混沌理论论文范文
混沌理论论文篇1
关键字：倍周期分岔；周期；混沌
中图分类号：TP301
一、前言
随着非线性科学理论研究和应用的不断发展，混沌理论正日益受到关注。前不久美国上映的新影片“蝴蝶效应”曾创北美票房纪录。影片的片头语称：“北非的蝴蝶扇一扇翅膀有可能使得半个世界以外的地方刮起台风。”(AbutterflyflappingitswingsinNorthAfricacancauseatyphoonhalfaworldaway.)。这段话是科学家对混沌特性的描述语言，即“蝴蝶效应”应属于混沌学(Chaos)。它反映了因果关系，意思是小小的扰动（原因变化）可能引起完全不同的结果。当然电影要谈的并不是混沌学，但它在一定程度上为混沌的普及起到一定的推波助澜的作用，使混沌从最初的科学家谈论的名词进入到社会的方方面面，为更多的人所认识。
现代的科学意义上的混沌是个难以精确定义的概念，不同领域的科学家往往对其有不同的理解，至今对混沌概念还没有公认的严格的定义。李－约克的定义是用三个方面的本质特征来对混沌进行刻画的，即“有界”、“非周期”和“敏感初条件”[1]，而在有限性制约下的物理混沌仍具有这三个本质特征。所以，我们认为可以这样来界定混沌概念，“混沌是确定性非线性系统的有界的敏感初条件的非周期行为”，只要能确定系统处于混沌状态，那么行为(或状态)主体就是确定性的非线性系统，而且它一定具有“有界”、“敏感初条件”和“非周期”三个本质特征；反之，任何一个确定性的非线性系统，只要它表现出“有界”、“非周期”和“敏感初条件”的特征，那么就可以认为该系统处于混沌状态。
归纳起来，它具有如下的特征[2]：混沌具有内在的随机性；混沌具有分形的性质；混沌具有标度不变性，是一种无周期的有序；混沌现象还具有对初始条件的敏感依赖性。
目前，公认的通向混沌的主要道路有三条[3]：倍周期分岔，阵发混沌和准周期进入混沌。与之对应的是非线性方程中三种不同类型的分岔——倍周期分岔、切分岔和霍普夫分岔。本文对其中的倍周期分岔道路进行分析与研究,重点是从微观的角度在更深入的层面上揭示混沌图像的深层细节，以填补传统的混沌图像生成方法中看不到图形内部结构的空白。
二、倍周期分岔过程
系统运动变化的周期行为是一种有序状态，它在一定的条件下，系统经倍周期分岔，就会逐步丧失周期行为而进入混沌。这种周期加倍增加，最后进入混沌的过程称为倍周期分岔，它是通向混沌的主要道路之一。
下面以逻辑斯蒂模型[4]
为例来说明倍周期分岔，其中1<<4是人们感兴趣的参数的取值范围。一个看似简单的系统，随着参量的不同会表现出截然不同的行为周期区。
当0<<1时，在线段[0，1]内任选一个初值，迭代过程迅速趋向一个不动点
O（），下面不在发生变化。当时，从初值出发的迭代过程总是离开不稳定的不动点O趋进稳定的不动点A。即系统仍将有一个稳定的迭代结果。
当3<<=1+=时，O点仍是不稳定的。而A点由稳定变为不稳定。于是系统出现两个稳定的迭代结果和，这叫周期2解。=3是系统变化的第一个分岔点。当3.449<<3.545=时，周期2的两个值又不稳定，各自产生一对新的不动点，此时在四个值上跳动，这叫周期4解，=3.545是系统变化的第二个分岔点。依次类推，系统经过一系列分岔点，，等，直到=3.569945672,最后丧失周期行为，使系统进入混沌。由此可见，混沌否定有序的过程，是系统经过一系列分岔最后完成的。
系统进入了混沌状态（如图1所示）此时系统的状态不再具有规律性，而是发生随机的波动，使图1右侧的大部分区域被涂黑了，仔细观察发现，混沌区域并非一片涂斑，而是有粗粗细细的白色“竖线”，称为周期窗口，随着参量μ的增大（如）时，混沌突然消失，系统出现周期三的稳定状态，接着倍周期分岔以更快的速度进行，再次进入混沌状态。如果将周期窗口放大，发现其结构与分岔图的整体结构具有相似性，而且是一种无限嵌套的自相似结构。Fig.1Logisticbifurcationmap
可以看出，通过改变系统参量，使系统进入混沌的第一种模式是倍周期分岔，即由不动点周期二周期四…无限倍周期进入混沌状态。当然通向混沌的道路不只于此，第二种通向的道路是：从平衡态到周期运动，再到拟周期运动，直到进入混沌状态。第三种通向混沌的方式是阵发（或间歇）道路，即系统在近似周期运动的过程中，通过改变参量，系统会出现阵发性混沌过程，随着参量的调整，阵发性混沌越来越频繁，近似的周期运动越来越少，最后进入混沌。
三、图形展示分岔过程
对一维逻辑斯蒂映射的计算表明，随着参数的增长，一维逻辑斯蒂映射发生一系列的倍周期分岔，但倍周期分岔在一临界点时终止，此后，每次迭代得到的值是随机地出现的，说明系统已从周期运动进入到了非周期运动，或称混沌运动。
其参数在（0，）区间内为周期区。其内有一个正的周期分岔序列（如图2至图6）。从周期到，各分岔点之间的间隔比有一极限
计算间距比由此得到表1中的结果。
其参数在区间(,4)中为混沌区。其内有一个反的周期的混沌带序列。混沌带并非乱成一片，其实混沌区中也有不少的周期窗口。窗口区内还有混沌，窗口的混沌区内还有窗口。这种结构将无穷地重复，往往有无穷多的层次，而且每一层次都有上一个层次的重复，这是一种自相似的结构。
在混沌区内，从参数最大的开始，=4时，迭代后其的数值充满整个[0，1]区间，从0到1称为“单片”混沌。当从4逐渐减小时，开始混沌仍然是单片的，只是的数值分布的范围略小于从0到1之间的整个区间（如图7）。但当减小到小于时，由单片混沌变为两片混沌，即数值分布在两个区间内，且每次迭代时的数值从其中一个区间跳到另一个区间（如图8）。当值再减少到时，则两片混沌又分为四片混沌（如图9）。随着的继续减小，将依次继续发生4分为8，8分为16等等。这种倒分岔过程一直进行到为止。其分岔过程和间距比值如表2.2所示。
这里应指出，由于在参数区间存在一个周期的正周期分岔序列，而在区间存在一个反的周期为的混沌带序列，因此它们从两边收敛到同一个参数处。
虽然混沌系统具有复杂性和不可预测性，但期间也蕴涵着某种规律性[5]，（一）混沌系统中普遍存在奇怪吸引子，无论系统的动态特性多么复杂以及初始状态如何不同，系统的状态最终会回到吸引子区；（二）系统状态的终态集具有精巧的几何结构，奇怪吸引子具有无限嵌套的自相似性；（三）在通往混沌的道路上，倍周期分岔点的收敛速率是一普适常数。上面讨论的logistic映射，费根鲍姆常数[6]，而费根包姆普适常数又是一切倍周期分岔所共有的，它反映了倍周期分岔通向混沌的规律性。
四、研究意义
了解如何通向混沌是很有意义的。有时候我们需要人为地制造混沌，如保密通讯，但一些时候，我们又不允许系统出现混沌，这都要求我们对通向混沌的道路了如指掌。我们了解到，混沌学已经融入了整个科学体系中。从历史发展的角度看[7]，在横向上，它将各个学科连接起来，抹平了由于社会分工而造成的行业鸿沟，使混沌理论具有更广泛的适用性；纵向上，它不仅进一步运用数学工具，开展深一层次的理论分析，而且，已经渐渐开始将一部分成果转化为生产力（如混沌的控制和同步等）。如今，摆在我们面前的是一幅有序和混沌交替出现又同时并存的世界。声学混沌，光学湍流，化学反应的混沌变化，太阳系中行星的混沌轨道，地震的混沌特征，长时期天气的“蝴蝶效应”，虫口数目的混沌更迭，电子线路中的噪音输出及电力网的复杂振荡等等都无不与这门新学科相联系。探索复杂性，揭示生命现象的奥妙，混沌行为的启发将使人类自身健康状况改善，经济学学者正试图应用混沌理论来寻求商业周期中隐藏的有序性，以改善经济数据的短期预报......可谓大千世界皆混沌；混沌即进一步细分了我们的研究客体，同时又统一了我们的研究方式，混沌理论的发展必将带来新的技术革命。在理论方面，混沌综合了很多数学分支，如测度论、泛函分析、拓扑、分形几何等等。在技术上，一方面实验物理学家们正在不断地扩大对混沌的研究领域，另一方面，他们正在试图驾驭混沌：他们用种种方法将系统稳定在混沌区的一个周期轨道上；他们还设法使两个混沌的系统同步化，从而实现利用混沌的保密通讯。
五、结论
倍周期分岔是许多非线性动力学过程中的常见的现象，也是进入混沌的一种重要方式。本文先以逻辑斯蒂模型为例，说明一个由单峰映射描述的动力学系统可以通过倍周期分岔，以费根鲍姆常数的收敛速度从周期运动走向混沌。本文着重讨论了倍周期分岔道路的全过程,从微观的角度在更深入的层面上揭示混沌图像的深层细节，以填补传统的混沌图像生成方法中看不到图形内部结构的空白。
参考文献：
[1]陈式刚.映象与混沌.北京：国防工业出版社，1992
[2]丁有瑚，对混沌学的基本认识，现代物理知识，1996增刊
[3]LuJinhuetal,BridgethegapbetweentheLorenzsystemandtheChensystem[J].Int.J.Bifurcat.Chaos,2002,12.
[4]胡瑞安.分形的计算机图象及其应用.铁道出版社，1993
[5]WangC,GeS.S.Adaptivebacksteppingcontrolofaclassofchaoticsystems[J].Int.J.Bifurcat.Chaos,2001,11
[6]H．舒斯特，混沌学引论，四川教育出版社，1994
TheInnerConstitutionDisplayofChaoticImagesbyLayersmethod
YANGFeng-xia1ZHANGJun-feng2
(ComputerDepartmentofCangzhouTeachers’College,Cangzhou061001,Heibei)
Abstract:Asoneofthemainroutestochaosfromperiodicstate,period-doublingbifurcationareanalysedandstudieddeeplyinthispaper.Bifurcationandinvertedbifurcationaswellastheirrelatedimagesarealsodisplyed.Moreover,theinnerconstitutiondisplayofchaoticimageshasbeenrevealedbylayersmethodindeeplydetailsbasedontheviewpointofmicrocosm,theseenableustofillinthegapsinthefieldsofexpressibleeffectsofchaoticattractors.
混沌理论论文篇2
1961年冬天，年轻的麻省理工学院助教洛伦兹，在一台Royal McBee LPG-30计算机上，用一个仅包含12个微分方程的简单模式进行气候模拟。在完成了一次计算后，他想用同样的模式重复。为了节省时间，他没有从头到尾重复这次计算，而是从程序的中段开始。于是他把上一次计算到这个位置输出的数据，作为这次计算的初始条件。然后，为了避开计算机恼人的噪音，他出去喝了杯咖啡。回来的时候，他被惊呆了。
爱德华・洛伦兹（Edward N.Lorenz）的一个偶然发现，开辟了一个全新的科学领域――“混沌理论”，并引发了20世纪从相对论、量子力学之后的第三次科学革命。
根据常识，同样的程序和数据显然会导致同样的结果。但是第二次的预报结果与上一次大不一样。开始他认为是计算机的故障，排除了这种可能后，他发现，他输入的不是完整的数据。
他当时用的计算机，储存数据的容量是小数点后六位数字，但是在打印输出数据时，为了节省纸张，只输出小数点后三位数字。而洛伦兹在给第二次计算输入初始条件的时候，只输入了小数点后的三位，与精确的数据有不到0.1％的误差。就是这个原本应该忽略不计的误差，使最终的结果大相径庭。这让洛伦兹意识到，完美的长期天气预报是不可能的。一个完美的预报不仅需要完美的气候模式，而且需要对温度、湿度、风和所有其他气象条件的精确测量，任何微小的误差，将导致完全不一样的气候现象。
1963年，洛伦兹在美国《气象学报》上发表了题为“确定性的非周期流”的论文，提出了在确定性系统中的非周期现象。第二年，他发表了另外一篇论文，指出对于模式中参数的微小改变将导致完全不一样的结果，使有规律的、周期性的行为，变成完全混乱的状态。
不过，他的发现没有引起任何注意，直到十年后他提出“蝴蝶效应”这个通俗却惊人的想法，才让人们了解到这一现象的重要性。
1972年美国科学发展学会第139次会议上，洛伦兹发表了题为“可预测性：巴西一只蝴蝶扇动翅膀，能否在得克萨斯州掀起一场龙卷风”的演讲。他认为，一个微小的初始条件变化可能导致一连串逐渐放大的改变，最终导致完全不同的结果――这个看似荒谬的论断，打碎了所有人关于“因果决定论可预测度”所存的幻想，最终产生了当今世界最伟大的理论之一――“混沌理论”。洛伦兹后来说，他原本想用海鸥做比喻的。一个同事告诉他，用“蝴蝶”可能会更生动，而选择“巴西”则纯粹是为了押韵。
1987年，《纽约时报》科技部主任詹姆斯・格莱克（James Gleick）在采访了200多名科学家后，撰写了一本后来享誉世界的畅销书《混沌：开创新科学》。第一章的标题就是“蝴蝶效应”，介绍了洛伦兹第一次发现混沌现象的过程，不过他给蝴蝶搬了个家――“今天北京一只蝴蝶拍翅对空气造成扰动，可能触发下个月纽约的暴风雨。”这本书后来被翻译成19种文字，也在上世纪90年代初给中国读者带来了“混沌”的概念。
这种最初只在气象预报中出现的现象，后来被发现存在于众多的自然和社会系统中，诸如人口的涨落、精神病的发病、心率的节奏、雪花的形状、股市的波动、汇率的变化等，都存在混沌现象。在洛伦兹之后，在计算机的帮助下，人类开始用“混沌理论”研究自然界和社会中的不规则、不连续和不稳定的方面，开启了简化复杂现象的可能性。
1917年5月23日，洛伦兹出生于美国康涅狄格州的西哈特福德。1938年，他在达特茅斯学院获得数学学士学位，1940年获得哈佛大学数学硕士学位。“二战”期间的美国陆军航空兵气象预报员经历，让他对气象学产生了兴趣。他在自传中说，“我从小就对数字感兴趣，后来又对天气的变化着了迷。”1943年，洛伦兹在麻省理工学院获得气象学硕士学位，1948年在这里获得博士学位。此后一直任教于此，直至1987年退休。
1991年，洛伦兹获得京都基础科学奖。评奖委员会的评价是，他对“确定性混沌”的发现，影响了基础科学的众多领域，在人类对于自然界的认识上，引发了自牛顿以来最大的变化。然而，洛伦兹并没有将可预言性让位于纯粹的随机性，而是在天气模型中看到了比随机性更多的东西，即随机性后面的有序性。在之后的研究中，他用越来越多的注意力去寻找看似没有规律的复杂系统的规律。
洛伦兹喜欢在新英格兰的乡间远足，也是一个登山和滑雪高手，每次开科学会议的时候，他都会到附近的雪道上一试。他的同事对美联社记者说，这个老人非常腼腆，很少与他人合写论文，让他开口说话十分困难。在他那个时代的天才中，他尤其安静、谦逊、善良。
混沌理论论文篇3
关键词：开题报告数学
一、选题依据（背景与意义、国内外研究现状与发展趋势）
在某种程度上，数学的整个对象就是在原来似乎混沌占统治地位的地方创造秩序，从无序和混沌之中抽取出结构和不变量。所以，把无序的数字转化为有序的模型，这才是数学家乃至所有数学爱好者所追求的。
平方数，也叫完全平方数或正方形数，是可以写成整数的二次方的数。它是一种很“完美”的数，有关于它有许多很有序的规律，至今为止，已经有很多的数学爱好者乐此不疲地去研究它，而且也得出了不少有趣而且有用的结论。至今为止，平方数的一些基本的性质。例如，性质1：完全平方数的末位数只能是0,1,4,5,6,9。性质2：奇数的平方的个位数字为奇数，十位数字为偶数。等等。
还有很多著名的数学家长久以来乐此不疲地研究平方数，也把它的有关知识作为一种工具用于证明、计算其他定理、命题。例如，意大利著名的数学家Lagrange，他在整数论上也有有关平方数的Lagrange定理：任何一个正整数都可写成四个平方数之和。并且在证明中他运用了欧拉恒等式：若則
此类例子还有很多，在此不一一列举了。
本论文是对一道有关平方数的竞赛题的解法与推广，我的目标是从无序的题目中找出有序的、有规律的结果，从而体会数学的规律美。过程主要是猜想——计算机辅助验证——数学方法证明。
猜想在一般的观念里，似乎是具有一定的偶然性，但实际上，猜想要靠长期积累下来的对数学的直觉和经验形成一种敏锐的洞察力和技巧。这是一个长期的过程。
数学题不一定单纯地做出答案就行了，很多情况下还可以更深入地研究，挖掘出它的背景，进行再推广、再发散。很多看似简单的数学题其背后的内容却是十分丰富的，需要有心人去探讨研究，这样才能真正深刻的理解。有些计算量相当大的数学题应用笔算和一般的计算器已经不能满足需求，这时我们要借助计算机，利用程序设计来解。现在我就要解一道有关于平方数的竞赛题，由于计算量相当的大，笔算和一般的计算器已经不能满足需求，所以我通过在VisualBasic6.0环境下对算法进行分析和验证，验证结论的正确性。
那些最初表现为令人怀疑的东西，只有经过某种思维过程后，再通过起批准和保证作用的证明，才能最終表现为无可置疑的真理。证明通过揭示事物的核心而增强理解，是数学的力量。
二、研究目标与主要内容（含论文提纲）
研究目标：本论文主要研究型如平方数的结构，我们知道，，，，等关于的结果是无序的，而对于，先关于n代入几个数，例如，，，，……，由此猜想：，并且这个结果可以用数学归纳法证明，所以是有序的。再进一步可得，关于的输出结果也是有序的。在竞赛数学中经常出现有关平方数的一些问题，因此系统研究型如平方数，当取什么值时，其结果是有序的，既有理论价值又有应用价值。
论文提纲：首先，寻找可能的取值。当n取比较小的值时，可以采用笔算的方法来计算结果、找寻规律，但当n取比较大的值时，发现计算量相当大，用笔算和一般的计算器已经远远不能满足需求，这时就会想到借助计算机辅助计算，利用程序设计来解。我采用的是VisualBasic（简称VB）这种常见的程序设计语言。一种语言就是一种思想。经过计算发现当取任意正整数，而时，都可以产生有序的结果。
找规律：当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，……
由此可猜想得出：的一个有序的结果。同样道理，、也可得出有序的结果，也可发现、、、、的结果没有一定的规律可寻。猜想在一般的观念里，似乎是具有一定的偶然性，但实际上，猜想要靠长期积累下来的对数学的直觉和经验形成一种敏锐的洞察力和技巧。这是一个长期的过程。
然后，利用计算机辅助计算验证预期结果对某些初值的正确性。
最后，利用数学方法给出严谨的论证，而我所采用的论证方法是简单易懂的数学归纳法。
三、拟采取的研究方法、研究手段及技术路线、实验方案等
利用文献研究法与理论研究法，通过图书馆、书店、网络等途径对平方数相关各方面的资料进行查阅、研究、归纳、总结。理论与实践研究法相结合。先是通过对一些简单的n值进行观察，再用笔算和计算器进行初步计算，根据已得的结果，推广到极大的n值，进行理论上的猜想，然后运用计算机辅助（VisualBasic）这种常见的程序设计语言计算验证，最后证明猜想的结果。
四、研究的整体方案与工作进度安排（内容、步骤、时间）
进度安排：
序号时间内容
112.1-2.14明确选题并完成文献综述和外文资料翻译
22.14-2.28完成开题报告并举行开题报告会
33.1-3.20完成计算、实验和绘图，并完成论文的引言部分
43.20-3.30完成论文的初稿
53.30-4.20指导教师阅读审看并修改，完成终稿
64.20-4.30论文答辩，学生材料上交教务科
75.1-5.15教务科材料汇总整理上
五、研究的预期目标及主要特点
预期目标：在某种程度上，数学的整个对象就是在原来似乎混沌占统治地位的地方创造秩序，从无序和混沌之中抽取出结构和不变量。所以，把无序的数字转化为有序的模型，这才是数学家乃至所有数学爱好者所追求的。本论文就是研究一种平方数，从一种无序的结果转化为有序的、有规律的结果。
主要特点：进行大胆的猜想，运用计算机辅助计算帮助验证结果，得出的结论很有规律性。
六、指导教师意见：
指导教师签名：
年月日
混沌理论论文篇4
关键词 专利价值 稳定性 电路 检索 构思
中图分类号：G354 文献标识码：A
1引言
在专利价值评估中，专利的稳定性分析是关键的一个环节，而检索则是稳定性分析中的重中之重。电路相关的专利与其他类型的方案相比具备着一些特殊性从而给检索人员带来或多或少的困扰，这些困扰主要体现在以下几个方面：
（1）权利要求冗长且显得无从下手。许多电路相关的专利的权利要求要求保护一种电路图，其所记载的技术特征为各种电子元器件和这些元器件之间的连接关系，这种权利要求通常篇幅较长，且都是对元器件及其连接方式的限定使得检索要素很难从字面上提取出来。
（2）电路图表达的样式多样。有的电路图以电子元器件的方式表达，有的电路图以方框图甚至流程图的方式表达有的电路图甚至被撰写为方法权利要求，检索人员必须具备过硬的电路知识才能把握其发明点。
（3）电路的改进细微，给检索造成难度。有些电路图的仅仅是对一个电阻或者几根导线进行了改动，此时靠关键词很难进行表达。
（4）电路可以被应用到各行各业，分类号过于分散，同一个电路很可能涉及横跨多个部的分类号。
本文中，笔者从检索的角度，对这类方案的检索和新创性判断进行分析，结合两个具体案例分别从宏观和微观上来探索此类方案的检索策略。
2检索策略的选择
为了实现某种特定功能而特别设计的电路往往会给检索者带来难题。这类电路由于其特定性，往往没有非常明确的发明点，直接导致了基本检索要素提取困难和关键词难以确定。面对这种类型的方案时，需要检索者从宏观上对方案进行把握，抓住本方案实质上解决的技术问题，把握发明构思进行检索。
申请号：201210467888.0
案情介绍：权利要求描述了一种如图1所示的三维混沌电路，共包括两个模拟乘法器、八个运算放大器、多个电阻和电容，并记载了它们的连接方式。
这种权利要求中无论是乘法器、运算放大器、电阻还是电容均是电路中非常常用的电器元件，其连接方式也显得错综复杂，基本检索要素无法直接提取。当碰到这种看似难以下手的情况时，就需要对案情对宏观上进行把握，笔者把对这类方案的检索归纳为以下步骤：
2.1深度理解方案，从宏观角度看案情
无论何种类型的方案，深度理解案情都是必不可少的步骤，在关于电路的案子更是如此。此方案给人的第一感觉是权利要求冗长，电路结构复杂，对于这类方案，不可拘泥于电路结构，此时可从说明书入手，将技术方案作为一个整体，从宏观上把握。对其说明书进行仔细阅读之后会发现该所谓三维混沌电路其实是一种基于混沌理论并实现混沌系统的电路，该电路实质上是在表达一个微分方程，该微分方程为：。再仔细研究这个看似复杂的电路，如图2所示，这个电路实际上并没有那么复杂，它仅仅是由比例加法器、积分器、反相器和乘法器构成，分别对应微分方程中的加法、积分、求反和乘法运算。
2.2把握实质，确定基本检索要素
由于该电路实质上是对基于混沌理论的微分方程进行表达，此时确定基本检索要素不可拘泥于电路结构，而应当从发明的本质出发，将混沌电路和微分方程确定为该权利要求的基本检索要素。
2.3检索资源选取，进行高效检索
需要注意的是，由于电路类型方案的特殊性该方案在摘要和权利要求中均没有体现基本检索要素中微分方程这一技术特征，这就需要我们在选择检索项的时候选择说明书而不是摘要或关键词。
另外，对方案人的关注也必不可少，如果是来自企业的方案，则应当着重于专利库的检索。然而对于如该方案一样来自于高校的方案则非专利库的检索是重中之重。
对于该方案，笔者首先在百度中了解了有关混沌学的相关知识，并对方案人的引用文件进行了追踪，然后直接前往CNKI利用混沌，微分方程这两个关键词进行检索，获得了一篇相似度很高的硕士论文“混沌电路的实验及同步研究”。
硕士论文“混沌电路的实验及同步研究”具体公开的内容如图3所示，其所公开的是一种系统模型，并不是一种电路，如果按照常规的特征对本为依据，那么整个权利要求1均为区别技术特征，然而该硕士论文却公开了该方案的发明构思，从硕士论文中的仿真模型我们不难得出该模型表达的线性方程实际上是：，该方程与权利要求中记载的电路所表达的线性方程实质上一模一样，而依据表示线性方程的仿真模型构建电路属于本领域常用技术手段，则该硕士论文实质上公开了该权利要求的全部发明构思。
混沌理论论文篇5
2010年7月27-31日在土耳其的安卡拉举行了第3届非线性科学和复杂性的学术会议，本书是这次会议的论文集。前两届会议分别于2006年和2008年在中国的北京和葡萄牙的波尔图举行。
全书分为4部分，含25篇论文。第1部分 分数阶控制，含1-7篇论文：1.受一般初始条件的圆柱结构分数阶优化控制的公式化和数值方法；2.神经网络辅助的分数阶控制；3.分数阶动态系统在反推控制技术中的应用；4.应用积分时间绝对误差准则的分数阶控制器的参数调整；5.分数阶系统的分数阶模型预测控制；6.从控制的观点和理论来说明连续线性分数阶动力系统；7.通过线性状态反馈控制器的分数阶统一混沌系统的稳定性。第2部分 分数阶变分原理和分数阶微分方程，含8-12篇论文：8.不可微函数的分数阶变分法；9.分数阶欧拉-拉格朗日微分方程；10.根据双测度的分数阶摄动系统的严格稳定性；11.分数阶动态系统的初始时间微分差的严格稳定性；12.用于高功率微波系统问题的分数阶动态轨迹优化方法。第3部分 在数学和物理学中的分数阶微积分，含13-19篇论文：13.Hadamard类型的分数阶微分系统；14.一个统一的分数阶混沌系统的鲁棒同步和参数识别；15.有界域上的分数阶柯西问题：概述最近的结果；16.力学和引力理论中的分数阶相似模式；17.分数阶空间中的薛定谔方程；18.分数维空间中的波方程解；19.在重力中的分数阶精确解和孤立子。第4部分 分数阶序列的建模，含20-25篇论文：20.自催化反应次扩散系统中的前传播；21.二维反常扩散问题的数值解；22.用分布速率常数分析核磁共振中的反常扩散；23.用分数阶导数推导HodgkinHuxley模型；24.分数阶微积分用于介电弛豫过程；25.有HavriliakNegami响应的绝缘介质的分数阶波动方程。
本书汇集了非线性动力学、非线性振动与控制的最近进展。书中提供了分数阶控制的最近发现，深入研究了分数阶变分原理和微分方程，并运用分数阶微积分来解决复杂的数学和物理问题。最后，本书还讨论了分数阶模型可以在复杂的系统科学与工程中发挥的作用。
本书适合应用数学、物理学、计算数学和力学等相关领域的研究人员、工程师、教师和研究生参考和阅读。
吴永礼，研究员
混沌理论论文篇6
【关键词】 混沌； 混沌理论； 混沌时间序列； 库存管理
库存管理（Inventory Management）是对制造业或服务业生产、经营全过程的各种物品、产成品以及其他资源进行管理和控制，使其储备保持在经济合理的水平上。在供应链环境下，企业的安全库存能够创造巨大的经济价值，适度的库存有助于提升企业的竞争力。但是从对江苏某市40家企业调研情况来看，近30%的企业安全库存量占总量的50%以上，这在一定程度上影响了企业的绩效。企业的安全库存量应该如何确定，如何对企业的库存进行有效的预测，这是困扰很多企业的难题。参考文献[2][3]通过建模介绍了安全库存量的预测方法，但其前提都是假设需求分布函数为常数，这与瞬息万变的市场状况是不相符的，况且企业供应链在实际运作中还会存在很多不确定因素，其本身是一个非线性复杂系统，随机性较大。所以本文应用混沌理论来研究企业供应链中的库存问题，提出基于混沌时间序列的企业库存量的预测方法。
一、混沌理论
（一）混沌定义
混沌是J.Hadamard在19世纪末研究Hamilton系统时发现的。混沌学的产生引起人们对混沌理论进行大量研究，并逐渐渗透到各个学科和领域。随着混沌科学的迅猛发展，当前在经济、金融研究领域，经济、金融系统行为的混沌分析已成为一大热点，由此发展起来的混沌经济学大大增强了经济理论对现实的描述能力。混沌（Chaos），中文意思是混乱无章和无章，对混沌的定义目前并没有明确的概念，科学家们只是根据混沌现象来总结出其本质。依据专家们的观点，我们可以认为混沌是指确定的宏观的非线性系统在一定条件下所呈现的来源于内部的“非线性交叉耦合作用机制”的不确定的或不可预测的随机现象；是确定性与不确定性或规则性与非规则性或有序性与无序性融为一体的现象。
（二）混沌特征
混沌理论包括非线性动力学、耗散结构理论和分形几何理论三个方面内容。根据国内外学者在混沌理论方面的研究成果，可以归纳出混沌具有如下特征。
1.随机性。确定性系统内部随机性的反映，不同于外在的随机性，系统是由确定性的方程描述，而且无需附加任何随机因素，但系统仍会表现出一定的随机不确定性。
2.初值敏感性。从两个非常接近的初值出发的两个轨线在经过长时间演化之后，可能变得相距“足够”远，表现出对初值的极端敏感。当一个系统产生混沌行为时，其未来行为具有对系统初始条件的敏感依赖性，因而一般认为混沌系统本质上是不可长期精确预测的。
3.有序和无序的统一。混沌不是纯粹的无序，而是不具备周期性和其他明显对称特征的有序态。但是非周期运动不是无序运动，而是另一种类型的有序运动。简单的系统可以产生复杂的现象，而复杂现象的背后可以是有序的一个确定性的简单系统，除了能够产生稳定平衡的、周期性和不稳定发散行为之外，还能产生貌似随机的混沌行为。
二、库存管理系统的混沌特性
混沌理论告诉我们现实生活中混沌现象无处不在，在企业库存管理中同样如此。根据库存管理系统的特征，结合系统动力学原理，我们可以从以下几个方面来探讨库存管理系统的混沌特性。
（一）库存管理系统是一个非线性系统
库存管理系统在整个供应链系统中由于存在诸多的不确定性因素，如供应商的不确定性、生产者的不确定性、顾客的不确定性等。传统的制造业企业库存控制的策略只是考虑自身的库存状况，所以只有设立较多的库存来吸收客户的应急订单。如今在市场经济条件下，在企业供应链管理活动中，各供应链节点一般是根据下游企业的需求信息来决定生产和供给，而下游企业的需求是随着市场的变动在不断发生变化，即存在随机不确定性。因此，企业库存管理行为可以描述为：
Xt+1=fλ（Xt） （1）
其中，Xt=（X1t，X2t，X3t…，XNt）为库存系统状态变量，如（需求量，顾客量，库存成本，品种）；λ=（λ1，λ2，…，λM）为库存系统序参量。不可控制的序参量如（库存资本、顾客满意度、市场需求、供给状况）等。研究表明，对于形如（1）式的非线性系统，随着序参量的变化，系统的状态Xt+1就会从单一平衡态经过不断分叉进入倍增周期状态，而后过渡到混沌。
（二）库存管理系统初值敏感性
混沌系统的一个重要特点是系统的动态行为具有对初始条件的敏感依赖性，即系统具有“蝴蝶效应”——初始条件的细微差异受到系统的非线性反馈过程的不断放大和缩小，最终导致完全不同的结果。这种情况在库存管理系统中则大量存在的，如企业的销售数量、生产规模、投入资金、汇率等都没有大变化，而一个微不足道的失误就有可能导致不能及时供货或者库存产品增加，最终给企业带来巨大损失。将其应用到混沌中，即在系统的动力学区域内，则认为某些行为（分岔参数）存在着分岔点，分岔点前后系统会出现完全不同的状态。因此找到并控制这些关键因子（分岔参数）对企业管理者来说是非常重要的一项任务。
三、混沌时间序列在企业库存管理中的应用
传统的对库存预测方法使用的前提是需求稳定、订货提前期固定、不存在时间差、不存在数量折扣等假设条件，这与变化莫测的市场完全是相背离的。所以，由库存管理系统具有的混沌特性，我们可以把混沌时间序列应用到库存量的确定中。
（一）混沌时间序列
从混沌现象中我们可以看出混沌是确定性系统中出现的一种随机性运动，具有对初始值敏感性的特征，由此可以对混沌系统进行短期预测。而我们对某个系统所采集的数据一般是时间序列，所以只要能证明该时间序列的混沌特性，就可以采用混沌时间序列方法进行混沌预测。
从系统动力学角度分析，混沌运动必然产生奇异吸引子，由于奇异吸引子这种轨迹比较混乱，所以首先对其进行相空间重构，产生分形结构。通过找出预测点的邻界同向变化的状态（往往是由多个状态点组成）与其后续时间序列的函数关系、近似替代预测点与其后续时间序列的函数关系，从而实现对未来的预测，其预测原理如图1所示。
（二）基于混沌时间序列的需求预测
以某公司2001.7—2011.6每个月实际销售量为基数，见表1所示，试着对2011年下半年的销售量进行预测，再根据预测的值，决定每个月的最佳原材料库存量。对样本序列{x1，x2，…，xn}，n=120，企业每月的销量由于受各种条件的影响，所以从每月数据可以看出该序列为非线性状态，没有规律可循，因此需要重构相空间。
1.相空间重构
相空间重构是混沌时间序列预测的基础，是预测的重要步骤，重构的结构状况直接影响混沌预测模型的建立。由Takens定理构建一个嵌入空间以恢复奇异吸引子，重构的方法可采用Packard的延迟坐标向量法。
2.Lyapunov指数计算
对相空间进行重构后，接下来要求计算Lyapunov指数，以衡量相邻轨迹的收敛或发散。令λ为Lyapunov指数，其结果用以判断混沌的存在。Wolf和Bessoir就指出，对于多维动力系统的混沌判断，只要看最大的那个Lyapunov指数λ1就足够了，若λ1>0，意味着存在混沌；若λ1=0，存在极限环；若λ1
-004>0，所以时间序列{x1，x2，…，xn}为混沌时间序列。
3.评价及预测
根据得到的延迟时间和嵌入维数，通过相空间重构，可得到相空间点的轨迹，建立拟合函数，以此来进行混沌时间序列的预测。具体我们可以先提取{x1，x2，…，xn}的前117个数据，预测未来x118，x119，x120，采用加权一阶局域法对预测数据与其实际值进行误差分析，如表2所示。
计算得出的误差表明，运用混沌时间序列对其销量进行预测是可行的。由此可对2011年下半年的销量进行预测，得到下半年的预测值，见表3。
4.库存量的确定
设R为每个时期的平均需求量，货物交货期为L（指货物从订购到交付之间的时间间隔），ROP是再订货点，当采用连续性检查库存策略时，从发出订单订购货物到货物到达为止，期间市场的总需求是R×L，当货物交付时，库存达到最大值，安全库存量为：ss=ROP-R×L。
由前面的预测的2011年下半年的销售情况，计算可得平均每月的销售量：
因此，当订货点为10吨，企业的安全库存为2 670千克，相比企业预先设定的4 500千克，降低了1 830千克，在一定程度上大大减少了企业的库存成本，缓解企业流动资金的占用。
四、结论
混沌理论对企业库存管理有很多的启示，把混沌理论应用到库存管理非常必要。目前多数企业都是依据工作经验来推算企业库存，缺乏对市场需求的预测和库存的评估，造成库存的积压和库存成本的增加。本文依据混沌理论，结合库存管理系统存在的混沌特性，创造性地进行了基于混沌时间序列的企业销量预测，并采用连续性检查库存策略，计算出企业的安全库存。实验数据表明，混沌时间序列预测精度高，可信度强，该方法可以对企业的销售量进行有效的短期预测，对企业安全库存量的确定有一定的实用价值。
【参考文献】
[1] 伊恩·塞耶斯罗伯特，史密斯·格林斯潘.如何进行库存管理[M].中国物资出版社，2006：77-98.
[2] （美）森尼尔·乔普瑞，彼得·梅因得尔.供应链管理[M].李丽萍，等译.社会科学文献出版社，2003：194-209，224-228.
[3] 赵启兰，刘宏志.生产计划与供应链中的库存管理[M].电子工业出版社，2003：121-122.
[4] 邓华丽，李修全.基于混沌时间序列分析的股票价格拐点预测方法[J].统计与决策，2007（9）.
[5] 杨洋.混沌与管理信息系统[J]商业研究，2003（16）.
[6] 王三义，俞向前，万威武.基于混沌理论的公司战略管理研究[J].商业研究，2005（13）.
[7] 刘洪.经济系统预测的混沌理论研究评述[J].自然杂志，2000（6）.
[8] 郭怀韬.基于混沌理论的供应链管理[J].科技与管理，2008（4）.
[9] Alan Wolf.Simplicity and Universality in the Transition to Chaos.[J].Nature，1983，305（15）：182-183.
[10] 刘洪，张竺.混沌理论与企业管理结合的研究[J].自然辩证法研究，1998（11）.
[11] 刘存柱.混沌理论在企业人力资源管理中的应用研究[J].科学管理研究，2004（12）.
[12] 赵艳艳.混沌时间序列预测方法及其在市场需求中的应用研究[D].辽宁工程技术大学硕士学位论文，2006.
[13] 陈敏.混沌理论在股票价格预测中的应用[J].系统仿真技术，2008（10）.
[14] A.Wolf and Bessoir.T.Diagnosing chaos in the space circle[J].Physica D.1991（50）.
[15] 吕金虎，陆军安，陈士华.混沌时间序列分析及其应用[M].武昌：武汉大学出版社，2002.
混沌理论论文篇7
【 关键词 】 离散系统；时变离散时空系统；Devaney混沌性；流密码算法
【 Abstract 】 Based on the definition of chaos in the sense of Devaney for a map on a metric space， this paper studies chaos of two-dimensional time-varying discrete spatiotemporal systems， gives a sufficient condition and an example of time-varying discrete spatiotemporal chaotic system， and designs a simple stream cipher algorithm by using this system. At the same time， this paper simulates disorder of solutions of the given chaotic system and encryption effect of the proposed stream cipher. Simulation shows that theoretical result has good effects in the design of stream cipher algorithm.
【 Keywords 】 discrete system； time-varying discrete spatiotemporal system； chaos； stream cipher
1 引言
近几十年中，离散系统的类随机性是科学研究的一个热点问题，它在保密通信和随机模拟等理论中有着较重要应用前景。当前，离散系统的混沌性是类随机性研究中较为活跃的一个方向。从现有的文献可以看出，尽管时不变离散系统的混沌研究成果众多，但时变离散系统的混沌研究成果却相对较少，有许多问题都值得进一步探讨。特别地，时变离散时空系统的混沌性值得进一步研究。
最近，文献[6]研究了一维时变离散时空系统的混沌性。
上述简单加密算法的加密效果的Matlab仿真计算的效果如图2所示。
由仿真可知，利用系统（17）构造的流密码系统的加密效果良好。
参考文献
[1] Devaney， R. L. An introduction to chaotic dynamical systems[M].Second edition. Addision-Wesley， NY， 1989.
[2] Elaydi， S. N. Discrete chaos[M]. Chapman & Hall/CRC， 2000.
[3] Chen， G， Tian， C. J， Shi， Y. M. Stability and chaos in 2-D discrete systems[J]. Chaos， Solitons and Fractals， 2005， 25： 637-647.
[4] AlSharawi， A， et al. An extension of Sharkovsky’s theorem to periodic difference equations[J]. J. Math. Anal. Appl.， 2006， 316（1）： 128-141.
[5] Tian， C. J， Chen， G. Chaos of a sequence of maps in a metric space[J].Chaos Solitons Fractals， 2006， 28： 1067-1075.
[6] 田传俊，陈关荣.时变离散时空系统的混沌性[J].深圳大学学报理工版，2013，30（5）： 469-474.
[7] Shim， Y M， Chen， G. Chaos of time-varying discrete dynamical systems[J].J. Diff. Equa. Appl， 2009， 15（5）： 429-449.
[8] Huang， Q. L， Shi， Y. M.， Zhang， L. J. Chaotification of nonautonomous discrete dynamical systems[J].Int. J. Bifu. Chaos， 2011， 21（11）： 3359-3371.
[9] 郝春宝，范钦杰，孟明.变参数动力系统的扩张性[J].沈阳师范大学学报（自然科学版），2012，30（1）： 16-19.
基金项目：
本文得到国家自然科学基金（No.61070252）的资助。
作者简介：
田传俊（1964-），男，汉族，湖北荆州人，深圳大学，教授；主要研究和关注领域：伪随机性理论及其在信息安全中的应用。
刘明刚（1991-），男，汉族，湖南邵阳人，学士，硕士研究生；主要研究方向和关注领域：信息安全。
郝红建（1988-），男，汉族，河南浮沟人，学士，硕士研究生；主要研究方向和关注领域：信息安全。
混沌理论论文篇8
很多学者研究了我国股票市场的混沌特征，不仅说明了股市运行过程中的混沌特征，而且还给出了混沌特征的数量指标。但他们并没有给出混沌吸引子的结构，而它却是混沌状态的基本特征，是描述混沌的基本工具。混沌吸引子具有分形结构，混沌与分形是密切相关的。本论文以上海股市为例，来分析我国股票市场的分形特征。
股市混沌吸引子的分形维
我国股市具有复杂的混沌结构，而且我们还给出了股票指数收益率序列的混沌结构的数量指标。“这些数量指标都是混沌度的特征指标”。混沌的另一个特征是具有混沌吸引子，吸引子是一个分形，而分形维是刻划分形最重要的指标。
分形维数有多种定义，两种最常用的分形维数是豪斯道夫(Hausdorff)维数和盒维数。1983年，Grassberger和Procaccia利用了嵌入理论和相空间重构技术，提出了从时间序列直接计算关联维数的算法。本文也是用此法来计算我国股市混沌吸引子的分形维。
设{xk:k=1,…N}是观测某一系统得到的时间序列，将其嵌入到m维欧氏空间中，得该空间中的点集，其元素为：xn(m,τ)=(xn+τ,xn,…,xn+(m-1)τ),n=1,…Nm，其中：Nm=N-(m-1)τ.
从Nm个点中任选一个点xi计算其余每个点到该点的距离rij，对所有xi(i=1,…，Nm)重复这一过程，可得到关联积分函数
其中的H(x)当x>0时取1，当x≤0时取0，关联维数D为当r0时函数logCm(r)/logr的极限。
Grassberger和Procaccia证明了当嵌入维数大于分形维时，所求的分形维不因嵌入维数的增加而增加。
股市波动的Hurst指数
Hurst指数可衡量一个时间序列的统计相关性。当H＝0.5时，时间序列就是标准的随机游走，即在EMH下出现的状态。当0.5在分形理论中，R/S分析法是研究分形时间序列的一种常用方法，它是Hurst在大量实证研究的基础上提出的一种分析方法，其基本思路如下：
对股票价格形成的时间序列xt，分为A个长度为N的等长区间，对于每一个子区间，令 X(a,t)=∑(xN(a-1)+i-Ma)，i=1,…t。其中，X(a,t)为第a个区间的累积离差，xN(a-1)+i为区间a的第i个观测值，Ma为区间a的平均值，t=1,2,…N。对于每一个子区间，可得到N个累积离差，N个离差中的最大值和最小值之差即极差R=Max(X(a,t))-Min(X(a,t))。为了比较不同类型的时间序列，赫斯特用每个区间所测得的标准差去除极差，得到“重标极差”，并且有R/S=(bN)H ………1）
其中，R/S表示重标极差，N为区间长度，b为某一常数，H为赫斯特指数，且0≤H≤1。
对每个子区间计算R/S，可得A个R/S，求出这A个R/S的平均值，可得出用N来等分时间序列下的R/S估计值。用不同常数N来等分，便可得到不同的R/S。根据R/S随N的变化关系，可研究时间序列不同时段的统计特性，由ln(R/S)相对于lnN的函数变化斜率得出赫斯特指数H。
对1）式两边取对数，得ln(R/S)=Hln(N)+ln(a)。
由ln(R/S)相对于ln(N)的斜率便可估计出H。通过ln(R/S)-ln(N)图，很容易观察出赫斯特指数在何处发生突变，并进一步估计出周期长度，一般用统计量V(N)=(R/S)/来估计周期长度。对于独立随机过程的时间序列，统计量V-ln(N)图是平坦的;对于具有状态持续性的过程，该图向上倾斜；对于逆状态持续性（H
实证分析
上海股市混沌吸引子的分形维
本文运用分形理论，选取上证综合指数日收盘值的对数收益率序列，对上证股票市场结构进行实证分析。选取从1990年12月19日至2003年10月19日的数据作为分析的基础，然后计算对数收益率样本时间序列X(n)，n=1,2,……3234。为了计算关联积分和关联维数，我们先针对时间延迟重构m维相空间。这里我们选取=5，而嵌入维数m分别取2，3，4，5，……等正整数。按照G-P算法计算关联积分C。我们将关联积分和距离r分别取自然对数，然后以lnr为横轴，以lnC为纵轴将其绘成图1。
由图1可知，存在一个关联积分lnC(r)对度量尺度ln(r)的线性依赖区域，表明在该区域中维数的定义被很好地满足了，而这些直线段的斜率就是关联维数的估计值。在实际操作中，我们调整嵌入维数m，随着m的增大，关联维数趋于饱和，即直线趋于平行，斜率趋于相等。我们利用最小二乘法去估计这些直线的斜率，得到关联维数的结果见表1。
上述结果表明，上证指数收益率序列的关联维数为3.06，其饱和嵌入维数为10。这些结果还表明我国的股票市场是一个具有分数维结构的低自由度混沌系统，股票收益率的变化遵循着某种确定性的规律。上证市场日收益率序列的分形维数在3到4之间，虽然我国证券市场的运行系统很复杂，决定我国证券市场的运行的因素非常多。但由于分形维代表了决定系统的混沌吸引子的自由度，说明该系统最终将收缩到维数为3至4之间的吸引子上，即决定这一复杂系统的本质因素只有4个，需要的基本变量数目在4个到10个之间，且主要变量有4个。
上海股市收益率序列的R/S分析及Hurst指数
下面仍以上证综指日收盘值的对数收益率序列为例，对上证股票市场结构进行分析。按照前述方法进行计算，将序列进行分组，每组有5个元素。图2给出了日收益率序列的ln(R/S)-ln(N)双对数图。
在横坐标取5.01之前，数据几乎在一条直线上，对ln(R/S)-ln(N)进行回归计算，得出 H的值为0.683，大于0.5，说明上证综指的波动不是随机游走的，而是有偏随机游走，即具有持久性。当指数上一个时刻是上升（下降）的，则下一个时刻上升（下降）的可能性比较大。而从相对长的时间跨度来看，日收益率序列H指数明显下降，接近0.5，即基本遵循随机游走。
再考察V-统计量，它的定义为V(N)=(R/S)/。如图3， 在横坐标为5.01附近明显出现转折，而此数值是取对数得到的。转换成天数为exp(5.01)，即大约150天。对照上图，在150天循环中，上证综指的波动具有明显的持久性。超过150天，持久性减弱，系统的特征明显改变。
结论