时,sk=1;否则sk=0。
2.4 Chebyshev映射
在此,采用4阶的Chebyshev映射模型,用如下的方程表示:
xk+1=cos(4cos-1xk)
给定该系统的初值x0,进行迭代运算,得到的伪随机序列为{xk,k=0,1,2,…)。对其进行非线性离散化,设{sk,k=0,1,2,…)为由混沌序列{xk,k=0,1,2,…)经离散化得到的0,1序列,sk的值由混沌序列xk和0比较而得,当xk>0时,sk=1;否则sk=0。
3 几种混沌序列生成器的比较分析
3.1 几种混沌序列生成器中实值混沌序列的比较
一个混沌序列的性能,主要看它的随机性和它对初值的敏感程度[2,4-5,8]。随机性指生成的序列没有规律,即生成的散点图越散乱越好;初值的敏感性指即使初值有非常小的差异也会产生不同的混沌序列。
图1 4种混沌序列生成器生成的混沌序列的随机性和初值敏感性
图1为4种混沌序列生成器生成的混沌序列中随机性和初值敏感性的对照。其中,横轴为k的值,纵轴为xk 的值;“+”表示初值为0.7的部分混沌序列;“.”表示初值为0.700 001的部分混沌序列。
由图1可以看出,Logistic映射与Hybird映射生成的混沌序列比较散乱,并且在迭代几次后,初值虽然相差很小(仅有0.000 001),却出现了明显的分叉现象;Optical bistable映射生成的混沌序列出现了扎堆现象;Chebyshev映射生成的混沌序列不是很散乱,而且在经过很多次迭代后才出现分叉现象。显然Logistic映射与Hybird映射生成的混沌序列有很好的随机性和初值敏感性。
3.2 混沌序列生成0,1序列的随机性比较
二值序列的比较主要看其频数检验和序列检验。初值为0.7的计算结果见表1、表2。在频数检验时,保证序列中0和1的个数大致相等,这是二值序列具有随机性的最基本保证,其中n0为0的个数;n1为二值序列中1的个数;n为二值序列的长度。
x21 = (n1 -n0 )2/n2
在序列检验时,对所得二值序列内00,01,10,11(二维均匀性)出现的次数进行统计, 其中 nij,i,j∈{0,1}表示二值序列中“ij”的个数。
x22 = 4n-1∑1i = 0∑1j = 0n2ij -2n∑1i = 0(n2i+ 1)
由表1和表2可以看出,Logistic映射产生的二值序列中频数检验和序列检验的值最小,因此随机性最好。Hybrid映射产生的二值序列中随机性次之,但复杂度较高,因是一种较新的混沌序列生成器,所以密码分析更加困难,它较Logistic映射产生的混沌序列安全。
3.3 两种映射的非线性离散化的改进
上面所提到的非线性离散化方法比较普遍,而且产生的二值序列化成十进制数容易扎堆[5]。
鉴于此,文献[5]中给出了Logistic映射的非线性离散化改进算法,即利用不同的初值生成两个混沌序列{xk},{yk},k=0,1,2,…。sk的值由混沌序列xk和yk比较,当xk
其中,传统算法中混沌序列的初值取0.7, 改进算法中混沌序列的初值分别为0.9和0.8。Logistic1,Hyirid1为改进后生成的序列。
对改进后产生的二值序列进行频数检验和序列检验,其结果甚至优于传统的方法,说明得到的二值序列和二值序列化成整数后的序列具有很好的随机性。改进后使算法更加复杂,但安全性有了进一步的改善。
表1 4种混沌序列二值序列长度为10 000时的随机性
方法0的个数1的个数00的个数01的个数10的个数11的个数频数检验序列检验
Logistic4 9805 0202 4842 4952 4962 5241.6×10-5-0.811 3
Hybrid5 0864 9141 7843 3013 3011 6132.958 4×10-41.029 2×10-3
Optically4 8965 1044 1137827834 3214.326 4×10-44.722 1×10-3
Chebyshev6 5903 4103 1813 4093 40900.101 12.334 6×10-3
表2 4种混沌序列二值序列长度为20 000时的随机性
方法0的个数1的个数00的个数01的个数1 0的个数11的个数频数检验序列检验
Logistic9 99510 0054 9735 0225 0224 9822.5×10-7-0.601
Hybrid10 2019 7993 6466 5556 5543 2444.040 1×10-41.941×10-3
Optically9 59910 4018 0561 5431 5438 8571.608×10-39.590 8×10-3
Chebyshev13 2206 7806 4406 7796 78000.103 74.607×10-3
表3 2种混沌序列改进前后二值序列长度为10 000的随机性
方法0的个数1的个数00的个数01的个数1 0的个数11的个数频数检验序列检验
Logistic4 9805 0202 4842 4952 4962 5241.6×10-5-0.811 3
Logistic15 0254 9752 5292 4952 4952 4802.5×10-5-0.734 0
Hybrid5 0864 9141 7843 3013 3011 6132.958 4×10-41.029 2×10-3
Hybird14 9865 0141 8603 1253 1261 8887.84×10-66.256 4×10-2
表4 2种混沌序列改进前后二值序列长度为20 000的随机性
方法0的个数1的个数00的个数01的个数1 0的个数11的个数频数检验序列检验
Logistic9 99510 0054 9735 0225 0224 9822.5×10-7-0.601
Logistic110 0179 9834 9875 0305 0294 9532.89×10-6-0.234 2
Hybrid10 2019 7993 6466 5556 5543 2444.040 1×10-41.941×10-3
Hybrid19 98710 0133 7466 2416 2413 7711.69×10-61.231 7×10-3
图2 二值序列以8位为单元化成整数后的随机性比较
4 结 语
在此,将几种常用的混沌序列生成器进行了比较分析,其中Logistic映射最简单,具有很强的初值敏感性,产生的序列随机性最好,但正是由于它的形式简单和使用广泛,所以不安全,易于攻击;Hybrid映射产生的序列次之,但Hybrid映射形式较复杂,又是一种新的混沌序列生成器,所以安全性更好。可根据具体情况选择合适的混沌序列生成器,也可以像文中那样对现有算法进行改进,以此来加强算法。混沌序列具有易生成性、对初始条件强敏感性、可完全重现性等特点,用于图象置乱将是一种安全有效的方法。
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混沌分析篇2
【关键词】稳定性；分岔；Lyapunov指数；电路仿真
引言
1963年，Lorenz得到第一个混沌系统——Lorenz系统后，许多新的混沌系统也相继提出并得到了广泛的研究，并且这些系统的吸引子也被实验电路所验证[1-8]. 1999年，陈关荣利用反控制的方法发现了一个与Lorenz系统不同的混沌系统称为chen系统.2002年，吕金虎等发现了lü系统，实现了从Lorenz系统向Chen系统的过渡.2004年，刘崇新等又提出了一个含有非线性平方项的新的三维自治混沌系统 ——Liu系统.文献[9]和[10]提出并实现了两个特殊的吸引子，即多涡旋混沌吸引子和Lyapunov指数恒为常数的吸引子.
本文构造了一个新的混沌系统，通过理论推导和数值仿真对其基本动力学特征进行研究，利用分岔和Lyapunov指数揭示了系统丰富的动力学行为。最后设计了能实现这个系统的混沌吸引子的实验电路，并且进行了实际电路验证。
1、数学模型及动力学特性分析
（1）
其中 为系统状态变量， 为实参数且 。系统（1）中仅含有2个非线性项 和 .可以通过数学证明系统（1）与Lorenz系统族中的任何一个都不具有拓扑等价性，是一个新的混沌系统。
1.1基本性质
（1）对称性
注意到原系统在 的变换下保持不变，所以系统（1）关于 轴是对称的，即若 是系统的解，则 也是系统的解。显然， 轴本身也是系统的一条解轨线。因此，对于 ，轴上所有的解轨线都趋于原点。
（2）吸引子的存在性
系统（1）的向量场散度和Jacobian矩阵分别为
根据Liouville定理，变化率反映为Jacobian矩阵的迹，则
其中 为矩阵 的特征根， 为系统的3个 指数。
由于 ，所以系统（1）是耗散的，且以指数形式 收敛。因此，系统（1）的轨线都会被限制在一个体积为零的集合上，并且动力学行为会被固定在一个吸引子上，故吸引子是存在的。
1.2平衡点稳定性分析
可以计算得到系统（1）的三个平衡点分别为
其中对于后两个实根要求 。
由系统的Jacobian矩阵可得特征方程为
其中 为待定的特征根。
将平衡点 代入特征方程得
（2）
当 时，由Routh-Hurwitz定理知平衡点 是不稳定的。
由于 和 具有对称性，这里只对 进行讨论。将 代入特征方程中有：
可得平衡点 不稳定的参数条件为
（3）
1.3吸引子数值仿真
当参数 时，根据式（3）可求得系统（1）不稳定的参数条件为 ，不妨取参数 ，这时 ，系统（1）是耗散的，三个平衡点分别为
。由式（2）可得平衡点 的特征值分别为
。因此平衡点 是不稳定的。同理可知， 和 也是不稳定的。
2、动力学行为分析
参数 ，系统的分岔情况及Lyapunov指数随着 的增大，系统由不动点进入了一个较长的含有多个周期窗口的混沌区域，在每个周期窗口中都有逆倍周期分差现象，都是周期到混沌的阵发过渡。由Kaplan-Yorke猜想公式确定的系统吸引子的分数维很低这与Lorenz系统比较类似。
3、电路实验
混沌系统的最直接最简单的物理实现是通过电路来完成的，许多混沌系统的动力学行为都是通过电路得到的验证[6].基于电子电路设计原理，设计了混沌系统（1）在 时的电路，电路中的运算放大器型号为TL084CN，乘法器型号为AD633（增益为1），电源电压值为12V。
对电路进行实验，分别在输出端口接入示波器，得Multisim10.0仿真这与其Matlab 数值仿真结果一致.
4、结语
本文构造了一个新的三维自治系统，根据Routh-Hurwitz定理得到了系统不稳定的参数取值范围，通过数值仿真得到了系统的混沌吸引子，并且由系统分岔情况和Lyapunov指数揭示了系统的丰富动力学行为。最后，对该系统的一个混沌吸引子设计了实际电路，进一步验证了吸引子的存在性。
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混沌分析篇3
关键词：纠缠函数；混沌；Hopf分岔；平衡点；Lyapunov 指数
中图分类号：O415.5 文献标识码：A 文章编号：1007-9416（2017）03-0054-04
混沌现象的特征即蝴蝶效应，具有对初值敏感而表现出的不可预测的、类似随机性的运动。自Lorenz [1]在三维自治系统中发现混沌吸引子以来，在过去数十年中，随着科学技术的发展和进步，混沌理论得到了空前发展，尤其在数学、物理及其工程实际应用中得到极大发展，关于混沌的构造和分析方法已经成为最新的研究热点问题[2，4，5，6]。文献 [7]通过构造了一个新的混沌，文献[8，9，10]利用分段技术，发现了一些新的混沌吸引子的存在，文献[11]首次提出纠缠函数的基本概念，并给出构造混沌的基本原理，即使用纠缠函数通过对两个或更多的线性稳定子系统进行纠缠，可产生混沌系统。构造人工混沌在解决噪声污染，提高天气预测的准确度，保持非线性机械系统稳定性等方面有重要意义。
本文使用周期符号函数作为纠缠函数，对两个线性子系统进行纠缠，构造出了一个新的三维混沌系统，通过对系统的耗散性、有界性、平衡点稳定性、Hopf分岔和Lyapunov指数等动力学特性进行了分析，最后通^数值模拟验证理论的结果。
1 系统描述
考虑两个线性子系统，其中一个是二维系统
另一个是一维系统
其中是状态变量，当和，系统（1）和（2）是稳定的，用周期符号函数纠缠以上两个子系统，可得如下三维控制系统：
3 数值仿真
根据引理1和定理2，当，，和时，平衡点是渐进稳定的。
系统（3）的Lyapunov 指数可以通过文献[15]提供的方法计算得到，其中Lyapunov 指数，and如图1所示，时间序列、频谱和Poincaré 截面图分别如图1所示。当和，出现混沌纠缠现象，其三维相图，和二维相图分别如图2所示。 当参数和值不变，作为变量时，系统（3）的动力行为如图3所示。
4 结语
本文将一个周期符号函数作为纠缠函数，利用混沌纠缠的基本原理，对两个稳定子系统进行纠缠，人工构造出一个新三维控制系统，根据混沌系统的分析方法，对新三维控制系统的动力学特性进行了理论分析，结果发现新构造的系统具有混沌的特征，并使用MATLAB软件进行了数值模拟，验证了理论分析的结果。该方法为我们解决工程中混沌问题提出来新的思路。
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混沌分析篇4
关键词：动力学分析;李雅普诺夫指数;数字信号处理;数字序列性能测试
中图分类号：TN401 文献标识码：A 文章编号：2095-1302（2014）12-00-03
0 引 言
混沌和混沌系统是近代非线性科学领域最重要的发现之一。混沌由于其对初值敏感性、类随机性、长期不可预测性等特性被大量应用于军事保密通信和信息安全加密领域，与传统的AES加密和DES加密方法比较，混沌加密具有更高的保密性和安全性。新型混沌系统的研究和应用成为当今学术界的研究热点，Liu混沌系统[1，2]是一个含有平方项的混沌系统，由于其参数个数少及参数范围小影响了混沌序列的随机性和安全性。虽然迄今学术界大量的文献研究新型混沌的构造[3，4]，或者提出改进的混沌系统，但大多数只是研究混沌系统的基本动力学特性，很少文献资料基于应用背景研究如何添加混沌系统的参数个数和扩展混沌系统的参数范围等。本文基于如何添加混沌参数个数并扩展参数范围在Liu混沌系统的基础上进行改进获得一组三维混沌方程，新型混沌方程引入了一个平方项并且添加了三个混沌参数。分析了该系统的基本动力学特性，包括对称性、耗散性和稳定性，并对系统进行了Matlab仿真，给出了仿真结果。 最后利用DSP处理器实现了该混沌系统，并将改进系统的数字序列和Liu混沌系统的数字序列进行了NIST测试，对比测试结果显示改进后的序列更适合应用于加密系统中。
1 新型混沌系统的提出
Liu混沌系统[1]方程如式（1）所示：
（1）
式中（x，y，z）∈R3，当b=25，k=1，c=2.5，h=4，a∈（3.5， 12.5）之间变化，初值取（0.1，0.1，0.1）时，系统处于混沌状态。
为了增加参数，扩展参数范围，获得更好的混沌伪伪随机序列，在Liu系统的基础上做了改进，添加了一个平方项和三个混沌参数，改进后的方程如下：
（2）
式中（x，y，z）∈R3，当a=10，b=25，c=8，d=0.1，k=4，g=0.1，h=2，初值为（0.1，0.1，0.1）时，系统有混沌解，所以系统处于混沌状态。混沌吸引子图及其在相平面的投影如图1～图4所示。
图1 混沌吸引子图 图2 x-y平面吸引子图
图3 y-z平面吸引子图 图4 x-z平面吸引子图
2 Lyapunov指数和分岔图
系统参数对混沌系统状态有非常大的影响，系统平衡点的稳定性随着系统参数的改变而变化。Lyapunov指数是衡量系统动力学特性[5-6]的重要指标，它表征了系统在相空间中相邻轨道见收敛或发散的平均指数率。分岔图能够直观反应系统参数和系统变量的变化规律，因此系统的动力学特性可以通过Lyapunov指数和分插图分析。当固定b=25，c=8，d=0.1，k=4，g=0.1，h=2，初值为（0.1，0.1，0.1）时，Lyapunov指数随系统参数a变化的指数图谱和变量x随参数a变化的分岔图分别如图5、图6所示。
对于三维自治系统，当有一个Lyapunov指数为零，其他为负时系统是周期的;当两个Lyapunov指数为零，其他为负时系统是拟周期的;当有一个Lyapunov指数为正时系统是混沌状态的;当有两个Lyapunov指数为正时系统是超混沌状态的。
图5 参数a李雅普诺夫指数图
由图5可发现，在a∈（8， 10）时，系统的Lyapunov指数有一个为负，一个有时为正有时为零，一个有时为负有时为零，所以该系统在区间（8，10）之间不断的在混沌、周期和拟周期之间切换;在a∈（10， 21）时，系统的Lyapunov指数有两个为负，一个为正，并且存在两个周期窗口。由观察发现Lyapunov指数图和分岔图的变化相对应，所以该系统在区间（10， 21）之间是出于混沌状态的。
图6 x随a变化的分插图
固定参数a=11，c=8，h=2，k=4，d=0.1，g=0.1，初值取为（0.1，0.1，0.1）时，Lyapunov指数随系统参数b变化的指数图谱如图7所示，变量x随参数b变化的分岔图如图8所示，系统参数b在区间（8.4，22.4）变化时，系统不断在混沌状态和拟周期状态之间变化，当b>22.4时，系统是处于混沌状态的。固定参数a=11，b=25，h=2，k=4，d=0.1，g=0.1，初值取为（0.1，0.1，0.1）时，Lyapunov指数随系统参数c变化的指数图谱如图9所示，变量x随参数c变化的分岔图如图10所示，图5、图7和图9中另一条指数图一直是负数，未在图中显示，系统参数c在区间（0，2.3）和（9，11）区间变化时，系统在混沌状态和拟周期状态间变化，当系统参数c∈（2.3，9）时，系统处于混沌状态。
图7 参数b李雅普诺夫指数图
图8 x随b变化的分插图
图9 参数c李雅普诺夫指数图
2 混沌系统数字化实现
要使连续混沌系统能够在数字信号处理器中实现，首先要对连续混沌系统进行离散化。本文采用差商逼近法对连续混沌系统离散化处理，差商逼近法是采用适当的差商逼近导数使连续系统离散化的方法[3]，由定义公式：
（3）
可得：
（4）
式中τ为离散时间间隔，所以将改进后的三维连续混沌方程（2）离散化后表示为：
（5）
图10 x随c变化的分插图
当离散系统中的τ足够小时，连续混沌系统和其离散后的混沌系统序列具有相同的动力学特性。在本论文中取τ=0.008，将式（5）作为循环体进行迭代求解生成混沌实值序列，至此便完成了连续混沌系统的离散化处理。
由于DSP数字信号处理器具有处理速度快、可编程性强，抗干扰性高和易于实现浮点运算等优点，所以本文选用DSP数字信号处理器对混沌系统离散化处理，抽取混沌实值序列每个浮点型数据小数点后第五位，并将其与0x01相与，得到连续混沌系统离散后的二值序列，序列波形图输入示波器得到输出入图11所示。将DSP生成的二值序列经过数模转换得到混沌吸引子相图分别如图12～图14所示。由图可知，DSP生成的混沌信号在相同的系统参数和初值下和Matlab仿真结果相吻合，实现了混沌系统的数字化。
图11 混沌数字序列
图12 x-y平面混沌吸引子
图13 y-z平面混沌吸引子
图14 x-z平面混沌吸引子
4 混沌数字序列性能分析
随机序列性能测试程序包（Statistical Test Suite）是由美国国家技术与标准局开发推出的对随机序列性能测试的软件包，是目前所有随机序列测试工具中最权威的一种。该工具从不同角度检验被测序列在统计特性上相对于理想随机序列的偏离程度。本文采用STS 2.1.1测试软件包对改进系统的数字序列和Liu混沌系统的数字序列进行测试，测试结果如表1所示。
NIST伪随机序列发生器的随机性测试标准共包含15项核心测试，序列测试通过率（PROPORTION）是反应序列测试通过的百分比，是衡量序列性能的重要指标，对比测试结果可知改进后的混沌系统的序列每一项测试通过率都高于Liu混沌系统的序列，表明改进后的序列通过序列测试的百分比更高，性能更优。序列的均匀分布率测试（P-VALUE）中频率测试是测试序列中0和1出现的概率是否和随机序列0和1出现的概率相等，若测试是随机的则0和1是等概率出现的，对比测试结果改进后的序列的0和1出现的概率更随机，分块频率测试（Block Frequency）是测试M-bits块中1出现的概率是否近似等于1/2，由测试结果发现改进后的序列测试值更接近1/2。综上所述改进后的序列随机性[7]更优，更适合应用于加密领域。
5 结 语
本文在Liu系统的基础上提出了一个新型混沌系统方程，利用Matlab分析了系统参数对混沌系统状态的影响，得出了在特定系统参数范围内系统是处于混沌状态的，并且分析了系统的分插图和Lyapunov指数图。然后用DSP利用实现了混沌系统的数字化，其与连续混沌的Matlab仿真结果一致。最后分析了混沌系统产生的数字序列对其进行NIST测试，测试结果表明序列性能良好，改进后的混沌序列更适合应用于混沌加密系统。
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A new chaotic system and its DSP realization
KONG Hua-sheng， WANG Guang-yi
（School of Electronic Information， Hangzhou Dianzi University， Hangzhou 310018， China）
Abstract： Chaotic system is widely used in fields of military secure communication and information security. A new chaotic system based on Liu chaotic system is designed and the basic dynamics characteristics of this system are analyzed， including bifurcation diagram， phase diagram and Lyapunov exponents diagram. On the basis of retaining the advantages of Liu chaotic system， the new system increases the number of parameters and extends the range of parameters. Finally the system was realized by using DSP. The sequences generated by the new system and Liu chaotic system were tested by NIST. The result shows that the performances of the improved digital sequence are better.
混沌分析篇5
作者：梁俊雄 翁书和 陈镜合
【关键词】 混沌理论;，中医现代化
摘要: 简介了混沌理论的基本思想及其基本特性，即混沌（chaos）是在确定性非线性系统中的内在随机行为，可表现出相空间的奇怪吸引子、对初始状态的敏感依赖性、系统的运动性质与参数密切相关等特性。认为混沌理论可解释复杂的生命活动如脑电活动、心脏节律变化、生理系统以及疾病过程的多样性和复杂性;并可利用混沌控制让生命过程向符合人类意愿的方向发展。指出中医的证、中药方剂的配伍和作用以及在辨证的基础上论治都可以用混沌理论得到恰当解释，故运用混沌控制手段使机体向理想状态转化，达到阴阳平衡，有望成为中医药现代化研究的一个新领域。
关键词: 混沌理论; 中医现代化
“混沌”在传统意义上，是指混乱、杂乱无章的状态。但现代混沌学所研究的混沌（chaos），是指在确定性非线性系统中，不需附加任何随机因素出现的类似随机的行为（内在随机性），是一种极为普遍的复杂现象。在物质世界中，混沌现象无处不有。混沌科学是随着现代科学技术的迅速发展而出现的新兴交叉学科，首先起源于气象学。1963年，美国气象学家洛伦兹（Lorenz E N）在数值实验中首先发现在确定性系统中有时会表现出随机行为 ［1］ ，从此揭开了混沌研究的序幕。天气变化就是一种混沌现象，“天有不测风云”，就是指气候系统对初始条件非常敏感，初始条件的极微小差别会导致巨大的天气变化这一混沌运动的基本性质。1975年李天岩（Li T Y）和约克（Yorke J A）给出了混沌的一种数学定义 ［2］ ，即Li-Yorke定义，该定义描述了混沌初始条件的微小差别导致后来的巨大变化。混沌现象的发现使人们逐渐认识到客观事物的运动除了稳定、正常、周期运动外，还存在着一种具有更为普遍意义的形式，即无序的混沌。在确定论和概率论这两套体系的描述之间存在着由此及彼的桥梁。
1 混沌运动的基本特性
混沌是指服从确定性规律但具有随机性的运动，其基本特性表现如下 ［3］ :（1）相空间吸引子的奇怪特性。描述系统运动的方程在平面上都有投影的轨迹，如果这些轨迹被限制在相平面的有限区域内，这样的有限区域被称为运动系统的吸引子。非线性方程的轨迹都有吸引子，简单的吸引子是不动点（稳定定态）和闭曲线（周期运动），而混沌运动的吸引子是奇怪的吸引子，其轨迹不仅有折叠和交叉，而且在某些部位十分密集并形成带，带与带之间有空隙。如果采样点极大，把相空间放大，可以发现带内还有被不同层次的小的空隙隔开的带，其结构与形状与原来的带和空隙相似。因此，混沌运动的奇怪吸引子具有无穷层次的自相似结构，即分形。一个系统当被确定为混沌系统时，就可以对其建立数学模型，定量描述系统的运动规律。
（2）对初始的敏感依赖性。如果系统中存在混沌，则初始条件不同，即使是极小的差别，经过一段时间的运动后，就会出现相差甚远或完全不同的结果。利用混沌系统对初始条件的敏感性，对混沌系统进行微小扰动，可以控制混沌系统使之趋向期望状态。
2 混沌理论在医学中的应用价值
2.1 混沌理论可揭示生命活动的多样性和复杂性 生命活动存在着多样性和复杂性。生物体不是各种生物分子功能的简单叠加，不同的生物分子与组织之间有着复杂的网络关系，生物的许多系统都是复杂的非线性系统，而混沌作为非线性理论中的一个组成部分及其特点，自然而然地被应用到了生物领域，成为研究生物复杂系统规律的新方法和新手段。目前的研究结果说明，许多生物系统中都有混沌现象存在。
脑电的混沌活动特性与大脑的功能状态密切相关。正常状态下脑电混沌活动的关联维数、李雅普诺夫指数、复杂度等混沌指标较高，处于不稳定状态。这种不稳定性使神经系统对外界环境有很强的适应能力。在神经网络中，其适应性与神经网络活动的复杂度、自由度和混沌程度成正相关 ［4］ 。而脑器质病变、精神心理疾病可使脑电混沌活动发生改变，在脑功能受损的病理状态下，混沌指标会降低 ［5］ 。心脏节律变化除有周期性外还具有非线性变化的特点，各种生理因素所致的心率总变化不是各因素作用的简单叠加，故用混沌分析技术可以分析心率非线性变化的特点。Osaka等 ［6］ 发现抑制交感神经活动可以增加关联维数，而抑制副交感神经系统活性可以降低关联维数，从而提出用心率变异的关联维数作为人类自主神经功能的新指标。关联维数也可以反映心率稳定状态，高维暗示系统的复杂结构，提示正常的心率自主控制。用Holter系统研究曾患过室颤的患者、正常人及无室颤的室性心动过速患者的研究表明，心率的低混沌维预示着室颤的危险 ［7］ 。
混沌分析可以解释生理系统的复杂性。一般认为，疾病和衰老都是由于人体的正常周期节律被扰乱。可是对心脏窦性节律的研究发现，正常人即使在静息状态下，R-R间隔仍表现出很大程度的变化，呈现出混沌状态，这种混沌主要是由自主神经系统控制的。疾病状态时R-R间隔趋于整齐即复杂性减小了。同样，随着年龄的增加，这种复杂性亦同样减小。Kaplan等 ［8］ 用混沌分析方法观察了健康老人的心率和血压的复杂性，发现其复杂性相对于年轻人减小，因此与一般直觉相反，当心脏处于年青和健康时期时，心率和血压表现出不规则性和不可预见性，而日益增强的规则行为往往伴随着衰老和疾病，预示着系统复杂性的减小。
混沌分析方法还可应用于研究疾病的流行过程。王琰等 ［9］ 利用混沌动力学相空间重构技术对百日咳逐月发病数进行分析，结果发现百日咳流行是混沌的，经过计划免疫后混沌程度下降，趋向平稳状态。
2.2 混沌理论可用于调整生命活动的过程 长期以来，人们认为混沌是不可控制的。1989年，美 国马里兰大学的物理学家Ott、Grebogi和Yorde3人首先从理论上提出了控制混沌的方法，称为OGY方法 ［10］ 。它的主要思想是，混沌系统的奇怪吸引子中分布着许多不稳定的不动点，按照需要挑选出其中一个点来进行稳定控制。为了实现对这个选定不动点的稳定控制，要选择被控制系统的一个易调节的参数，在系统靠近选定的不动点时，对该参数进行微小的扰动，使系统向该点移动，从而使混沌系统进入所期望的运动。OGY方法的有效性在许多领域被验证，并在理论上和应用上取得了新的进展。例如用OGY控制混沌方法成功地实现了对兔子心律不齐的控制 ［11］ 。以后，各种混沌控制方法都相继报导，混沌控制已成为近年来一个带有挑战性的研究执点，一些混沌控制方法已在生物医学工程领域得到了应用。
混沌系统对初始条件的微小干扰有较大的敏感性，例如著名的“蝴蝶效应”就是典型例子:大气混沌系统初始条件的微小的干扰在迭代过程中被加倍放大，即在巴西蝴蝶扇动翅膀可引起美国上空气流巨大变化（风暴）。混沌控制（controlling chaos）的基本原理是利用混沌系统对初始条件的敏感性来有效地控制系统，在特定的微小扰动下引导混沌系统进入稳定的有序状态或者所期望的混沌状态 ［12］ 。这是近年来一个带有挑战性的研究热点。近年来的研究从各个方面论证了许多生物系统的混沌特性，能否运用混沌控制使生物系统趋向所期望的状态成为当今生物医学研究的难点和热点。由此，人们自然会提出，能否运用混沌控制来解决医学中的疑难问题?例如对心律不齐的控制，以及对癫痫发作时神经元的异常放电的控制等。这些前沿课题的研究，给医学研究带来了全新的方法。
利用混沌系统初始扰动的敏感性，可以在心脏系统偏离正常状态的初期，只用微小的扰动即可控制心脏的混沌状态，使偏离正常状态的心脏系统及时地从有害的无节奏状态回复到正常状态。这给予心脏起搏器的研究一个全新的启示 ［13］ ，是治疗心律失常的前沿科学研究之一。混沌控制也被尝试运用到抑制癫痫发作。Schiff等 ［14］ 用OGY控制方法对神经元不规则放电进行控制。他们监视癫痫病灶的不规则放电，在出现系统的初始条件微小偏离时，及时选定和辩识系统的不稳定不动点，按目标的每一点预测其下一步位置，加入刺激（扰动），从而控制系统，及时使系统接近和达到预先确定的状态，达到治疗癫痫的目的。
3 混沌理论与中医现代化
在传统的中医药领域，混沌分析方法也被进行过有益的尝试。杨国平等 ［15］ 用混沌分析理论来研究穴位与脏腑的相关性。他们将40例胆石症患者和25例正常人的耳廓胆穴、胃穴的穴位电关联维数进行比较，结果表明胆石症患者耳廓胆穴关联维数较正常组显著增高，而两组耳廓胃穴关联维数则无显著性差异，提示穴位电关联维数变化和相应脏腑的机能状态密切相关。 混沌理论为现代科技提供了全新的思维方式和科学方法论，同样地，也会对中医现代化带来有益的启示。例如中医的病因病机学理论:各种病因作用于机体，通过各种病机（也就是动力学过程）引起病变，出现各种证候，根据中医理论可辨证。病因可引起病变，这是确定性过程，但不同的患者可出现不同的证候表现，进而有不同的证，这是随机的。疾病的发病过程可被认为是混沌动力学过程。在中医领域，我们自然也会联想到中医病因病机和辨证系统的混沌运动，以及在辨证基础上的论治，即怎样运用混沌控制的手段使机体向理想状态转化，达到阴阳平衡，这也许是中医现代化研究的一个新领域。
人体有很多穴位，形成了经络系统，可以用多种方法证实这是一个混沌系统。利用混沌系统对初始扰动的敏感性，刺激某些穴位，实行混沌调控，使系统向着期待的方向变化，调节脏腑功能，达到治疗疾病的目的。还有中药方剂往往由多味中药组成，每味中药的成份又非常复杂，它们之间构成了非常复杂的协同关系，显然属于非线性关系。中药方剂的内部关系是确定性系统内随机运动，属于混沌的范畴。疾病的动力学过程是混沌的，中药方剂的作用也是混沌的，这就是用混沌来控制混沌（controlling chaos by chaos）的方法。该方法的基本思想是一个混沌系统的动态特性可以通过耦合另一个混沌系统来控制 ［16］ 。设两个混沌系统分别为A和B，可以表达为:
A（被控制的混沌系数）:x=F（x） （1）B（控制的混沌系数）:y=g（y） （2）两个系统通过参数λ和μ进行线性耦合，即对A和B的负反馈控制分别为:
F 1 （t）=λ［x（t）-y（t）］ （3）
F 2 （t）=μ［y（t）-x（t）］ （4）
λ>0和μ>0是扰动的权重。该方法的特点是 用修正系统的行为对系统进行控制。因此可以设想 利用混沌控制的原理来探讨中药的药理作用。我们可以设想建立中药方剂的药物动力学和药效学数学模型，研究其混沌运动的性质，改变方剂的组成和剂量，观察其参数的改变，与疾病病机数学模型参数进行耦合，以寻找最佳的组方。
混沌控制方法还可以与其他的一些新兴学科结合在一起。我们都知道，根据中医理论，各种病因作用于人体，产生了一系列的病理变化，形成了疾病。这一过程关系错综复杂，形成了非常复杂的网络关系。如何阐明其复杂关系，我们可以考虑运用Petri网理论 ［17］ 。Petri网是由德国的Carl Adam Petri博士提出的研究信息系统及其相互关系的数学模型，它以研究系统的组织结构和动态行为为目标，着眼于系统中可能发生的各种变化以及变化之间的关系，在控制科学和计算机科学上得到广泛的应用。我们可以从网的状态节点和变迁节点着手，探讨疾病内部复杂的依赖、并发和冲突关系，以及中药方剂作为外部事件对其控制等。这些复杂行为都可以和混沌联系在一起。
混沌控制的目标还应该和最优化方法结合在一起。最优化问题可以概括为这样的数学模型，即给定一个集合（可行集，即可能的调控目标）和该集合上定义的目标函数（达到目标所能采取的手段），计算函数在集合上的极值，根据约束条件选择最佳的方案，达到最佳的目标。
混沌和混沌控制的研究，给生物医学中一些疑难病症的预防和治疗带来了一个全新的思路，同样地也给中医现代化研究开辟了新的途径。但是，如何成功有效地应用混沌理论于中医现代化，需要进行高水平、开拓性的研究，尚有许多问题待探讨。
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混沌分析篇6
【关键词】MIMO技术DCSK混沌通信差分混沌键控通信性能分析
基于MIMO技术的DCSK通信方案，主要是一种通过混沌数字调制实现的通信技术与方案，它在数据信号的通信传输过程中，主要是通过将混沌数字调制和分集技术相互结合应用，来对于混沌通信系统通信传输过程中的抗噪声性能进行提高和改善。DCSK通信方案的应用实现，最早源于CSK通信方案的研究提出，该通信技术与方案，是一种通过使用基于混沌序列同步的相干检测方法，进行通信传输的检测应用实现，这种通信系统方案在实际应用中，虽然具有比较好的误码性，但是由于混沌信号的极端敏感性，在实际通信中的应用实现具有很大的困难，适用性比较差。DCSK通信系统在通信应用中，虽然与SCK通信系统相比，有了很大的通信优势与功能特征，但是在进行无线通信环境下的通信传输应用时，这两种通信系统都存在有高斯白噪声干扰问题和现象，对于实际通信应用有很大的局限性。本文主要结合DCSK通信系统的通信传输特征与原理，在与MIMO技术进行结合通信传输应用基础上，来提高DCSK通信的抗噪性能，解决通信应用局限性。
一、DCSK通信系统的通信原理分析
在通信应用中，DCSK通信系统是一种差分混沌键控制的通信应用系统，它是在SCK通信系统通信研究的基础上提出，并经过优化改进应用实现的。DCSK通信系统进行通信应用的原理比较简单，并且在实际通信应用中，具有比较突出的稳健性优势，在实际通信中的研究和应用相对比较广泛，并且逐渐成为通信技术研究领域的研究重点。如图1所示，为DCSK混沌通信系统的通信结构示意图。
如DCSK混沌通信系统的通信结构所示，在进行数据信号的通信传输过程中，通信系统中每发送的一个比特信号，都是通过两个混沌抽样函数进行表示，并且这两个混沌抽样函数中，第一个函数是作为参考信号，而第二个函数是作为承载信息，通过混沌通信系统进行通信传输实现。在DCSK混沌通信系统中，如果进行发送的信号比特为1，那么系统通信过程中，第二个混沌抽样函数就与第一个参考信号函数是相同的；而如果进行发送的信号比特为-1，那么系统通信过程中，第二个混沌抽样函数就与第一个参考信号函数是相反的。根据DCSK混沌通信系统的这一通信规律，系统通信中主要通过在信号接收端，对于参考信号与承载信号通过互相关后判决解调，实现系统的通信传输。通常情况下，对于DCSK混沌通信系统中，进行发送的信号L，其两个函数表示形式如下（1）所示。
应用上述混沌映射序列进行MIMO-DCSK混沌通信系统通信过程中，该序列的混沌映射产生过程比较简单，并且通信应用中相关性比较好，进行通信计算中由于这种改进混沌序列中的均值是零，因此，在进行混沌序列方差以及其他的一些通信计算中也比较简单方便，并且通常在进行MIMO-DCSK混沌通信系统的设计中，多是采用两个发送与两个接收天线的天线系统，进行通信设计实现，通信过程中的空时编码都是使用空时分组码的分集发射编码技术，进行编码设计实现，因此在通信应用中，具有有效抵抗衰落和独立通信信道性能最佳的特征优势。
2.1.2MIMO-DCSK混沌通信系统的设计
进行MIMO-DCSK混沌通信系统的设计实现，主要就是进行该系统中的发射端以及接收端、通信信道的设计。首先，系统发射端的设计中，主要是在对于空时编码的信息比特进行调制的情况下，通过串并转换，由编码器通过每一次编码进行编码符号调制分组，并根据相关编码矩阵通过映射到发射天线中发射出去；而通信信道结构部分的设计，是在发送天线经过衰落信道的增益变化设置，并进行高斯信道白噪声的叠加之后，由接收天线进行接收与判决实现；最后，MIMO-DCSK混沌通信系统的接收端，在进行设计中，主要是对于经过信道的信号以及噪声、干扰信号等，在一起接收实现的情况下，其中接收信号首先通过相关接收器进行接收实现，然后再由STBC解码器对于接收信号进行解码处理，最后实现系统的信号通信传输实现。如下图2所示，为MIMO-DCSK混沌通信系统的设计框架示意图。
2.2基于MIMO技术的DCSK通信的性能分析
为了实现对于MIMO-DCSK混沌通信系统的通信性能的分析，特意采用了仿真实验，通过对于上述提出的MIMO-DCSK混沌通信系统设计方案，进行仿真设计，并在高斯白噪声信道下，利用该通信系统进行信号通信传输，并对于通信性能效果进行分析。在仿真模型建立中，采用的是改进型混沌映射序列作为混沌序列发生器，进行通信应用。如下图3所示，为对于MIMO-DCSK混沌通信系统的通信性能仿真分析对比示意图。
根据该图可知，MIMO-DCSK系统通信的误码性能，与DCSK混沌通信系统的误码性能相比，有很大的改善和提高。
三、结束语
总之，基于MIMO技术的DCSK通信方案，在实际通信应用中，与DCSK混沌通信系统通信相比，在通信误码性能上有很大的改善与提升，具有实际应用价值。
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混沌分析篇7
混沌理论的定义最初由科学家李天岩和YorkeJ从遍历论中的测度理论中综合分析得出。DevaneyR•L从拓扑的角度出发给予了混沌理论新的定义，其定义为：设定C为以数据集合点，t：CC就可以被称为是在C上的混沌表现，那么还可以得出这几点理论，即：t存在对初始数值的铭感依赖性；t是通过拓扑传递得到的；周期点将会在C周围出现稠密状态。从这一点来看说明混沌理论具有这三种要素，即：不可预测性、不可分解性和成分规律性。由于t对初始数值具有一定的依赖性。因此混沌系统是无法测量的；因为存在一定的拓扑传递性，因此不可以被分为两个子系统；但是，在混沌环境下还是存在一定的成分规律性，也将是我们常说的稠密周期性。
2码分多址的概念
码分多址主要包含以下两大技术：
2.1码分技术是最为基础的拓扑技术扩频通信是一种特殊的通信方式，在上个世纪中被广泛用于军用通信系统中，直至八十年代后，扩频通信技术的进一步发展，逐步进入民用通信体系当中，引起了更多技术人员的注意。由于通过分析扩频通信技术能够得到码分多址，从而让扩频通信在民用通信体系中的应用前景更加广阔。
2.2多址技术从通信的本质来看，多址技术和问题其实就是一个滤波问题。在同一个多址系统环境下，很多用户可以同时拥有同一种通信传输媒介，所以，我们必须采用一种信号分离技术或滤波方式来区分不同用户的传输信号。目前，我们常见的信号分离技术主要有以下几种：（1）利用不同传输波形来区分出不同信号的码分多址。（2）利用定向天线矩阵来实现信号区分的空分多址。（3）使用滤波器来实现的频分多址。（4）应用时间段落控制的时分多址。从理论的角度来理解，无论是哪一种信号区分技术，其提供的区分容量都是相同的。但是综合分析蜂窝通信系统中的各项因素，笔者发现码分多址技术能够比其他三种多址技术更加有效。
3基于混沌理论下的收发端保持同步的通信技术
3.1混沌模拟通信混沌模拟通信是一种最早基于混沌理论的通信研究，研究的重点就是讲混沌同步作为技术基础，将小量的通信信号分层叠加在混沌信号层之上，同时在使用一个同步性高的混沌信号调制出需要使用的信号。（1）混沌调制混沌调制科学人员将混沌信号应用于扩频通信的一种方法，起技术的基本思想就是使用一个类似白噪声的宽谱信号去调制所需的信号。（2）参数调制技术参数调制技术又可被称为混动通信技术的开关，其技术思想就是讲一些二进制的信息流通过调制的方式能够出现在混动系统中动力学中的某一参数之上，然后能够在信息接收端能够估算出这些参数，从而调制出正确的信息流。
3.2混沌数字通信通过使用混沌数字编发的系统来对通信信号进行保密处理，这样比连续使用混沌系统更加容易，而且具有高度的保密性，所以，二十一世纪的通信更加趋于数字化发展。（1）码分多址支扩基带通信系统使用混沌序列来代替传统的PN序列就能够成为混沌序列中地址码的扩频多址系统，该项系统的调制、解调和数据序列的检测与PN序列的地址码检测方式基本相同，通常情况下是在发送端进行扩频和载波的调制处理，而在接收端则使用相关检测方式来恢复数据。该项系统的信息同步方式也与传统系统的方法基本相同，主要是在信息传递之前，先周期性的预判信息的同步序列，从而能够便于信息接收端捕获信息和对信息进行跟踪。但是这个系统会涉及到两个问题，即：伪随机编号的调制和处理相关信息，其中前一个问题的核心理念就是要负荷扩频通信要求来进行随机序列排序。（2）基于非线性递归数字滤波器的数字混沌通信将非线性递归数字滤波器通过重组构建成为一个世纪混动系统的理论基础：当一个实际性的离散混沌系统形成时，那么首先出现的问题就是“字长效应”，也将是精度限制。由于混沌映射的参数和状态只能用户表示有限的精度，从而让其在理论上是一个混的系统，但是在实际当中却只是一个有限状态机，并且还会随着数字而不断的增长，增长周期也会随之加快。（3）通过DB同步来实现的数字混动通信高速性和准确性和DB同步系统的主要特点，也是其最大的技术优势。高速性主要是指两个不同初始数值的系统，只要能够进行限步叠送就能够实现完美同步；而准确性则是指两个系统在同步之后，从理论的角度来分析，两个系统的状态应该是完全相同的。科学家Angeli和他的实验小组通过利用DB同步的优势，创建出了一个基于混沌理论的数字混动保密通信方案。该套系统中的混沌映射具有两个完全相同的动力学方程，并且具备充分的DB同步优势。笔者假设需要N步迭代就可以实现系统同步。
4结束语
在码分多址通信系统中应用混动理论还是一个比较前沿的课题，其中还存在很多问题亟待我们去解决，因此，深入研究混沌理论的深层含义是十分有必要的，并且结合码分多址通信系统的特点来进行多角度研究。
混沌分析篇8
关键词：超混沌系统；双曲函数；同步；非线性项
中图分类号：O415 文献标识码：A
由于超混沌系统具有两个或两个以上的正Lyapunov指数，相轨在更多方向上分离呈现更为复杂的动力学特性，使得超混沌系统在混沌保密通信和混沌信息加密等方面具有潜在的应用［1］.目前，超混沌系统的产生与同步技术越来越受到研究者的关注而成为混沌研究的热点.自从Rssler［2］在1979年发现第1个超混沌系统以来，大量的超混沌系统相继提出，如王光义等［3］通过在3阶Lorenz系统中引入一个外加的状态变量构造了一个超混沌系统.刘扬正［4］在三维Lü系统的基础上增加一维状态构建了一个四维超混沌Lü系统.周平等［5］构造了只包含一个非线性项的四维超混沌系统.可以看出在所研究的众多新超混沌系统中，由于非线性项的不同导致了系统呈现出不同的超混沌特性，多数研究的非线性项均为系统的不同状态变量的乘积，对于含有双曲函数非线性项的系统是否会有同样的超混沌现象，其动力学行为特性目前尚未有研究.为此，本文在对这类自治系统研究的基础上，提出了一个新的四维超混沌系统，该系统非线性特征主要依赖于一个非线性二次双曲余弦项和一个非线性二次交叉项.
湖南大学学报(自然科学版)2012年
第8期余 飞等：含有双曲函数非线性项的超混沌系统及其同步
Pecora和Carroll［6］在1990年首次提出了混沌同步的原理，由于混沌同步在物理学、信息科学以及保密通信等领域存在重要的应用价值，几十年以来人们对其进行了广泛深入的研究，并且提出了用以实现混沌同步的多种方法，如主动和被动控制法［7-8］、线性和非线性反馈控制同步法［9-10］、基于观测器控制法［11］、滑模控制法［12］、自适应完全和反相同步方法［13］、Backstepping方法［14］、基于H∞控制器方法［15］和广义函数投影同步方法［16］等.最近，文献［5］提出了一种不删除驱动系统非线性信息的混沌同步方法，并利用严格数学理论证明了该混沌同步方法可行性，但是该方法只适用于2个同结构的超混沌同步，对异结构混沌同步会失效.本文通过对该方法的改进，实现了2个异结构的混沌同步，在同步过程中同样保留了驱动系统的非线性特性，而且通过调整控制参数，可控制同步收敛速度，使得驱动系统和响应系统能够快速精确达到同步.
3 结 论
提出了一个含有双曲函数非线性项的四维超混沌系统，通过对该系统的一些基本动力学特性进行数值模拟和理论分析发现，此超混沌系统在参数变化时具有混沌和超混沌等复杂动力学行为，为应用于保密通信等领域提供了选择.同时本文在文献［5］的基础上，给出了一个不删除驱动系统非线性项的异结构混沌同步方法，并给予了严格数学证明.数值模拟结果与理论分析的一致性表明了该改进的同步方法的有效性和可行性.
参考文献
［1］ SMAOUI N,KAROUMA A,ZRIBI M. Secure communications based on the synchronization of the hyperchaotic Chen and the unified chaotic systems［J］. Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 2011, 16(8): 3279-3293.
［2］ RSSLER O E. An equation for hyperchaos［J］. Physics Letters A, 1979, 71(2/3): 155-157.
［3］ 王光义,郑艳,刘敬彪.一个超混沌Lorenz吸引子及其电路实现［J］.物理学报,2007,56(6):3113-3120.
WANG Guanyi,ZHENG Yan,LIU Jingbiao. A hyperchaotic Lorenz attractor and its circuit implementation［J］. Acta Physica Sinica, 2007, 56(6): 3113-3120. (In Chinese)
［4］ 刘扬正.超混沌Lü系统的电路实现［J］.物理学报,2008,57(3):1439-1443.
LIU Yangzheng. A new hyperchaotic Lü system and its circuit realization［J］. Acta Physica Sinica, 2008, 57(3): 1439-1443. (In Chinese)
［5］ 周平,危丽佳,程雪峰.只有一个非线性项的超混沌系统［J］.物理学报,2009,58(8):5201-5208.
ZHOU Ping,WEI Lijia,CHENG Xuefeng.A hyperchaos system with only one nonlinear term［J］. Acta Physica Sinica, 2009, 58(8): 5201-5208. (In Chinese)