时间：2023-11-18 19:03:37
关键词 函数图像 自对称 互对称
中图分类号：O173.1 文献标识码：A
对称的概念来源于生活。对称，就其字面的意义来说，是相对而又相称。其本质是在变化中保持不变，即“变中有不变”，主要包括轴对称和中心对称两个方面。轴对称指的是函数图像关于一根轴对称，如概率论中的正态分布N（%e，%l2）曲线，就是一条优美的关于轴=%e对称的轴对称曲线，俗称钟形曲线。许多互不相干的自然现象或社会现象，它们的统计规律却服从统一的分布——正态分布，中心对称指的是函数的图像关于一个中心点对称，如奇函数=的图像。在中学数学和大学数学中，我们已经学习过函数关于中心对称的一些性质知道，在此基础上，本文将引伸出关于函数图像对称性的更加深入细致的探讨。
1 函数图像中心自对称性
定义1.1 设A（，）是平面上给定的点.若点（，）与（，）的坐标满足：，则称点（，）与点（，）关于点A（，）成中心对称。由定义可得下述点（，）关于点A（，）中心对称的对称点（，）坐标公式为： =2a- =2b-
特款：平面上的任何点（，）关于原点（0，0）的中心对称点是（-，-）
定义1.2（函数图像中心自对称性）给定函数=（）（∈D）称G（）={（，）|=（），（∈D}
为函数（）的图像。A（，）是平面上给定的点，如果G（）中的任何点关于的中心对称点（，）也在G（）中，那么称函数的图像关于点成中心自对称。
特款：奇函数（）的图像关于（0，0）中心自对称。
例1.1 设一次函数=+的图像为直线，试求与关于原点（0，0）对称的直线的函数解析式.
解 设（，）是直线上的任意点，则（，）关于原点（0，0）的对称点（-，-）在上，因而有-=（-）+，即的函数解析式为=-。
定理1.1（中心自对称特征）设，∈下述命相互等价：
（1）函数=（）的图象关于点A（）中心对称；
（2）=（+a）-c是奇函数；
（3）对于任何∈有（+）+（-）=2；
（4）对于任何∈有（）+（2-）=2。
证 作坐标平移= =。
令=（+）-，在新坐标系下，=（）化成（+）-=。
从定义我们可直接推得：
=（）的图象关于点A（）中心对称
=的图象关于原点对称
=是奇函数
+=0
（+）+（-）=2
（）+（2-）=2。
2 函数图像中心互对称性
定义2.1 给定函数=（）（∈）与=（）（∈），A（）是平面上给定的点。如果函数（）的图像上G（）的任何点（，）关于A（）的中心对称点（，）都在函数（）的图像G（）上，反之亦然，那么称函数（）的图像与函数（）的图像关于点A（）中心互对称。
定理2.1（中心互对称判别准则）设=（）（∈），（∈）。下述命题成立：
（1）函数=（）的图象与=2-（2-）的图象关于A（）中心对称；
（2）函数=（+）的图象与函数=2-（-）的图象关于A（）中心对称。
特款：函数=（）的图像与函数=-（）的图像关于点（0，0）中心对称。
证 易见函数=（）的图象与=-（）的图象关于原点中心对称。
作坐标平移.令（）=（+）-，在新坐标系下=（）化成=（+）-=（），而=2-（2-）化成=-（-+）=-[-（-+）-]=-（-）。于是，在新坐标系下，=（）与=-（-）的图象关于原点中心对称，因此（1）成立。同理（2）成立。
3 应用
在这部分，我们将得到三种特殊函数：三次函数[5]、分式线性函数和分式对数函数的对称中心。
例3.1证明三次函数（）=3+2++的图像有对称中心[， （）]。
证 =3+为奇函数，因而有对称中心A（0，0），通过坐标平移可知，函数 =（）3+（）+有对称中心A（，）。比较3+2++=（）3+（）+=3+32+（32+）+3++的两边可得=，=（），=--3=+（）+（）2+（）3= （）。因此函数（）图象有对称中心[， （）]。
例3.2 证明分式线性函数（≠0）的图像有对称中心。
证：函数的图像有对称中心（0，0），由坐标平移可得函数的图像有对称中心（，），因而函数=·=+·的图像有对称中心。
例3.3 证明分式对数函数（其中≠）的图像有对称中心为[-（+），||]。
一、中心对称图形定义：
在平面内，如果一个图形绕某个点旋转180°后，所得到的图形和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心。
二、中心对称图形性质：
1、对称中心平分中心对称图形内通过该点的任意线段且使中心对称图形的面积被平分。
2、成中心对称的两个图形全等。
3、中心对称图形上每一对对称点所连成的线段都被对称中心平分。
关键词：最值和；图像；中心对称
作者简介：阳汉军 （1972-），男，四川资阳人，本科，中学高级教师，主要从事高中数学教学研究.
一、题目
已知函数f（x）=22x+1-5x的最大值为M，最小值为N，则M+N=（ ）.
A.2 B.3 C.4 D.0
关于这个问题，如果直接去求最大值和最小值来解决显然繁琐，其实，如果我们能从另外一个角度来认识该问题，则对这一类问题都能迎刃而解.
二、解析
解析1 f（x）=22x+1-5x，f（-x）=22-x+1+5x.
f（x）+f（-x）=（22x+1-5x）+（22-x+1+5x）=22x+1+22-x+1=22x+1+2・2x2x+1=2（2x+1）2x+1=2.
即f（x）+f（-x）=2.
[f（x）-1]+[f（-x）-1]=0.
令g（x）=f（x）-1，则g（x）+g（-x）=0，
g（x）=f（x）-1为奇函数，由题意得
g（x）max=M-1，
g（x）min=N-1.
因为奇函数的图像关于原点对称，故g（x）max+g（x）min=0，（M-1）+（N-1）=0，M+N=2，选择A.
评注 本题利用了奇函数的图像关于原点对称，最大值与最小值互为相反数，从而最大值与最小值的和为零.
解析2 由解析1中f（x）+f（-x）=2知f（x）的图像关于点（0，1）对称，M+N2=1，即M+N=2.
评注 因g（x）=f（x-1）的图像关于原点对称，所以f（x）=g（x）+1的图像关于点（0，1）对称.
三、引申
遇到这类问题，若发现函数图像是中心对称图形，那么用这种办法能很快解决问题.
①一般地，若函数f（x）满足f（x）+f（-x）=2k，则f（x）的图像关于点（0，k）中心对称，若f（x）的最大值为M，最小值为N，则M+N2=k，所以M+N=2k.
证明 如图，设A（x1，M）为f（x）图像上的一个最高点，则在f（x）的图像上必存在和点A对应的关于点（0，k）对称的点，该点应为f（x）图像上的一个最低点，设为点B（x2，N），由A、B两点关于点（0，k）对称得M+N2=k，所以M+N=2k.
②一般地，若函数f（x）满足f（a+x）+f（b-x）=2k，则f（x）的图像关于点（a+b2，k）中心对称，若f（x）的最大值为M，最小值为N，则M+N2=k，所以M+N=2k，证明略.
四、练习
①已知f（x）=（x+1）2+sinxx2+1的最大值为M，最小值为N，则M+N=.
②已知g（x）=（x-1）3-sinπx+1（0≤x≤2）的最大值为a，最小值为b，则a+b=.
一、首先，我们需要知道函数的对称性分为中心对称和轴对称
第一，中心对称。将一个函数图像绕某一点旋转180°后，如果旋转后的图像与原图像完全重合，则该函数图像具有中心对称的性质，其中该点称为该函数的对称中心。一个函数图像可以有多个对称中心。第二，轴对称。将一个函数图像沿一条直线对折后，如果直线两侧的函数图像完全重合，则该函数图像具有轴对称的性质，其中该直线为该函数的对称轴。一个函数图像可以有多条对称轴。
二、我们需要了解常见函数对称性
1、常数函数。y=c（c∈R）。既是轴对称又是中心对称，与该直线垂直的直线均为其对称轴，直线上所有点均为其对称中心。
2、一次函数。y=kx+b（k为一次项系数≠0，k≠0，b为常数）。既是中心对称又是轴对称，对称中心为原点，对称轴为与该直线相垂直的直线。
3、反比例函数。y=k/x（k∈R且k≠0）。既是轴对称又是中心对称，对称轴为y=x与y=-x，对称中心为原点。
4、二次函数。y=ax2+bx+c（a≠0）。是轴对称，不是中心对称，对称轴为x轴。
5、指数函数。y=ax（a>0且a≠1）（x∈R）。既不是中心对称也不是轴对称。
6、对数函数。y=logax（a>0，且a≠1）。既不是中心对称也不是轴对称。
7、幂函数。y=xa（a为常数）。幂函数中非奇非偶函数不具有对称性；幂函数中的奇函数中心对称，对称中心为原点；幂函数中的偶函数为轴对称，对称轴为x=0。
8、正弦函数。y=a sin（ωx+φ）（ω≠0）。既是中 心对称又是轴对称，对称轴为方程 ωx+φ=kπ+ 的解。
9、正切函数。y=tanx。是中心对称，不是轴对称，对称中心为（0，0）。
10、三次函数。三次函数中的奇函数中心对称，对称中心为原点，其他三次函数的对称性通过求导得极值点进行作图判断。
三、我们需要掌握函数自身的对称性
高中数学必修1中对奇函数的定义是：若函数f（x），对于定义域中的任意x都有f（-x）=-f（x），则f（x）为奇函数。由奇函数的定义知，奇函数的图象关于原点对称。将这种中心对称的特点进行推广得到我们得到下面的性质。
定理1.函数y=f（x）的图像关于点A（a，b）对称的充要条件是：f（x）+f（2a-x）=2b
推论：函数y= f（x）的图像关于原点的对称的充要条件是f（x）+f（-x）=0
高中数学必修1对中偶函数的定义是：若函数f（x），对于定义域中的任意x都有f（-x）=f（x），则f（x）为偶函数。由偶函数的定义知，偶函数的图象关于y轴（即直线x=0）对称。将这种轴对称的特点进行推广得到下面的性质。
定理2 函数y=f（x）的图象关于直线x=a对称的充要条件是f（a+x）=f（a-x），即f（x）=f（2a-x）。可以仿照定理1的证明方法进行证明。
定理3 ①若函数y=f（x）图象同时关于点A（a，c）和点B（b，c）成中心对称（a≠b），则y=f（x）是周期函数，且2|a-b|是其一个周期。
②若函数y=f（x）图象同时关于直线x=a和直线x=b成轴对称（a≠b），则y=f（x）是周期函数，且2|a-b|是其一个周期。
③若函数y=f（x）图象既关于点A（a，c）成中心对称又关于直线x=b成轴对称（a≠b），则y=f（x）是周期函数，且4|a-b|是其一个周期。
四、我们需要掌握不同函数对称性
定理4 函数y=f（x）与y=2b-f（2a-x）的图象关于点A（a，b）成中心对称。
定理5 ①函数y=f（x）与y=f（2a-x）的图象关于直线x=a成轴对称。
②函数y=f（x）与a-x=f（a-y）的图象关于直线x+y=a成轴对称。
③函数y=f（x）与x-a=f（y+a）的图象关于直线x-y=a成轴对称。
推论：函数y=f（x）的图象与x=f（y）的图象关于直线x=y成轴对称。可以发现不同函数对称性与函数自身的对称性有很多相似的地方。
五、函数对称性应用举例
例：定义在R上的非常数函数满足：f（10+x）为偶函数，且f（5-x）=f（5+x），则f（x）一定是（）。
（A）是偶函数，也是周期函数
（B）是偶函数，但不是周期函数
（C）是奇函数，也是周期函数
（D）是奇函数，但不是周期函数
解：f（10+x）为偶函数，f（10+x）=f（10-x），f（x）有两条对称轴x=5与x=10，因此f（x）是以10为其一个周期的周期函数，x=0，即y轴也是f（x）的对称轴，因此f（x）还是一个偶函数。故选（A）。
1、函数内部的对称性（自对称）
1.1 关于点对称
函数y=f（x）关于点（a，b）对称？圳f（a+x）+f（a-x）=2b，也可以写成f（x）+f（2a-x）=2b。若写成f（a+x）+f（b-x）=c，则函数f（x）关于点（ ， ）对称。
1.2 关于直线对称
函数y=f（x）关于x=a对称？圳f（a+x）+f（a-x），也可以写成f（x）=f（2a-x）。若写成f（a+x）+f（b-x），则函数f（x）关于直线x= = 对称。
2、函数之间的对称性（互对称）
2.1 关于点对称
y=f（x）与y=g（x）关于点（a，b）对称？圳f（x）+g（2a-x）=2b或f（a+x）+g（a-x）=2b。
2.2 关于直线对称
y=f（a+mx）与y=f（b+mx）（m≠0）关于直线x= 对称。特别地，y=f（x）与y=f（2a-x）关于直线x=a对称。
3、函数对称性应用举例
例1 设二次函数f（x）满足f（x+2）=f（-x+2），且其图像与y轴交于点（0，1），在x轴上截得的线段长为2 ，求f（x）的解析式。
解：f（x）关于x=2对称，可设f（x）=a（x-2）2+b。
由4a+b=1，再由x1-x2=2 ？圯2 =2 ，解得a= ，b=-1。f（x）= （x-2）2-1
例2 设f（x）是定义在R上的偶函数，且f（1+x）=f（1-x），当-1？燮x？燮0时，f（x）=- 则f（8.6）= 。
解：f（x）因是定义在R上的偶函数，所以x=0是f（x）对称轴；
又f（1+x）=f（1-x）所以x=1也是f（x）对称轴。故f（x）是以2为周期的周期函数，所以。
f（8.6）=f（4×2+0.6）=f（0.6）=f（-0.6）=0.3.
注：函数y=f（x）满足f（a+x）=f（a-x）且f（b+x）=f（b-x），
即可推出f（x）=f（2a-x）=f[b+（2a-x-b）=f[b-（2a-x-b）]=f [x+2（b-a）]，即如果函数在定义域内关于垂直于x轴的两条直线对称，则该函数一定是周期函数，且周期为2（b-a）。类似可导出：若有f（x）的2个对称中心（a，0），（b，0）则T=2 a-b；若有f（x）的1个对称轴x=a和1个对称中心（b，0），则T=4 a-b。
例3 函数f（x）= 的反函数的图像关于点（-1，4）成中心对称，求a。
解：因为反函数的图像关于点（-1，4）成中心对称，所以f（x）= 图像的对称中心是（4，-1），而f（x）= 的对称中心是（a+1，-1），所以a+1=4得a=3。
注：对于分式函数y= ，通过分离常数化为y= + ，其图像可看成由函数y= 的图像向左平移 个单位，再向上平移 个单位而得到的双曲线，故它的对称中心也由（0，0）平移到（- ， ）故（- ， ）是y= 的中心对称点。
例4 设函数y=f（x）对一切实数x均满足f（2+x）=f（2-x），且方程f（x）=0恰好有7个不同的根，则这7个不同实根的和为 。
分析与解由f（2+x）=f（2-x），得f（x）关于直线x=2对称。
由于7个根不同且满足对称分布，因此，必须在x=2左右各两个根，且一个根恰在=2处，即7根之和为（2-x1）+（2+x1）+（2-x2）+（2+x2）+（2-x3）+（2+x3）+2=14。
例5 已知函数f（x）=（x+a）3，对任意t∈R总有f（1+t）=-f （1-t），则f （2）= 。
分析与解：由f（1+t）+f （1-t）=0可知函数关于点（1，0）对称，而f（x）=（x+a）3图像可看成由函数f（x）=x3图像向左平移a个单位而得，故对称中心为（-a，0），所以-a=1，即a=-1，故f（2）=（2-1）3=1。
例6 设定义域、值域均为R的函数y= f （x）的反函数为y= f -1（x）。若对一切x∈R， f （x）+ f（1-x）=2都成立，则 f -1（x - 2）+ f -1（4 - x）= 。
分析与解： f （x）+ f（1-x）=2？圳（ ，1）是图像的对称中心，故（1， ）是y= f -1（x）图像的对称中心，由此可知f -1（x）+f -1（2-x）=1，从而可得 f -1（x-2）+ f -1（4 - x）=1。
注：反函数也是函数，不过只是一类特殊的函数，当然应满足函数的对称性的结论，即：（1， ）是y= f -1（x）图像的y= f -1（x）对称中心？圳 f -1（x）+ f -1（2 - x）=1。
例7 已知定义R在上的函数f（x）的图像关于点（- ，0）成中心对称，对任意实数x都有f（x）=- ，且f（-1）=1，f（0）=-2，则f（0）+f（1）+...+f（2014）=
。
解：函数f（x）的图像关于点（- ， 0）成中心对称？圯f（x）+f（- -x）=0，
则f（1）+f（- ）=0。f（x）=- ？圯f（1）=1，且f（x）是以3为周期的函数，
故f（3）=f（0）=-2，f（2）=f（-1）=1。
f（0）+f（1）+...+f（2014）=f（0）+671・[f（1）+f（2）+f（3）]+f（1）=-1。
注：关于周期性，记住如下几个结论是有益处的。
①f（x+a）=f（x+b）？圯T= a-b；
②f（x+a）=-f（x+b）？圯T=2 a-b；
③f（x+a）= 或f（x+a）=- ？圯T=2a；
④f（x+ ）= 或f（x+ ）= ？圯T=2a。
一、自对称：函数自身的对称性
定理1：y=f（x）的图像关于点A（a，b）对称的充要条件是f（x）+f（2a-x）=2b
证明：（必要性）设点P（x，y）是y=f（x）图像上任一点，点P（x，y）关于点A（a，b）的对称点P（2a-x，2b-y）也在y=f（x）图像上，2b-y=f（2a-x）
即y+f（2a-x）=2b故f（x）+f（2a-x）=2b，必要性得证.（充分性）设点P（x0，y0）是y = f（x）图像上任一点，则y0=f（x0）
f（x）+ f（2a-x）=2b，f（x0）+f（2a-x0）=2b，即2b-y0=f（2a-x0）.
故点P（2a-x0，2b-y0）也在y=f（x）图像上，而点P与点P关于点A（a，b）对称，充分性得征.
推论：函数y=f（x）的图像关于原点O对称的充要条件是f（x）+f（-x）=0
定理2：数 y=f（x）的图像关于直线x=a对称的充要条件是f（a+x）=f（a-x）即f（x）=f（2a-x）
推论：函数y=f（x）的图像关于y轴对称的充要条件是f（x）=f（-x）
定理3：数y=f（x）图像同时关于点A（a，c）和点B（b，c）成中心对称（a≠b），则y=f（x）是周期函数，且2|a-b|是其一个周期.②若函数y=f（x）图像同时关于直线x=a和直线x=b成轴对称（a≠b），则y=f（x）是周期函数，且2|a-b|是其一个周期.③若函数y=f（x）图像既关于点A（a，c）成中心对称又关于直x=b成轴对称（a≠b），则y=f（x）是周期函数，且4|a-b|是其一个周期.
①②的证明留给读者，以下给出③的证明：
函数y=f（x）图像既关于点A（a，c） 成中心对称，
f（x）+ f（2a-x）=2c，用2b-x代x得：f（2b-x）+f[2a-（2b-x）]=2c………………（*）
又函数y=f（x）图像直线x=b成轴对称，
f（2b-x）=f（x）代入（*）得：f（x）=2c-f[2（a-b）+x]…………（**），用2（a-b）-x代x得
f[2（a-b）+x]=2c-f[4（a-b）+ x]代入（**）得：f（x）= f[4（a-b）+x]，故y=f（x）是周期函数，且4|a-b|是其一个周期.
二、个不同函数对称性
定理4：y=f（x）与y=2b-f（2a-x）的图像关于点A（a，b）成中心对称.
定理5：①函数y=f（x）与y=f（2a-x）的图像关于直线x=a成轴对称.②函数y=f（x）与a-x=f（a-y）的图像关于直线x+y=a成轴对称.③函数y=f（x）与x-a=f（y+a）的图像关于直线x-y=a成轴对称.定理4与定理5中的①②证明留给读者，现证定理5中的③设点P（x0，y0）是y=f（x）图像上任一点，则y0=f（x0）.记点P（ x，y）关于直线x-y=a的轴对称点为P′（x1，y1），则x1=a+y0，y1=x0-a，x0=a+y1，y0=x1-a代入y0=f（x0）之中得x1-a=f（a+y1），点P′（x1，y1）在函数x-a=f（y+a）的图像上.
同理可证：函数x-a=f（y+a）的图像上任一点关于直线x-y=a的轴对称点也在函数y= f （x）的图像上.故定理5中的③成立.
推论：函数y=f（x）的图像与x=f（y）的图像关于直线x=y成轴对称.
三、三角函数图像的对称性列表
注：①上表中k∈Z
②y=tanx的所有对称中心坐标应该是（kπ/2，0）
四、函数对称性应用举例
例1：确定函数f（x）=（x-1）3+x 的图象的对称中心.
解析1：设函数f（x）=（x-1）3+x的图象的对称中心为（h，k），在图象上任意取一点P（x，y），它关于（h，k）的对称点为Q（2h-x，2k-y），Q点也在图象上，即有2k-y=（2h-x-1）3+2h-x，由于y=（x-1）3+x ，两式相加得2k=（2h-x-1）3+（x-1）3+2h ，化简得3（h-1）x2-6h（h-1）x+（h-1）（4h2-2h+1）-k+h=0 （*）.由于P点的任意性，即（*）式对任意x都成立，从而必有x的系数和常数项都为0，即h=1，k=1.所以函数f（x）=（x-1）3+x的图象的对称中心为（1，1）.
解析2：设函数g（x）=x3+x ，则g（x）为奇函数，其对称中心为原点，由于f（x）=（x-1）3+（x-1）+1=g（x-1）+1 ，说明函数f（x）的图象是由g（x）的图象分别向右、向上平移1个单位得到，而原点向右、向上分别平移1个单位得到点（1，1）.
所以函数f（x）=（x-1）3+x 的图象的对称中心为（1，1）.
例2：设定义域为R的函数y=f（x）、y=g（x）都有反函数，并且f（x-1）和g-1（x-2）函数的图像关于直线y=x对称，若g（5）=1999，那么f（4）=（ ）.
（A） 1999; （B）2000; （C）2001; （D）2002.
解：y=f（x-1）和y=g-1（x-2）函数的图像关于直线y=x对称，
y=g-1（x-2）反函数是y=f（x-1），而y=g-1（x-2）的反函数是：y=2+g（x）， f（x-1）= 2+g（x）， 有f（5-1）=2+g（5）=2001
故f（4）=2001，应选（C）
例5：设f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x+2）=-f（x），当0≤x≤1时，
f（x）=x，则f（7.5 ）=（ ）
（A）0.5 （B）-0.5
（C）1.5 （D）-1.5
解：y=f（x）是定义在R上的奇函数，点（0，0）是其对称中心;又f（x+2）=-f（x）=f（-x），即f（1+ x）=f（1-x）， 直线x=1是y=f（x）对称轴，故y = f（x）是周期为2的周期函数.
考点1 旋转的概念
【考点解读】图形旋转有三个要素：（1）旋转的中心（点）；（2）旋转的方向；（3）旋转的角度.三者中有一个不确定，旋转的结果都可能不一样.
例1 （2012年南京卷）如图1，E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，BE=CF，连接AE、BF.将ABE绕正方形的中心按逆时针方向旋转到BCF，旋转角为α（0°
分析：连接两条对角线AC和BD交于点O，则点O即为旋转中心. 点C是点B旋转后的对应点，∠BOC为旋转角.
四边形ABCD是正方形，∠BOC=90°，故α=90°.
温馨小提示：确定旋转角，关键是找出对应点与旋转中心的连线的夹角.确定旋转中心的方法是：连接两组对应点，作出对应点所连线段的两条垂直平分线，其交点即为旋转中心.
考点2 旋转的性质
【考点解读】图形的旋转具有如下性质：（1）对应点到旋转中心的距离都相等；（2）对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角；（3）旋转前后的图形全等，对应线段相等，对应角相等.
例2 （2012年南通卷）如图2，O为正方形ABCD的中心，分别延长OA到点F，OD到点E，使OF=2OA，OE=2OD，连接EF，将FOE绕点O逆时针旋转α角得到F′OE′（如图3）.
（1）探究AE′与BF′的数量关系，并给予证明；
（2）当α=30°时，求证：AOE′为直角三角形.
分析：图形旋转后其大小和形状不变.
（1）AE′=BF′.
证明：如图3，在正方形ABCD中， ACBD，
∠F′OE′=∠AOD=∠AOB=90°，
即∠AOE′+∠AOF′=∠BOF′+∠AOF′，
∠AOE′=∠BOF′.
又OA=OB=OD，OE′=2OD，OF′=2OA，
OE′=OF′，OAE′≌OBF′，AE′=BF′.
②作AOE′的中线AM，如图4，
则OE′=2OM=2OD=2OA，
OA=OM.
α=30°，∠AOM=60°，
AOM为等边三角形，
MA=MO=ME′，∠AE′M=∠E′AM.
又∠AE′M+∠E′AM=∠AMO，即2∠AE′M=60°，
∠AE′M=30°，∠AE′M+∠AOE′=30°+60°=90°，
AOE′为直角三角形.
温馨小提示：根据旋转变换的不变性，找出全等三角形.在旋转变换背景下，要注意旋转前后的对应边、对应角相等.
考点3 作出旋转图形
【考点解读】利用旋转画图，需确定一些关键点旋转后的位置，这种“以局部带整体”的思想需要深刻体会.在画图时，一般都要保留旋转前后的图形痕迹.
例3 （2012年新疆生产建设兵团卷）如图5，在ABC中，∠A=90°.用尺规作图的方法，作出ABC绕点A逆时针旋转45°后的图形AB1C1（保留作图痕迹）.
分析：作∠CAB的平分线，在平分线上截取AB1=AB，作C1AAB1，在AC1上截取AC1=AC，连接B1C1，AB1C1即是所求.
温馨小提示：要准确画出旋转后的图形，关键是画出特殊点旋转后的对应点，再连点成形.
考点4 中心对称和中心对称图形的概念
【考点解读】在平面内，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心.中心对称图形是特殊的旋转图形，它的旋转角是180°.
例4 （2012年泰安卷）下列图形：
其中是中心对称图形的个数为（ ）.
A.1 B.2 C.3 D.4
分析：第1个图形为轴对称，但不是中心对称；第2个图形是中心对称；第3个图形不是中心对称；第4个图形是中心对称，故选B.
温馨小提示：中心对称图形的识别方法：若存在一点，把图形绕着这个点旋转180°后能与原来的图形重合，则它是中心对称图形.
考点5 关于原点对称的点的坐标
【考点解读】在平面直角坐标系中，点A （a，b）关于x轴对称点的坐标为（a，-b），关于y轴对称点的坐标为（-a，b），关于原点对称点的坐标为（-a，-b）.
例5 （2012年宜昌卷）如图6，矩形OABC的顶点O为坐标原点，点A在x轴上，点B的坐标为（2，1）.如果将矩形OABC 绕点O旋转180°，旋转后的图形为矩形OA1B1C1，那么点B1 的坐标为（ ）.
A.（2，1） B.（-2，l） C.（-2，-l） D.（2，-1）
分析：矩形OA1B1C1是由矩形OABC绕原点旋转180°得到的，矩形OABC与矩形OA1B1C1关于原点成中心对称，因此点B1与点B关于坐标原点O对称，即B1的坐标为（-2，-l）.选C.
温馨小提示：要明确点的坐标的意义，掌握各类点的坐标特征.
考点6 中心对称图形性质的应用
【考点解读】在中心对称图形中，对称中心平分对应点的连线，经过对称中心的直线把图形的面积两等分.
例6 （2011年荆州卷）如图7，等腰梯形ABCD的底边AD在x轴上，顶点C在y轴正半轴上，B（4，2），一次函数y=kx-1的图像平分它的面积，求k的值.
解：过B作BEAD于E，连接OB、CE，交于点P.
P为矩形OCBE的对称中心，
过P点的直线平分矩形OCBE的面积.
P为OB的中点，而B（4，2），P点坐标为（2，1）.
在RtODC与RtEAB中，OC=BE，AB=CD，
RtODC≌RtEAB， SODC=SEBA，
过点P（2，1）的直线即可平分等腰梯形的面积，这条直线为y=kx-1，2k-1=1，k=1.
温馨小提示：在中心对称图形中，过对称中心的任意一条直线都把图形的面积（或周长）两等分.
考点7 中心对称图形的设计
【考点解读】作对称图形的关键是画出已知图形殊点的对称点.
例7 （2011年漳州卷）图8是2002年在北京举办的世界数学家大会的会标“弦图”，它既标志着中国古代的数学成就，又像一只转动着的风车，欢迎世界各地的数学家们.请将“弦图”中的四个直角三角形通过你所学过的图形变换，在方格纸中设计另外两个不同的图案.画图要求：（1）每个直角三角形的顶点均在方格纸的格点上，且四个三角形互不重叠；（2）所设计的图案（不含方格纸）必须是中心对称图形或轴对称图形.
考点8 旋转的应用
【考点解读】有些问题看上去不是旋转问题，但应用旋转可以迅速得到解题思路，使问题迎刃而解.
例8 （2012年威海卷）正方形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图12所示，已知A点的坐标（0，4），B点的坐标（-3，0），则C点的坐标是 .
解：将AB绕点B顺时针旋转90°，A点的对应点即为点C，从图上可知C点的坐标是（1，3）.
关键词：分子对称性 对称元素 对称操作 对称点群 群论
对称性描述分子的对称性表现并根据分子的对称性对分子作分类。分子对称性在化学中是一项基础概念，因为它可以预测或解释许多分子的化学性质，例如分子振动、分子的偶极矩和它的光谱学数据（以拉波特规则之类的选择定则为基础）。在大学程度的物理化学、量子化学与无机化学教科书中，都有关于对称性的章节。
分子对称性的研究是取自于数学上的群论。
一、对称元素
分子对称性可分成5种对称元素。
旋转轴：分子绕轴旋转度角后与原分子重合，此轴也称为n重旋转轴，简写为Cn。例如水分子是C2而氨是C3。一个分子可以拥有多个旋转轴；有最大n值的称为主轴，为直角坐标系的z轴，较小的则称为副轴。n≥3的轴称高次轴。对称面：一个平面反映分子后和原分子一样时，此平面称为对称面。对称面也称为镜面，记为σ。水分子有两个对称面：一个是分子本身的平面，另一个是垂直于分子中心的平面。包含主轴，与分子平面垂直的对称面称为垂直镜面，记为σv；而垂直于主轴的对称面则称为水平镜面，记为σh。等分两个相邻副轴夹角的镜面称等分镜面，记作σd。一个对称面可以笛卡尔坐标系识别，例如（xz）或（yz）。对称中心：从分子中任一原子到分子中心连直线，若延长至中心另一侧相等距离处有一个相同原子，且对所有原子都成立，则该中心称为对称中心，用i表示。对称中心可以有原子，也可以是假想的空间位置。
二、对称操作
这5种对称元素都有其对称操作。对称操作为了与对称元素作区别，通常但不绝对的，会加上脱字符号（caret）。所以？n是一个分子绕轴旋转，而Ê；为其恒等元素操作。一个对称元素可以有一个以上与它相关的对称操作。因为 C1 与 E、S 与 σ 、 S 与 i相等，所有的对称操作都可以分成真转动或非真转动（proper or improper rotations）。
三、对称点群
点群是一组对称操作 （symmetry operation），符合数论中群的定义，在群中的所有操作中至少有一个点固定不变。三维空间中有32组这样的点群，其中的30组与化学相关。 它们以向夫立符号为分类基础。
四、群论
一个对称操作的集合组成一个群，with operator the application of the operations itself，当：
连续使用（复合）任两种对称操作的结果也在群之中（封闭性）。对称操作的复合符合乘法结合律： A（BC） = AB（C）群包含单位元操作，符号 E，例如 AE = EA = A对于群中的任何操作A。在群中的每个操作，都有一个相对应的逆元素 A，而且 AA = AA = E
群的阶为该群中对称操作的数目。
例如，水分子的点群是 C2v，对称操作是 E， C2， σv 和 σv'。它的顺序为 4。每一个操作都是它本身的相反。 以一个例子做结，在一个σv反射后做再一个 C2旋转会是一个σv' 对称操作 （注意："在 B后做 A操作形成 C 记作 BA = C"）：
σv*C2 = σv'
五、表示
对称操作可用许多方式表示。一个方便的表征是使用矩阵。在直角坐标系中，任一个向量代表一个点，将其以对称操作转换左乘（left-multiplying）得出新的点。结合操作则为矩阵的乘法： C2v 的例子如下：
像这样的表示虽然存在无限多个，但是群的不可约表示（或irreps）被普遍使用，因为所有其他的群的表示可以被描述为一个不可约表示的线性组合。
六、特征表
对每个点群而言，一个特征表汇整了它的对称操作和它的不可约表示（irreducible representations）的资料。因为它总是与不可约表示的数量和对称操作的分类相等，所以表格都是正方形。
表格本身包含了当使用一个特定的对称操作时，特定的不可约表示如何转换的特征。在一个分子点群中的任一作用于分子本身的对称操作，将不会改变分子点群。但作用于一般实体，例如一个向量或一个轨域，这方面的需求并非如此。矢量可以改变符号或方向，轨域可以改变类型。对于简单的点群，值不是 1 就是 ？1：1表示符号或相位（矢量或轨域）在对称操作的作用下是不变的（对称），而-1表示符号变成（不对称）
根据下列的规定标示表征：
A， 绕主轴旋转后为对称B， 绕主轴旋转后为不对称E 和 T 分别代表二次和三次退化表征当点群有对称中心，符号的下标 g （德语： gerade 或 even）没有改变，符号的上标 u （ungerade或 uneven） 依反转而改变。点群 C∞v和D∞h的符号借用角动量的描术：Σ， Π， Δ.
表中还记录如下的资料：笛卡尔矢量及其如何旋转，和它的二次方程的如何用群的对称操作来转换，特别是以相同方法转换不可约表示。这些资料一般显示在表格的右边。这些资料是有用的，因为分子中的化学重要轨道（特别是 p 和 d 轨道）具有相同的对称性。
承接C2v的例子，考虑水分子中氧原子的轨域：2px垂直于分子平面，且以一个 C2 与一个 σv'（yz） 操作改变符号，但与其他两个操作仍保持不变（显而易见的，恒等操作的特征恒为+1）。因此这个轨域的特征集合为（ 1， -1， 1， -1），与B1不可约表示相符合。同样地，2pz轨域被认为有A1不可约表示的对称性， 2py B2，和 3dxy轨域 A2。这些分配和其他的都在表格最右边的两个字段中注明。
七、结束语
自然界普遍存在着对称性，从宏观到微观世界都存在着对称性，利用对称性概念及有关原理和方法去解决我们遇到的问题，可以使我们对自然现象及其运动发展规律的认识更加深入。
参考文献：
[1]阎西林. 晶体物理学[M]. 电子工业出版社，1995
[2]何福城；朱正和 结构化学 1980
[3]谢有畅；邵美成 无机化学 1979