积石成山 点亮梦想

1 案例专题

课标课程要求教师在教学时要关注学生的体验，给学生足够的时间和空间去经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等数学活动，使其经历知识的发生、发展过程.教学活动中，教师要激发学生的学习兴趣，调动学生的学习积极性，引发学生的数学思考，鼓励学生的创造性思维，注重培养学生良好的数学学习习惯，使学生掌握恰当的数学学习方法.

2 案例背景

2013年暑假，我参加华侨大学团委组织的“积石成山、点亮梦想”暑期爱心支教活动，到甘肃省临夏州积石山县进行支教.本节课《多边形的内角和》是支教期间上的一节课，学生所用的教材是新课标人教版义务教育课程标准实验教科书《数学》七年级（下册），内容是《§7.3.2 多边形的内角和》（第1课时）.本节课在教材中起着承上启下的作用，学生要应用前面所学过的“三角形的内角和定理”来学习求“多边形的内角和”，为后面“平面镶嵌”的学习做准备，环环相扣、层层递进，适合学生的认知特点，易于激发学生学习的兴趣.在探究“多边形内角和公式”的过程中，我鼓励学生尝试从不同的角度去寻求解决问题的方法，通过把多边形转化为三角形，培养学生分析问题、解决问题的能力，逐步渗透数学的转化思想

3 学情分析

积石山县是甘肃省唯一一个拥有保安族、撒拉族、东乡族、土族、回族等10个少数民族的自治县，受支教班级的学生来自六个不同的少数民族，学生的学习水平参差不齐.为了使不同程度的学生在数学上都有所发展，我注重引导学生做学习的主人，通过自主探索、合作交流、师生互动等活动，培养学生的创新意识，激发他们的学习兴趣.

4 教学片段实录

教师：大家请看我手中的的实物分别是什么？（微笑）（3n≥，且n是正整数）

学生：六螺帽、八角石英钟、五边形水果盘.

教师：那么，大家知道五边形、六边形、八边形的内角和分别是多少度吗？

学生1：三角形的内角和是180d，正方形、长方形的内角和是360d，四边形的内角和有可能是360d，至于其它的多边形嘛……（思考中）

教师：今天我们一起来探讨任意多边形的内角和与它的边数之间的关系.学了这节课之后，上面的问题就迎刃而解了.

教师：首先我们来探讨一下任意四边形的内角和.请同学们任意画一个四边形，量一量它的四个内角，算一算它们的和，验证一下它们的内角和是否真的就是360d.（给学生足够的时间）

（学生迅速地从文具盒中取出直尺、量角器，画图、测量四边形的四个内角，并计算它们的和）

学生2：（测量法）我画的四边形，测量出它们的内角和是360d……（兴奋、喜悦中）.

学生3：（拼图法）（拿出准备好的四边形纸卡纸，标上字母，然后把其中的三个内角剪下，拼到最后一个内角上）我的也是360d……

众生：我们发现所画的任意四边形的内角和都是360d……

教师：同学们积极动手、动脑 ，通过测量、计算、拼图等方法归纳得出任意四边形的内角和都是360°，很好.测量法容易引起误差，拼图法有一定的局限性，而数学是一门严谨的学科，接下来问大家，能否用说理的方法，推导验证这个结论是成立的呢？下面请同学们四人一小组，来共同探讨，寻找解决问题的办法.相信大家一定行，加油！

学生：（激烈讨论）……（困惑）

教师：（点拨）三角形的内角和是180°，而360°=180°2×，大家能利用三角形内角和定理来证明任意四边形的内角和等于360°呢？

学生4：关键在于把四边形转化为三角形.

教师：非常好！说到了点子上！各小组讨论后，选派代表说出你们的推理方法.（学生组内讨论，教师适时点拨引导）

教师：哪位同学能将这些验证方法进行归纳、分类呢？试试看哦.

学生11：①测量法；②拼图法；③转化法；（构造三角形、同旁内角、平角）

教师：大家分析得都非常好！老师为你们的勤奋好学感到骄傲！（同学们开心地鼓掌）同学们觉得哪位同学的方法推理更方便简单呢？

学生：……

学生12：学生5的方法（同学们目光投向他所在的第1小组，并报以热烈的掌声）比较容易理解，很方便.

教师：（给予肯定）第1小组的做法是从四边形的一个顶点出发，引了一条对角线，把四边形转化为两个三角形，借助于三角形内角和定理，得出任意四边形的内角和为360°.那么五边形、六边形等任意多边形的内角和，能用类似的方法解决吗？下面请同学们分组讨论，相信大家能顺利完成下列表格.

学生：（通过讨论交流，填写完成下表）

教师：很好！请同学们思考以下三个问题：

①多边形内角和与三角形内角和的关系？

②多边形的边数与内角和的关系？

③从多边形一个顶点引的对角线分三角形的条数与多边形边数的关系？

（鼓励学生从具体到抽象，分析问题的本质，有意识地培养学生的逻辑思维）

学生结合思考题进行讨论，并把讨论后的结果进行交流.

发现1：四边形内角和是（4-2）个180d的和，五边形内角和是（5-2）个180d的和，六边形内角和是（6-2）个180d的和，七边形内角和是（7-2）个180d的和，八边形内角和是（8-2）个180d的和，n边形内角和是（2）n？个180d的和.

发现2：多边形的边数增加1，内角和增加180d.

发现3：从五边形的一个顶点出发，可以引（5-3）条对角线，将五边形分成（5-2）个三角形， 从六边形的一个顶点出发，可以引（6-3）条对角线，将六边形分成（6-2）个三角形， 从n边形的一个顶点出发，可以引（3）n？条对角线，将n边形分成（2）n？个三角形.

师生：（共同得出结论）n边形的内角和公式：（2） 180n？？d（3n≥，且n是正整数）

……

5 教学反思

（1）本节课，注重知识的生成过程，落实启发式教学.教学中， 学生有充足的时间、空间去自主探索、合作交流，通过“测量、计算、拼图”得出四边形的内角和是360°，然后通过一些辅助线：连对角线、在四边形内部找点、在四边形的边上找点、在四边形的外部找点、作平行线等，来构造三角形、平角、同旁内角，借助于“三角形内角和定理”、“1平角等于180°”、“两直线平行，同旁内角互补”生成“任意四边形的内角和等于360°，进而借助于连结对角线将多边形转化为三角形，最终生成出n边形的内角和等于（2） 180n？？d（3n≥，且n是正整数）..

（2）本节课，充分发挥教师的主导作用、学生的主体作用.通过创设情境、设计层层深入的问题来调动学生的学习积极性，在小组合作交流中各自取长补短，启发思考，使学生真正成为学习的主体，逐步掌握数学的学习方法，正是美国教育学家“在做中学”理论的体现.

（3）本节课，注重渗透“转化”、“质疑—猜想—验证—归纳”、“数形结合”等数学思想于教学中.学生在积极参与教学活动的过程中，通过独立思考、合作交流，逐步积累数学活动经验、感悟数学思想，激发学生的好奇心和求知欲.通过教学，使学生初步学会了解决数学问题的一般方法，即化复杂为简单，化未知为已知，再运用已有知识研究新问题的化归思想，在观察、探索、猜想、推理、交流的过程中，真正理解、掌握相关的数学知识和思想方法，积累数学学习、活动的经验——“积石成山，点亮梦想”！