平面直角坐标系习题范文

平面直角坐标系习题篇1

在教学过程中和平时作业及测验试卷批改时，我发现学生在做关于三角形坐标统计图的判断时，有的学生看这种图看得眼花缭乱、找不着头绪、不知如何入手;有的学生判断出图中某点的三个数值之和超过了100%;有的学生判断出图中某点的三个数值之和又小于了100%;这样就找不到正确的答案。为什么会出出这种情况呢？由于地理本应该是理科的学习范围，而且在大学招生中也是只有理科生才能报考地理类专业。但是由于历史的原因，我国一直把地理作为文科考生的高考必考科目，为什么？首先在高中学习阶段，地理科的学习所用知识大多停留在是什么，没有进入深层次的理论性为什么的学习，教学多一些地理事物的识记分析，因而用到理科知识相对较少。其次是由于需要平衡高中生学习任务而将地理科归到文科考生的高考必考科目，是因为如果把地理科目归到理科考生高考必考科目中，哪理科考生除了必考语文、数学、英语科目外还要加考物理、化学、生物、地理科目而任务明显偏重。文科考生则除了必考的语文、数学、英语科目外就只有历史、政治科目了反而会显得文科生偏轻。

从下表不完全统计某县高级中学校文科班占总班级的比重和文科尖子班所占比重都远低于理科班，结合实际从而可以看出总体上讲文科学生在数学方面能力要比理科班学生差些，导致在学习三角形坐标统计图时有很大的难度。

某县高级中学校文科生占比例

年级总

班数文科班文科班

占比重理科班尖子

班数其中文科

尖子班文科尖子

班占比重分科前240

名中文科生

2015级2611（含2

个补习班）42.3%15（含4

个补习班）62个（含1

个补习班）33.3%44

2016级18738.9%114125%46

2017级18738.9%114125%45

从初中二年级开始系统学习平面直角坐标系，大家都熟悉的一种坐标系是直角坐标系即由一个原点和两个坐标轴组成。在直角坐标系中，对于平面上的任意一点，都有唯一的一个有序数对（即点的坐标）与它对应;反过来，对于任意一个有序数对，都有平面上唯一的一点与它对应。一个点在不同的象限或坐标轴上，点的坐标不一样。这点学生容易理解，而且由于接触与学习时间较长，大多学生学习起来都容易掌握。

而仅在高中地理中才出现的三角形坐标统计图常用百分数（%）来表示某项要素与整体的结构比例。三条边分别表示三个不同的要素，三个顶点可以看作是三个原点。坐标中的任一点都有三个相应的数值与之对应。这就让很多学生无从下手，如何解决这个问题呢？我采用思维转换的方法进行讲解，教学效果较理想。

在进行思维转换教学中讲清楚平面直角坐标系，在平面直角坐标系中有四个象限，暂时只考虑第一象限，这样平面直角坐标系就由X轴（轴上数值按箭头所指方向由小到大）、Y轴（轴上数值按箭头所指方向由小到大）和坐标原点O构成（这样从构成要素上就和三角坐标统计图相类似）。

在平面直角坐标系中对于平面内任意一点P，过点P分别向X轴、Y轴作垂线，垂足在X轴、Y轴上的对应点a，b分别叫做点P的横坐标、纵坐标，有序数对（a，b）叫做点P的坐标。现在只要转换下就容易理解了：由于是平面直角坐标系，很明显X轴垂直于Y轴，而P点的横坐标值是通过P点作X轴的垂线与X轴的交点而得到即Pa垂直于X轴，而Y轴也垂直于X轴，因此容易得到Pa平行于Y轴，同理也得到Pb平行于X轴。归纳总结得到在平面直角坐标系中任一点P的坐标，可以过点P分别作Y轴、X轴的平行线，平行线与X轴、Y轴的的交点对应a，b分别叫做点P的横坐标、纵坐标。

平面直角坐标系习题篇2

关键词： 极坐标 参数方程 高考题

坐标系与参数方程的内容一起出现在新课标选修4-4中，因此在高考数学的考查过程中对这一部分内容的考查也多以综合交叉题目的形式出现.本文通过这部分内容在高考中考查的形式，并结合具体的例子，为师生的教和学提供参考.

1.关于极坐标和参数方程的考点

首先，对于极坐标而言，高考对这一部分内容的要求是能用极坐标准确地表示出极坐标系中点的位置，并且区别它与平面直角坐标系中所表示的点的位置和实现两者之间的互化.在与参数方程结合在一起时，要求同学们能用方程表示出极坐标系中所给出的简单图形，通过将此类图形在平面直角坐标系和极坐标系中的方程的比较，理解当平面图形用方程表示时选择适当的坐标系的意义.

其次，关于参数方程方面，我们要理解参数方程和参数的意义，对于直线、圆和圆锥曲线的参数方程要能用适当的参数写出来，对于简单的相关问题要能够用直线的参数方程解决，能理解和运用直线的参数方程和参数的几何意义.

2.高考对这部分内容的考查

通过对近年高考试题的回顾和分析，我们不难发现，近些年高考中对于这部分内容的考要是以解答题的形式出现的，试题难度相对比较简单，得分是比较容易的.在2009年的高考试题中将极坐标、直线与圆的位置关系、不等式思想等结合在一起考查；2010年也对极坐标方面的内容进行了考查，题中设计了直线和圆的位置关系，以及圆在极坐标系中的三种方程问题，并在题中给出的图形条件下求区域的面积.

在极坐标方面从目前新课标历年高考试题中可以看出，高考对这一部分内容的考查主要集中在极坐标系与平面直角坐标系之间的互换、常见曲线在极坐标系中的方程等内容方面，对这方面的考查还是比较简单的.在参数方程这一方面，高考对于此的考查主要集中在参数方程与普通方程之间的互化方面.所以对于后两年高考在这方面的考查，笔者预测在难度和题型方面仍将保持稳定，而且往往会使极坐标和参数方程结合在一起考查的形式，这对于老师授课和学生学习方面都要引起重视.

3.例题剖析

4.极坐标与参数方程的考点中应该注意的问题

在这部分内容中，近些年的高考试题主要考查的是极坐标方程在圆和直线中的应用，以及极坐标与平面直角坐标的互换；在参数方程方面主要考查的是参数方程与普通方程之间的互化，用极坐标方程、参数方程研究有关距离、交点和位置的问题等.

首先，在参数方程方面，我们一定要了解参数方程及其意义，其与普通方程之间的互化是一个重点，在参数方程转化为普通方程的时候，我们常用的方法是代入法、三角恒等式消元法和加减消元法等方法，在使用过程中一定要注意同解变形.在写直线、圆和圆锥曲线参数方程时，学生一定要注意参数方程中参数的几何意义，因为几何意义在参数方程的解题中能为我们带来方便.同学们一定要重视直线参数方程的几何意义.

其次，在极坐标内容方面，我们要注意平面图形在平面直角坐标系伸缩变换的作用下的变化状况，同时还要注意将其与平面直角坐标系中点的位置相区别，并要能实现互化.在使用极坐标与平面直角坐标系互化公式的时候，我们要对它的使用条件予以注意，要符合以下要求：极轴与轴正向重合、极点与原点重合、取相同的单位长度.在解题过程中化繁为简，化难为易是一个原则，在这个原则指导下，当我们面临极坐标的有关试题时就要把他们转化为平面直角坐标系去解题，因为学生对后者相对更熟悉，应用起来更得心应手.如果在做题过程中直接将问题在极坐标系中解决，这时我们就要将其与三角形联系起来，合理利用有关三角形方面的原理和公式.

5.复习与应试建议

第一，由新课标对于极坐标和参数方程的要求来看，这部分的要求内容整体难度不大，学生在复习时一定要遵循适度原则，紧扣大纲要求，不要深挖，打好基础才是关键.复习时对相关基础知识和定理定式一定要认真理解，熟悉掌握.第二，在变量换算上多放精力，减少低级错误的出现.因为变量换算是很多学生普遍反应的难点和弱点，所以教师在教学过程中要注意在这方面给予学生更多的指导，引导学生复习.第三，该种题目类型在解题时往往有多种方法，学生要理清思路，弄清问题的本质要点，梳理清楚解题程序，然后注意参数方程和普通方程之间的互换、直线与圆等要点问题的思考.第四，学生在答题过程中要注意规范，对于很多学生来讲不是不会，而是不注意答题规范，因为高考改卷是流水化的过程，所以每一题老师在阅卷过程中花的时间很多，写得规范清晰有利于老师迅速找出关键要点，这对于老师评分是一个不可忽视的要素.

综上所述，在极坐标和参数方程的学习和教学过程中，学生首先要打好基础，要能准确和熟练地应用基本的原理和公式，只要这样才能保证在公式的运用过程中不犯低级错误.其次，把握解题思想，我们要树立化繁为简、化难为易、相互转化的思想，只有在将题目转化为所熟知的问题，我们解决起来才能得心应手.

参考文献：

[1]师增群.极坐标与参数方程试题研究和应试策略――以2013年高考数学新课标全国卷第23题为例[J].当代教育实践与教学研究，2014（6）：69-71.

[2]沈国根.极坐标与参数方程内容的高考探究[J].中学教研：数学，2011（2）：25-28.

平面直角坐标系习题篇3

关键词：习题课；一题多解；立体几何；线面角

在高中数学的教学过程中，笔者认为要上好习题课，要从有限的例题和习题上下工夫，采取一题多解的形式进行教学。对一道题采用不同的方法、对一类问题的多种解法采用同一道例题，这样不仅节省了时间、减轻了学生的负担、教授了解题技巧，更重要的是通过不同的思路去引导学生讲述各自的解题思路及算法，沟通解与解之间的联系，促进学生思维发展，提高学生的数学思维能力和学习数学的兴趣。

例如：在讲授如何求解线面角的时候，笔者以一道立体几何题为例，从三个方面探究线面角的求法。

例题：四棱锥S-ABCD中，AB∥CD，BCCD，侧面SAB为等边三角形。AB=BC=2，CD=SD=1。（1）证明：SD平面SAB；（2）求AB与平面SBC所成的角的正弦值。

在第二问求解线面角的大小时，可从三个角度进行研究：（1）利用定义寻找线面角的位置直接求解；（2）借助点到平面距离间接求解；（3）建立空间直角坐标系，利用法向量求解。

方法一：利用定义寻找线面角的位置直接求解

（1）一般在斜线L上找一点A，过该点作平面的垂线，斜足O与垂足B的连线OB为斜线在平面内的射影，则射影与斜线所成的角即为该斜线与平面所成的角。

解法1：如图，因为CD∥AB，所以CD与平面SBC所成的角即为AB与平面SBC所成的角。取SC中点M，连结BM，DM。

因为DS=DC，BS=

BC，所以SCDM，SCBM，所以SC平面BDM，所以平面BDM平面SBC，作DNBM，垂足为N，则DN平面SBC，连结CN，则∠DCN即为CD与平面SBC所成的角。

因为SDAB，CD∥AB，SDCD，|SC|=■，|BM|=■，cos∠DBM=■，sin∠DBM=■，DN=■・■=■，sin∠DCN=■=■=■

所以AB与平面SBC所成的角的正弦值为■。

（2）过直线L做平面的垂面，直线L与交线的夹角即为线面角。

解法2：由AB平面SDE知，平面ABCD平面SDE。作SFDE，垂足为F，则SF平面ABCD，作FGBC，垂足为G，连结SG。又FGBC，SFBC，SF∩FG=F，故BC平面SFG，平面SFG平面SBC，

因为FG∥AB，所以FG与平面SBC所成的角α即为AB与平面SBC所成的角。

方法二：借助点到平面距离间接求解

求直线上一点A到平面的距离h，该点与斜足的距离OA，h与OA的比值即为线面角的正弦值，即sinα=■。

解法3：VA-SBC=VS-ABC

VS-ABC=■SABC|SF|=■・■|AB||BC||SF|=■・■・2・2・■=■

如图，设A到平面SBC的距离为h，取SC中点M，连结BM，因为SDAB，CD∥AB，SDCD，|SC|=■，

|BM|=■，VA-SBC=■・■・■・■・h=■h，又■h=■，所以h=■・■=■，即A到平面SBC的距离为■。

又因为AB=2，设AB与平面SBC所成的角为α，则sinα=■=■=■，所以AB与平面SBC所成的角的正弦值为■。

方法三：建立空间直角坐标系，利用法向量求解

建立空间直角坐标系，求平面的法向量，直线与法向量所成角的余弦值即为线面角的正弦值。

解法4：如图，以C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz。D（1，0，0），则A（2，2，0）、B（0，2，0）。

因为平面SDE平面ABCD，CD=1，DF=■，SF=■，所以S（1，■，■）。设平面SBC的法向量■=（x，y，z），■=（1，-■，■），■=（0，2，0），故x-■y+■z=0？圯■=（-■，0，2）2y=0

又■=（-2，0，0），cos■，■=■，故AB与平面SBC所成的角的正弦值为■。

平面直角坐标系习题篇4

“直线的倾斜角和斜率”涉及两个概念——倾斜角和斜率，它们都是反映直线相对于x轴正方向的倾斜程度的，倾斜角是从“形”的角度刻画直线的倾斜程度，而斜率是从“数”的角度刻画直线的倾斜程度。二者联系的桥梁是正切函数值，进一步可以用直线上两点的坐标表示直线的斜率。倾斜角是一个桥梁，利用它可以将两直线的位置关系问题转化为斜率问题，而在建立直线方程、研究直线的几何性质时斜率起着重要的作用。因此，坐标法和斜率是这一小节的核心概念。据此确定“直线的倾斜角和斜率”的教学重难点是：1.使学生经历几何问题代数化的过程，并初步了解解析几何研究问题的基本思想方法，体会坐标法；2.理解斜率的定义，掌握过两点的直线的斜率公式。

利用直角坐标系中不同直线的图形，首先要让学生直观感知确定直线的两个主要几何要素：一个点和一个方向，并以此为基础引出解析几何解决问题的基本方法——坐标法；其次要利用代数方法刻画直线的方向，从而定义直线的倾斜角和斜率；最后推导出两点的直线斜率的计算公式。探索确定直线的几何要素主要意图在于：突出解析几何的几何直观性，让学生在充分把握几何特征的基础上，学习如何利用代数方法刻画几何问题。

直线的倾斜角的描述借助多媒体技术，形成一种图文并茂、声像同步的人机交互的教学环境，让学生能形象生动体会倾斜角的定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，如果把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到与直线重合时所转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角。当直线与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为零，这样，直线倾斜角α的范围是0°≤α

对直线斜率的处理，新《课程标准》所采用的方法与传统的处理方法不同。在这里我们用直线l上两点的垂直增量与水平增量的比来定义斜率，当水平增量为一个单位长时，垂直增量（有方向的量）就是这条直线的斜率。这是新课标的一个特点，而这种定义的方式蕴含了导数、微分的思想。在今后学习三角函数中单位圆上的三角函数线时，学生还可以知道这种定义方式实际上与直线倾斜角的正切线是一致的。而传统的处理方法是借助日常生活中表示倾斜面的“坡度”引出直线斜率的概念的。在具体教学中，笔者将这两种方法一起拿来理解、比较，加深对斜率概念的理解。直线的斜率是内容展开的主线，无论是建立直线的方程，还是研究两条直线的位置关系，以及讨论直线与二次曲线的位置关系，直线的斜率都发挥着重要作用。因此，正确理解斜率概念，熟练掌握斜率公式是学好这一章的关键。

函数是以图助数，利用图形使代数问题直观化。解析几何则是以数助形，用坐标法研究几何问题。它们都体现了数形结合思想，但角度不同。学生知道一次函数的图像是一条直线，这里研究的是直线的方程，学生容易将二者混淆，误认为方程就是一次函数，因此在教学时要注意区分。

对斜率概念的理解是“直线的倾斜角和斜率”教学的难点，学生认为倾斜角就可以刻画直线的方向，而且每一条直线的倾斜角是唯一确定的，而斜率却不是这样，另外，用倾斜角的正切表示斜率对学生来说也有一定困难，教学中通过日常生活的例子，充分利用学生已有的知识（坡度概念），引导学生把这个同样用来刻画倾斜程度的量与倾斜角联系起来。

“直线的倾斜角和斜率”是我们研究的最基础知识，并在学习和研究的程中体会和感受解析几何研究问题的基本方法和思想。但是，如何用代数的方法表示平面中其他简单图形呢？如与x平行或垂直的直线，开口向右或左的抛物线、圆等，则是需要进一步探讨的。

新课程倡导学生自主学习，要求教师成为学生学习的引导者、组织者、合作者和促进者，使教学过程成为师生交流、积极互动、共同发展的过程。“直线的倾斜角和斜率”的教学采用让学生动手实践、自主探究、合作交流及教师启发引导的教学方法，按照“创设情境—学生活动—意义建构—数学理论—数学应用—回顾反思—巩固提高”的程序设计教学过程，并以多媒体手段辅助教学，使学生经历实践、观察、猜想、论证、交流、反思等理性思维的基本过程，切实改进学生的学习方式，使学生真正成为学习的主人，我相信是定会有所收获的。

平面直角坐标系习题篇5

本章将在上章学习了直线与方程的基础上，学习在平面直角坐标系中建立圆的代数方程，运用代数方法研究直线与圆，圆与圆的位置关系，了解空间直角坐标系，在这个过程中进一步体会数形结合的思想，形成用代数方法解决几何问题的能力。

二、教学目标

1、知识目标：使学生掌握圆的标准方程并依据不同条件求得圆的方程。

2、能力目标：(1)使学生初步熟悉圆的标准方程的用途和用法。

(2)体会数形结合思想，形成代数方法处理几何问题能力

(3)培养学生观察、比较、分析、概括的思维能力。

三、重点、难点、疑点及解决办法

1、重点：

圆的标准方程的推导过程和圆的标准方程特点的明确。

2、难点：

圆的方程的应用。

3、解决办法

充分利用课本提供的2个例题，通过例题的解决使学生初步熟悉圆的标准方程的用途和用法。

四、学法

在课前必须先做好充分的预习，让学生带着疑问听课，以提高听课效率。采取学生共同探究问题的学习方法，

五、教法

先让学生带着问题预习课文，对圆的方程有个初步的认识，在教学过程中，主要采用启发性原则，发挥学生的思维能力、空间想象能力。在教学中，还不时补充练习题，以巩固学生对新知识的理解，并紧紧与考试相结合。

六、教学步骤

一、导入新课

首先让学生回顾上一章的直线的方程是怎么样求出的。

二、讲授新课

1、新知识学习

在学生回顾确定直线的要素——两点（或者一点和斜率）确定一条直线的基础上，回顾确定圆的几何要素——圆心位置与半径大小，即圆是这样的一个点的集合

在平面直角坐标系中，圆心可以用坐标表示出来，半径长是圆上任意一点与圆心的距离，根据两点间的距离公式，得到圆上任意一点的坐标满足的关系式。

经过化简，得到圆的标准方程

2、知识巩固

学生口答下面问题

1、求下列各圆的标准方程。

①圆心坐标为（-4，-3）半径长度为6；

②圆心坐标为（2，5）半径长度为3；

2、求下列各圆的圆心坐标和半径。

①

②

3、知识的延伸

根据“曲线与方程”的意义可知，坐标满足方程的点在曲线上，坐标不满足方程的点不在曲线上，为了使学生体验曲线和方程的思想，加深对圆的标准方程的理解，教科书配置了例1。

例1要求首先根据坐标与半径大小写出圆的标准方程，然后给一个点，判断该点与圆的关系，这里体现了坐标法的思想，根据圆的坐标及半径写方程——从几何到代数；根据坐标满足方程来看在不在圆上——从代数到几何。

三、知识的运用

例2给出不在同一直线上的三点，可以画出一个三角形，三角形有唯一的外接圆，因此可以求出他的标准方程。

由于圆的标准方程含有三个参数,,因此必须具备三个独立条件才能确定一个圆。引导学生找出求三个参数的方法，让学生初步体验用“待定系数法”求曲线方程这一数学方法的使用过程

四、小结

一、知识概括

1、圆心为，半径长度为的圆的标准方程为

2、判断给出一个点，这个点与圆什么关系。

3、怎样建立一个坐标系，然后求出圆的标准方程。

二、思想方法

（1）建立平面直角坐标系，将曲线用方程来表示，然后用方程来研究曲线的性质，这是解析几何研究平面图形的基本思路，本节课的学习对于研究其他圆锥曲线有示范作用。

（2）曲线与方程之间对立与统一的关系正是“对立统一”的哲学观点在教学中的体现。

平面直角坐标系习题篇6

关键词：几何画板；平面直角坐标系；数学问题

一、问题的提出

在北师大版八年级数学课本“平面直角坐标系”一节的习题中，曾经出现过这样一道题：传说中藏宝人生前利用平面直角坐标系画了一幅藏宝图。现今的寻宝人没有原来的地图，但知道在这图上有两块大石头A、B，坐标是（2，1）、（8，2），而藏宝地的坐标是（6，6），试设法在地图上找到藏宝地点。

在不知道平面直角坐标系（以下简称为坐标系）的前提下，已知两点坐标要想确定第三点坐标，必须找到坐标系的坐标原点、单位长度（即单位“1”）和坐标轴的方向。然而在这道问题中，A、B两点的距离经过计算是无法通过常规的方法确定其坐标系的单位“1”的长度，从而使解决这道题陷入了瓶颈。

那么如何才能在没有坐标系的情况下，通过已知的一个无理数的长度确定单位“1”的大小呢？这里我们可以通过几何画板这个软件的辅助来实现。

二、问题的解决

（一）问题分析

问题的解决需要找到：坐标原点、单位长度（即单位“1”）和坐标轴的方向，其中最关键的是确定单位“1”的长度。因为A、B两点的距离是个无理数，因此无法准确地画出单位“1”的长度。因此这里不妨利用几何画板这一动态工具来解决：以线段AB为直径作圆，在圆上任取一点P构造直角三角形ABP，使AB成为直角三角形的斜边，因此斜边长即为通过调整P点在圆上的位置使两直角边的比为6：1，那么比例为1份的那条直角边即为单位“1”的长度，解决了由于常规方法很难准确地度量出两条线段的精确比值，因而找不到单位“1”的问题。

（二）具体制作步骤

1.在几何画板中任意画两个点，标注坐标分别为A（2，1）、B（8，2）。（先假设左边点（2，1）为A，右边点（8，2）为B）

■

2.连接A、B两点，取线段AB的中点为O，并以O为圆心，BO为半径作圆，如图1。

3.在圆O上任选一点P（假设P点靠近B点，并在B点下方），连接PA、PB。（此时PA、PB一定是直角三角形的两条直角边）

4.度量PA、PB的长度，并计算出PA/PB的比值。（注意：始终使长边比短边）

5.如图2，调整P点的位置，使其比值恰好等于6，这时PB的长度即为单位长度。

■

图2

6.如图3过A点作PA的垂线a，并以A为圆心、PB长为半径画圆，此圆与直线a的交点为M，再过点M作直线a垂线，此直线即为x轴，并且取向右方向为正方向。

■

图3

7.如图4，以M点为圆心，2MA长为半径画圆，此圆与x轴的交点即为坐标原点。（2MA长的确定方法：以A点为圆心，MA长为半径作圆，不妨设线段MA所在的直线与圆的另一个交点为Q，则MQ长就是2MA长，也就是所作圆的直径。）

8.如图4，过原点作x轴的垂线，那么此垂线即为y轴，取向上方向为正方向。到此原点、单位长度和坐标轴都确定了，找到藏宝地（6，6）点就不是问题了。

■

图4

（三）关于P点存在数量问题的讨论

在前面的做法中我们假设P点靠近B点，并在B点下方，那么在B点的上方和A点的上方、下方能否找到同样符合PA/PB的比值为6的P点呢？答案是肯定的。这样P点的位置除了上面已讨论的情况外，还有三种可能的情况，下面分别讨论这三种情况是否能满足已知条件，从而确定P点存在的数量。

1.情况一

我们把在B点上方找到的点设为，那么根据之前叙述的具体操作步骤，我们找到了单位“1”并做出了坐标系，但令人费解的是A、B两点同时位于坐标系的第二象限，坐标应为负数，这与已知A、B两点的坐标都为正数相矛盾；此外，按照坐标系的性质越往正方向坐标的数值应该越大，A、B两点的位置与它们已知的坐标相矛盾，因此这种情况点是不存在的。

■

2.情况二

我们把在A点上方找到的点设为，同理根据之前叙述的具体操作步骤，我们找到了单位“1”并做出了坐标系，通过作图和观察我们发现，这种情况符合坐标系的性质以及坐标数值的大小规律。

但有一点需要注意：此时A、B两点的坐标需要对调，使B点坐标为（2，1）、A点坐标为（8，2），这样才能够成立。也就是说藏宝图中没有确定A、B某一个点的坐标就是（2，1），而不可能是（8，2）时，这种情况也成立。但如果藏宝图中表明了地理方位、方向指示以及确定点的坐标表示，那么这种情况就与第一种情形取其中一种，具体哪种还要看地图中（8，2）点在（2，1）点的右边还是左边了。

■

3.情况三

我们把在A点下方找到的点设为，通过作图和观察发现，此种情况与情况一类似，只是方向不同而已，因此不存在的理由也是相同的，具体作图方法和分析过程同上，此处不再赘述。

■

事实上我们按照上面的方法作出的四个点中只有P、符合条件，也就是说在找到坐标轴后，两点的坐标符合其在坐标轴上的坐标位置，因此满足条件的P点只有两个，也可能是一个。

三、评价与总结

通过对北师大版八年级课本有关平面直角坐标系的一道“藏宝图”问题的分析和探索，我们看到此题是一道能让学生充分体会平面直角坐标系中坐标原点、单位“1”和坐标轴方向的重要性的题目，对认识平面直角坐标系以及利用其性质去解决问题有很大的帮助。这道题之所以后来被删掉，关键是由于已知两点之间的距离是个无理数，无法通过简单常规的测量方法找到单位“1”。然而利用几何画板这一有力的工具，使这道不易解决的问题迎刃而解。

《义务教育数学课程标准（2011版）》指出：“把现代信息技术作为学生学习数学和解决问题的有力工具，有效地改进教与学的方式，是学生乐意并有可能投入到现实的、探索性的数学活动中去。”如果教师在数学教学中善于发挥几何画板形象化、动态化的优势，就可以像解决这个“藏宝图”问题一样，为学生创造人机交互、及时反馈的学习环境，从而改善教与学的方式，充分调动学生学习的积极性和主动性，启发、引导学生通过观察、实验、探究、猜想、验证、推理与交流等多种方式进行数学活动，积累多样化的数学活动经验，创造性地解决在学生看来难以解决的问题。

[参 考 文 献]

[1]瞿绍军，刘宏，刘先锋.让《几何画板》生动起来[J].中小学信息技术教育，2005（07）.

[2]杨超杰.浅谈“几何画板”及其在初中数学教学中的运用[J].中学生数理化（教与学），2009（03）.

平面直角坐标系习题篇7

1 题目与参考答案

如图，四棱锥 中， ∥ ， ，侧面 为等边三角形. ， .

（Ⅰ）证明： 平面

（Ⅱ）求 与平面 所成的角的大小.

解法一：（Ⅰ）取 中点 ，连接 ，则四边形 为矩形， .连接 ，则 .

又 ，故 ，所以 为直角.由 ，得 平面 ，所以 .

与两条相交直线 、 都垂直，所以 平面 （Ⅱ）由 平面 知，平面 平面 .

作 ，垂足为 ，则 平面 ， .

作 ，垂足为 ，则 .

连接 ，则 .又 ，故 平面 ，平面 平面 作 ，垂足为 ，则 平面 . ，即 到平面 的距离为 .

设 与平面 所成角为 ，则 解法二：以 为坐标原点，射线 为 轴正半轴，建立如图2所示的空间直角坐标系 设 ，则 .

针对解题目标，寻求合理的解题思路和方法，是完成解答题需要把握的重要环节。此题可以从几何法和向量法两个方面来识别题目的重要条件和结论，充分认识到此题是以四棱柱为载体，包含了若干图形的几何特征与数式特征的关系，然后用度量关系和位置关系稳妥地多角度分析问题，确定解题的思路和方法，此题具有很好的导向、引领作用。

解法三：（Ⅰ）如图3，连接 .

评注：几何法证第（Ⅰ）问的关键是：判断 、 及 为直角三角形，而确定它们为 的关键是勾股定理，其实质用度量关系确定位置关系.即由① 平面 、② 、③ 、④ 、⑤ ≌ ≌ 、⑧余弦定理 中的任何两个条件容易推知 垂直于平面 内的两条相交直线，亦即欲证线面垂直，需证线线垂直的结论纷至沓来，因此本题思路开阔，方法灵活多样，可以从不同角度切入，考查学生空间想象能力，及能否选择有效方法的应对能力。

几何法证第（Ⅱ）问的难点是，在直线 上找一点，过该点作垂直于平面 的垂线段非常困难，故可采取“求而不作”的策略，意想中构造一个有含线面角的直角三角形，利用直角三角形中的三角函数的定义求解即可。

另外由于 ∥ ，所以 与平面 所成角就是 与平面 所成的角.由此，还可以这样求

3.向量法解答，建系异彩纷呈

此题用向量法来求解，图形简单，思路清晰，即解法单一化，模式固定化，计算公式化、操作程序化。可以从不同的角度来识别题目的重要条件和结论，如取 中点 ，连接 ，则四边形 为矩形，且 为直角三角形，这样选择两条相互垂直的直线分别为横轴、纵轴建立空间直角坐标系。审题时充分认识到这些关系，建立正确的空间直角坐标系，此题确定点 的坐标是关键.

解法四：以 为坐标原点，射线 为 轴正半轴，建立如图4所示的空间直角坐标系 则 又设 ，则 （Ⅰ） 由 得 ，故 .

解法五：以 为坐标原点，射线 ( 分别为点 在面 和线段 上的射影)为 轴正半轴，建立如图5示的空间直角坐标系 则取 中点 ，连接 ，则四边形 为矩形， .连接 ，则 .

又 ，故 ，所以 为直角.

又由 平面 知，平面 平面 .

作 ，垂足为 ，则 平面 ，由等面积关系得 . （Ⅰ） 且 ，又 ，所以 平面

（Ⅱ）设平面 的法向量 ，则 解之得 ，令 ，则有 ，故 与平面 所成角为 评注：向量法证题的关键是：建立正确的空间直角坐标系，确定点 的坐标.根据常见空间直角坐标系选取，又有如下解法：解法六 以 为坐标原点，射线 为 轴正半轴，建立如图6示的空间直角坐标系 则 （下同解法四，此处略）解法七 取 的中点为 ，易知 .以 为坐标原点，射线 为 轴正半轴，建立如图7所示的空间直角坐标系 （下同解法四，此处略）解法八 取取 的中点为 ，易知 .

， .以 为坐标原点，分别以平行于 的射线、射线 、 为 、 、 的正半轴，建立如图8所示的空间直角坐标系

解法九：取 的中点为 ,分别以 所在射线为 的正半轴，建立如图9空间直角坐标系 .

.此时点 的坐标为 （下同解法四，此处略）

4、存在的问题

4.1 建系不当，满盘皆输

尽管掌握了向量法求解的方法，但由于没有找准共点两两垂直的三条射线，因而在建立空间直角坐标系时出现错误，引发连环错误。此题的证明无论如何都与点 的坐标息息相关，可谓一夫当关，万夫莫开。如果按下图方法建立空间直角坐标系，并将点 坐标表示为 、 、 ，那将满盘皆输。因为直线 、 并不垂直平面 .

4.2、概念不清，推理不严

如将 与平面 所成角为表示为 ，这是由于对 的关系不清，进而对公式 理解不透所致.又如计算得出 后，就断言由以上数据可得： ，严重缺少 这一步，即逆用勾股定理判断垂直这一关系.又如推得 ， 后，直接得出 平面 ，缺少 这一条件. 功亏一篑，令人惋惜.

4.3、计算不正确，判断失误

取 的中点为 （或过点 作 ，或过 作 ）后，错误地判断四边形 为正方形，进而有 的错误，有的错误地计算出 ，由于 ，所以同理得出 ，进而 平面 ，当然这也是向量法证题时，选择射线 为 轴的理由.

4.4 表述不规范 ，书写错误

不少学生对空间角（或距离）遵循“找（证）、说、算”几个环节交代不清，表达不规范、不严谨，因果关系不充分，图形中各元素理解错误，符号语言不会用，看图表述与依文画图相互脱节等。如 平面 ， 平面 ； 等.

平面直角坐标系习题篇8

关键词：平面向量；数形结合；向量法；教学体会

        现行高中第五章"平面向量"是高中数学新增内容之一。 该内容的引入既丰富了高中数学的内容，又体现了向量作为数学工具的重要性。通过利用向量去解决一些实际问题，深化了数学知识间的关联性和系统性，为更好地学好高中数学奠定了良好的基础。向量的基础知识较多，且与其他很多部分知识都有联系，如向量与函数的联系、向量与三角函数的联系、向量与立体几何的联系、向量与解析几何的联系等。因此，有必要加强对向量这一章节的进一步研究和总结。

一、从运算的角度来讲，向量可分为三种运算

（一）、几何运算

本章教材给出了三角形法则，平行四边形法则，多边形法则。利用这些法则，可以很好地解决向量中的几何运算问题，从中去体会数形结合的数学思想。

（二）、代数运算

1、加法、减法的运算法则；2、实数与向量乘法法则；3、向量数量积运算法则。

（三）、坐标运算

在直角坐标系中，向量的坐标运算有加、减、数乘运算、数量积运算。通过向量的坐标运算将向量的几何运算与代数运算有机结合起来，充分体现了解析几何的思想，让学生初步利用"解析法"来解决实际问题，也为以后学习解析几何及立体几何相关知识打下了基础，作好了铺垫。

二、教学内容 、要求、重点与难点

（一）、本章教学内容可分成两块：第一向量及其运算，第二解斜三角形。

1、 平面向量基本知识，向量运算。具体教学内容有: 向量(5.1节)、向量的加法与减法(5.2节)、实数与向量的积(5.3节)、平面向量的数量积及运算律(5.6节)。

2、 平面向量的坐标运算, 联结几何运算与数量运算的桥梁。具体教学内容体有: 平面向量的坐标运算(5.4节), 向量加减运算、实数与向量的积运算、平面向量的数量积的坐标表示(5.4节、5.7节)。

3、 平面向量的应用, 具体教学内容有:线段的定比分点(5.5节)，平移(5.8节)，正弦定理, 余弦定理(5.9节)，解斜三角形应用举例(5.10节)，实习作业。 

（二）、教学要求：

1、理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念。

2、掌握向量的加法和减法。

3、掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件。

4、了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算。

5、掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件。

6、掌握平面两点间的距离公式以及线段的定比分点和中点坐标公式，并能熟练运用；掌握平移公式。

7、掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形。

8、通过解三角形的应用的教学，继续提高运用所学知识解决实际问题的能力。

（三）、教学重点

向量的几何表示，向量的加、减运算及实数与向量的积的运算，平面向量的数量积，向量的坐标运算，向量垂直的条件，平面两点间的距离公式及线段的定比分点和中点坐标公式，平移公式，正、余弦定理。

（四）、教学难点

向量的概念，向量运算法则及几何意义的理解和应用，解斜三角形等。

三、本章的特点 

教材编排的特点决定了在教学中处理本章时，有别于其它章节。

1、教材在本章处理上，充分体现了数形结合的思想。 首先教材通过求小船由a地到b地的位移来引入向量，根据学生思维特点，由具体到抽象，以平面几何知识为背景。在概念、法则及例题的编辑上都尽量配了图形，并安排了较多的作图练习、看图练习及作图验证练习等，为学生积极参与教学活动提供了条件，为发挥学生学习的主体作用提供了条件，这样既抓住了平面向量的特点，又使学生通过操作性练习达到对新概念的理解。其次，本章各节的例题、练习、习题等配备量适中，可以使教学有较充分的自主空间，为教学提供了师生互动的空间，为学生提供了探究、发现与归纳的机会, 也为教师根据教学目标，对教材进行再加工提供了可能。

2、利用"向量法"解决实际问题是本章的显著特点之一。向量与几何之间存在着密切联系；向量又有加、减、数乘积及数量积等运算，也有平面向量的坐标运算，因而向量具有几何和代数的双重属性，能联系几何与代数，从而给了我们一种新的数学方法——向量法； 向量法能将技巧性解题化成算法性解题，正、余弦定理的推导就采用了向量法，为以后学习解析几何与立体几何打下了基础。 

4、强化数学能力是本章的另一显著特点。由于本章的向量法的精髓就是将技巧性解题思路化成算法性解题思路；利用所学知识解决实际问题的能力作为本章的重要教学要求；为了更好地培养学生应用数学知识解决实际问题的能力和实际操作能力， 教材还安排了"实习作业", 通过实际测量, 使学生能运用正、余弦定理来解决实际问题，既体现了数学的工具作用和应用性，又从另一个方面促进了学生对知识的理解与掌握。 以此来强化学生根据法则、公式进行正确运算、变形和数据处理；能根据问题的条件和目标，寻找与设计合理、简捷的运算途径；能根据要求对数据进行估计和近似计算，即运算能力。以此来强化学生能综合应用所学数学知识、思想和方法解决问题，能理解对问题陈述的材料，并对所提供的信息资料进行归纳、整理和分类，将实际问题抽象为数学问题，建立数学模型；能应用相关的数学方法解决问题并加以验证，并能用数学语言正确地表述和说明，即实践能力。

四、教学体会 

依据教学内容、要求及本章的特点，根据学生认知水平和近几年的教学实践，对"平面向量"教学有如下的教学体会：

1、认真研究《考试大纲》及教学要求和目标，分析本章节特点，根据学生原有知识结构对学习本章可能会产生的正负迁移作用，有针对性地设计教学计划，组织教学过程，做好学法指导。

2、在教学中重基础知识，重基本方法，重基本技能，重教材，重应用，重工具作用，不拔高，不选偏题和难题，遵循学生认知规律和按大纲要求进行。

3、抓住向量的数形结合和具有几何与代数的双重属性的特点，提高"向量法"的运用能力，充分发挥工具作用。在教学中引导学生理解向量怎样用有向线段来表示，掌握向量的三种运算，理解向量运算和实数运算的联系和区别，强化本章基础。

4、利用解三角形的应用问题，结合教学过程进行数学建模的训练，要引导学生识记、区分和理解正、余弦定理的应用范围，会对公式进行变形；在运用公式解三角形时，会分类讨论三角形类型；指导学生在解三角形时掌握正、余弦定

理的选用与寻找合理、简捷的运算途径的关系，总结出解与三角形有关的应用问题

5、强化数形结合的思想，化归的思想，分类与讨论的思想，方程的思想等；加强学生运算能力的培养和提高。引导学生理解本章平移知识与函数图像平移的联系和区别；理解解三角形与三角函数的联系；注意区分两向量的夹角与直线的夹角概念。

【参考文献】

［1］人民教育出版社，人民教育出版社中学数学室编著，全日制普通高级中学教科书（必修）《数学》第一册（下）