直线与二次曲线的关系分析

摘要：线上授课已成为各高校普遍使用的一种教学方式。这种方式既方便又灵活快捷，学生可观看和下载讲课录像、电子教案、课件等授课内容，弥补课堂学习中的不足，起到加深理解、解惑、复习的作用；同时，学生也可在网络教学平台上与教师交流，从而有效地提高教学质量。基于对线上授课的认识，以“直线与二次曲线的位置关系”为例，研究了线上授课。

关键词：线上授课；课件；师生；互动

线上授课是指利用互联网技术和设备，依托直播教学平台开展教学活动，是将互联网技术与传统教学紧密结合的教学模式，是新时代教学改革的重要路径之一［1］。线上教育将传统教学从教室的定点定时转变为随时随地可进行的移动式学习，具有可碎片化、不受时间空间限制、学习场景移动化、自主性等优势，有助于大量优质教育资源的共享推广，以实现教育公平。传统课堂教学模式经过多次变革和完善，它最大的优势是便于师生的情感交流。线上与线下两种教学模式各有优缺点，线上课程应当是线下课程的补充，是未来的发展方向。尽管线上课程在公考、律考、考研等方面得到了广泛应用，涌现出很多网红教师，但是在全日制教学中开展的时间很短，应用面也不广，教师的参与度相对较低，导致线上教育面临不少困难。因此，以《解析几何》中的“直线与二次曲线的位置关系”为例，探讨线上授课［2］。

1要有充分的准备工作

线上授课可使用的平台多种多样，经过对比及结合实际情况，选择了钉钉教学平台。课前，在钉钉平台上建立学习群，为了督促学生，每个班都设有考勤员，负责每节课的考勤工作。针对学生基础较差的情况，在每节课授课前，在钉钉群预习要求。学生通过预习带着问题听课，更容易集中精神参与课堂学习，加深对知识的理解。同时，学生可以自主学习，自己支配学习的节奏、内容，给自己的思维留下一定的时间和空间，强化学习效果。本课预习要求：（1）如何记住课本187和188页的记号；（2）复习中学学过直线和二次曲线的方程和图像；（3）预习直线与二次曲线的位置关系。

2用好课件是关键

与传统课堂相比，线上课程最大的不同在于：首先，课件的制作要更加细致。能不能上好网课，课件非常关键，网课不同于教室面授，要多方考虑学生的因素。因为在教室上课，学生的反应可通过观察他们的表情得知，随时做出调整。但线上授课时无法看到学生的表情，因此备课时要针对教材内容，充分考虑学生的知识水平、理解能力和接受能力，哪些知识学生能理解、接受，哪些知识需要补充，为方便理解应该如何设计课件。此外，备课时也要多设置一些合适的问题，通过这些问题及时了解学生对内容的理解情况。PPT要尽可能精练、完善、简洁大方，以简单的色彩和图案为模板制作课件，用不同颜色标识出一些重要的知识点，保留在显眼的位置［3］。其次，教具的准备要更加充分，课境的布置要更加合理，课件+黑板的组合被各种现代化设备所取代，如课件、“手写板+白板”，且要求能在各种工具之间无缝切换。例如，在教授“直线与二次曲线的相关位置”时，在学习新课前，先引导学生复习相关符号。如：F(x，y)=a11x2+2a12xy+a22y2+2a13x+2a23y+a33=0（1）F1(x，y)、F2(x，y)、F3(x，y)、Ф(x，y)以及F1(x，y)、F2(x，y)、F3(x，y)的关系式，复习后把它们留在同一页面，为接下来的推导做好铺垫。推导过程切换到白板进行，把直线的参数方程x=x0+Xt，y=y0+Yt代入二次曲线方程（1），通过白板一边分析，一边演算推导过程，最后得到方程式Ф(X，Y)t2+2［F1(x0，y0)X+F2(x0，y0)Y］t+F(x0，y0)=0（4）。此方程在后续学习中会经常出现，用不同的颜色在PPT上显示出现，并要求学生牢记。然后，切换回PPT，讨论方程（4）的根，把方程换成学生非常熟悉的二次方程At2+Bt+C=0，显示在方程（4）下对应的位置上，利用二次方程根与系数的关系，一步一步引导学生推出结论。用不同的颜色、不同的字体标识这些结论，特别是重点字眼用不同颜色的字体标出来，而且设定不同的显示方式。这样方便必要时把它显示出来，讲清楚后再隐藏起来。在讲完直线与二次曲线的相关位置的基本知识点后，为了让学生真正掌握知识，并能灵活地运用知识，将理论知识与实际问题相结合，设计了让PPT切换到几何画板。在几何画板中，教师事先设定了x轴上的一些点如A、B、T，用这些点的纵坐标表示参数a、b、t的大小，学生通过拖动这些点就可以改变参数的值。学生只需要在“度量/计算”功能中输入参数方程，分别计算出x，y的值，再利用“图表/绘制点（x，y）”绘出对应的点，最后利用“构造/轨迹”功能就可以绘出方程的图象，或者直接在“图表/绘制新函数”功能中输入参数方程或函数表达式，几何画板即可绘出相应方程或函数的图象。在学生掌握几何画板的基本应用功能后，将几何画板文件发送给学生，要求学生尝试将“直线与二次曲线”的六种位置关系（交于“两不同实点”“两重合实点”“两共轭虚点”“唯一实交点”“无交点”“直线在二次曲线上，成为二次曲线的组成部分”）通过图象显示出来。在学生尝试的过程中，教师适当地提示，激励他们，看看能在规定时间内作出几种位置关系。例如，常见的二次曲线有哪些？椭圆与直线的位置关系有几种？抛物线与直线的位置关系又有几种？除了常见的椭圆、双曲线、抛物线，还有什么样的二次曲线？到规定时间后，让学生提出自己找到的几种位置关系，可通过文字或图片上传。教师对学生的奇思妙想要及时给予表扬和鼓励，以激发学生的学习热情。通过让学生自己思考、分析，亲自动手操作、实践，学生对自己得出的结果会更有成就感，感受到理论联系实际的乐趣。通过上述学生动手操作，会发现学生很容易作出“交于两不同的实点”和“交于唯一的实点”，但部分学生不知如何区分“无交点”和“交于两共轭虚点”，也容易混淆“交于唯一实点”和“交于两重合实点”。而能想到“直线在二次曲线上”的学生不多，中学时期没有提过这种位置关系，大部分学生对“二次曲线”的思维往往只停留在“圆、椭圆、双曲线和抛物线”上。此时，学生迫切想知道这几种关系的根本区别，急切地想找到答案。这时，教师再切换回PPT，通过例题解决这个问题。例1：下列直线与二次曲线y2=2x的位置关系分别是什么？X=1、y=2、x=0、x=-2。提出两个问题：“它们的位置关系是（）；你是通过哪种方法得出结果的？”选项有：G直觉、H画出图像、M联立方程组解方程组、N选H和M。事先用字母ABCDEF分别代替六种不同的位置关系，学生用字母回答即可，这样很快就能收到反馈信息。教师收到反馈信息后，切换到几何画板，作出直线与二次曲线的图像，让他们观察图像并再次确定位置关系。有不少学生会认为，直线x=0也是与抛物线交于唯一实点，直线x=-2与抛物线没有交点。然后，切换到PPT，引导他们从方程组中判断，判断结果是否正确。通过联立方程组，很快会发现直观感受到的与实际有较大的差异，从而得出图形判断并不可靠的结论，让学生明白需要通过解方程组来判断它们之间的关系。例2：直线与二次曲线y2=4的位置关系分别是什么？y=2、y=3。学习例1，学生自然会用解方程组去解答例2，得出关系之后，切换到手写板画出图象（因这图象很简单）。通过图象，学生理解了“无交点”就是“平行”，与“交于两共轭虚点”有本质区别；“交于两重合实点”就是“相切”，这就能真正与“交于唯一实点”区别开来；而对中学很少见到的“直线在二次曲线上”，通过这个例题使学生深刻地理解容易混淆的知识，从而达到真正掌握直线与二次曲线位置关系的目的。为了巩固知识，设计了以下课堂练习。

3重视师生互动

课堂上，要努力做到讲解清晰、有条理、准确、生动、层次分明、言简意赅、深入浅出。网络授课速度要慢，特别是对数学基础较差的学生。因此，上网课时，一定要一步步引导学生理解透彻。在直播课上，教师尽量用幽默风趣、富有感染力和号召力的语言吸引学生。教师尽量营造轻松和谐的课堂氛围，让学生能在课堂上畅所欲言，及时表达出自己的各种想法和见解。这样欢快活泼的课堂气氛可以增强教学内容的趣味性，缓解学生的学习疲劳，同时情绪高涨的学生也反过来激励着教师，使“教”与“学”达到最佳状态，从而提高课堂效率。此外，由于直播课教师无法兼顾到每个学生，无法了解到每个学生的听课状态，所以为了能够及时地收到课堂的效果反馈，较好地进行课堂管理，教师要时刻关注学生的学习状态，增强师生在课堂上的互动，随机提问学生与课程相关的内容，以了解学生听课情况。特别关注提问在上课过程中“潜水”的学生，以防止出现学生“挂网”现象。例如，在推导直线与二次曲线的关系，在得出方程Ф(X，Y)t2+2［F1(x0，y0)X+F2(x0，y0)Y］t+F(x0，y0)=0（4）后，可提问：“方程中的变量是什么？”“t”；“它是一次方程还是二次方程？”“与Ф有关”；“当Ф不等于零时，方程是一次还是二次方程？”“二次”；“它的根与什么有关？”“与系数有关”；“根与系数的关系是怎么样的？”“与Δ有关”；“当Δ大于零时，根与系数的关系是什么？”“而当Δ=0时，情况又如何？”“当Δ<0呢？”“当Ф等于0时，方程又是什么方程？这时，它的根与什么有关？”通过一问一答，学生能够轻松自然地推导出结果。这样在学生原有知识的基础上不断进步，让学生通过跳一跳摘果子，不断体验到成功的喜悦，让他们从内心产生“我能行”的想法，充分激发学生参与课堂学习的热情。教师可以结合直播平台提供的学习打卡、学习时长、课堂提问、课堂作业数据，监督和管理学生的学习状况，督促学生主动学习，保障课堂教学质量，确保学生的学习进度。同时，学生在上课过程中也可以随时可通过屏幕提问和发表见解，教师也要及时关注学生的反馈情况。在练习中，利用“限时答题”的功能，让学生答完题并拍照上传解题过程，教师可及时收到反馈，讲评学生的解答过程。在备课过程中精心设计小而精的并与授课内容密切相关的问题，设计出不同的答题选项，学生通过回答“A”“B”“C”“D”或“是”“否”等，提高学生的参与度，正确的回答使学生获得成功的体验，产生愉悦感，上课时不易分神，提高注意力，更积极地参与课堂学习。课后，教师及时将课件发在钉钉群上，方便学生随时查阅。此外，学生也可以通过钉钉软件中的视频回放功能进行查漏补缺。

4作业要及时评讲

作业的布置尽量体现出针对性和层次性。作业不宜太难，学生在多次尝试都失败，就会失去信心，逐渐失去学习的兴趣；相反，成功的体验会激发学生的学习兴趣。学生做好作业后，在规定时间内拍照上传。钉钉软件中有“作业”功能，教师能一目了然地知道已提交和未提交作业的学生名单，对未提交的同学，教师还可以“ding”一下，提醒他及时完成作业并提交。此外，教师要及时批改作业，利用软件中圈画批改功能鼓励学生，对做得好的作业批上“好”“优秀”“真棒”等，对出现错误的作业，把错误的地方圈出来加以改正。作业批改后在钉钉群，全班学生都可以看到。这不仅能让学生及时认识到自己作业的错误，同时优秀的作业也起到榜样作用，引起学生相互比较、相互模仿、相互学习，达到激励全班学生的目的。这样一来，调动了学生做作业的积极性，学生为了做出“优秀”作业，课堂上会更认真、更投入，形成良性循环。每一次改完作业后，教师认真分析并记录学生的作业情况，分类总结作业中的问题，挑出具有代表性的问题，在下次上课前进行评讲，让学生能及时纠正错误，使其达到真正掌握知识的目的，同时教师针对有关情况及时改进教学，做到有的放矢。

5结束语

“线上+线下”的教学方式是未来教育教学工作的发展趋势。事实证明，线上授课不仅对实现线上线下教学质量双提升、推动教育教学工作发展有着重要的作用，而且还能实现因材施教的目标。针对学生在知识水平、理解能力、运用能力等方面的差异，可以利用网络教学的优势，通过使用富有变化、不断更新的教学手段，设计富有节奏的课堂教学内容，设置不同的情景、演示不同的事例、提出不同的问题、进行不同的启发、提供不同的方法、提出不同的要求等，使不同层次的学生都可以得到提高，进而提升全体学生的素质。

参考文献：

［1］王卫强,杜胜男,李焱斌,等.“互联网+”时代线上线下混合式教学模式应用研究——以天然气输送设计与管理为例［J］.大学教育,2021(5):62-64.

［2］蔡弘,赵斌斌,范海洲,等.网课实践对新时代高校混合式教学改革的启示［J］.科技风,2021(7):37-38,118.

［3］金明鸥.关于高校推动网络教学工作的思考［J］.科教文汇(上旬刊),2021(3):57-58.

作者：陈锦玲 单位：广东茂名幼儿师范专科学校