基于学生认知起点的面积教学研究

一、问题

周长和面积是小学数学中两个重要的原始概念，在三年级学习时，学生似乎掌握得较好。但是到了高年级，学生常出现计算方法混淆或单位用错的现象。尽管老师们再三强调，可在后续的学习中依然有一些学生出错。问题出在哪儿呢？为了找到现象背后的真实原因，我们就下面4个问题对四、五年级学生进行子问卷调查。

问题一：什么是面积？（可以画图、举例或用文字表达）

问题二：什么是周长？（可以画图、举例或用文字表达）

问题三：如图1，把一个长方形框架拉成平行四边形，这个平行四边形和原来的长方形相比，周长和面积有变化吗？说说你的想法并加以解释。

问题四：小明家有一幅长60厘米、宽30厘米的画。做画框至少需要准备多长的木条？框里的这幅画有多大？

从这次调研结果中我们了解到：学生能清晰地表达面积、周长的含义；第3题，大部分学生也能给出合理的解释；第4题，学生都能算对面积，但周长有出错的，表现为单位用错（将周长单位写成了面积单位）。看来学生对面积和面积单位含义的理解没有到位，否则就不会出现将周长单位写成面积单位了。而且有不少老师反映，到了五、六年级，学生将面积单位和周长单位混淆的情况更加突出。经过思考和讨论，我们再次对四年级学生（全班53人）进行了问卷调查：“长方形的面积计算公式是长×宽，为什么用这个公式就能得出长方形的面积？”很多学生讲不出道理，理所当然地认为面积就是这样求的，有学生说是老师告诉我们的，还有学生说是科学家研究的、古人想出来的，只有5人（约占9%）能较为清楚、准确地说明长方形面积计算公式的来历（如图2、图3、图4所示）。大部分学生对长方形的面积计算公式仅停留在机械记忆的层面，他们不清楚面积也是通过测量得来的。

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通过以上调研，我们认为：无论是不能准确地解释长方形面积计算公式，还是不能正确区分周长与面积的问题，主要原因都是学生对面积的本质意义的理解存在问题。“物体表面或围成的平面图形的大小”这一句话，作为学生理解面积本质含义的唯一抓手似乎还不够。周长研究的是一维图形，即线的研究，本质是首尾相接；面积是研究二维图形，本质是密铺。因此，要解决学生在面积概念的认识和应用过程中出现的问题，还得从三年级“面积的意义”一课开始研究。

二、实践

（一）课前调查

怎样才能更好地促进三年级学生理解面积？我们在三年级（全班53人）学习面积之前进行了调研，力图找准学生的起点，进行合理的教学设计。

调查情况如下：

问题一：你知道什么是面积吗？（可以画图、举例、用文字叙述或者用你自己喜欢的方法说明你对面积的理解）

调研结果与分析：

（1）认为面积就是周长，用计算周长的方法求面积（如图5～图7）。执这种观点的共21人，占40%。

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（2）认为面积是体积（其实学生对体积也不太理解）（如图8）。执这种观点的共5人，占9%。

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（3）认为面积仅指立体图形一个面的大小（如图9）。执这种观点的共8人，占15%。

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（4）能正确解释面积（如图10～图12）的共14人，占26%。

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（5）表达不清晰的共5人，占9%。

大部分学生认为周长即面积，认为面积的大小也是像量线段的长短一样，面积计算方法也是将量得的长度相加。面积的大小确实也是需要测量，但不是用直尺上的长度单位去量再相加，而是要用单位面积大小的一个个面去量。我们在实际计算一个面的大小时，通常不是用面去量，而是通过量线段的长短（如长方形的长和宽）再去计算面积。对于量长度学生有很多的经验，但是用一个面去测量，学生基本没有直接经验。怎么才能让学生理解用面量和用尺量的区别和联系呢？我们认为必须为学生提供学习材料，设计动手操作的活动帮助学生积累活动经验，建立一维的线和二维的面之间的联系，从而知道选择合适的面的单位去量图形的面积、去数面积单位的个数，进而得到面的大小，能用自己所选择的单位描述面的大小，经历统一单位的必要性，深入理解面积的含义。另外，从调研中可以看到，学生认为图形或物体上面的面才有面积，对于物体的侧面或下面则不能确定，因此教学中教师应该将这个现象拿出来让大家辨析，从而让学生对面积有全面、深入的认识。

问题二：比较每一组图形，给你认为面积比较大的图形打“√”。

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调查结果与分析：第一组图形不管是周长还是面积，都是左边的大，虽然没有学习过面积，但是学生基本能正确判断。第二组图形则不一样，围成左图的面虽然大，但是围成图形的线段短；围成右图的面虽然小，可是围成图形的线段却很长。调研结果是认为右图面积大的占大多数，说明学生对面的大小认识不清晰，凭借周长的比较方法，得到了右图面积大这一结果。基于此，在教学中，教师一定要让学生明白周长是线段的长度，而面积是用线段所围成的图形的大小。长度可以用尺度量，用一定的长度单位来描述和表达，那面积该用什么度量和表达呢？这就要求学生要有度量的意识，有发明、创造、学习度量面积单位的强烈欲望，从而明白面积单位必须是一个面，而不是一条线段。针对这些现象，教师可以设计一些“数格子”比较面积以及数线段比较周长或者周长和面积比较的练习，让学生在头脑中形成对周长和面积的丰富表象。

（二）教学实录

1.导入

师：（课件出示图13）这三句话中都提到了“面积”，在这里“面积”指的是什么？

生1：在这里，面积指的就是宽。

生2：面积就是底乘以高。

师：看样子你在课外学的知识真不少，这里的面积都是指地面的大小。今天我们就一起研究面积。

2.感受面

师：用手去摸一摸你的桌面。你是怎样摸桌面的？

生1摸了桌面的某些区，生2摸了桌面的四边。

生3（边摸边说）：要这样一圈一圈缩小范围地摸。

师：也就是要将桌面每个地方都摸到，这样才是桌子的表面，对吗？

生：对。

师（拿出数学书）：这是数学书的封面，请摸一摸它的封面。

学生动手摸数学书的封面。

师：谁来说说，你是怎样摸数学书的封面的？

生4：我是从外面向里面一圈一圈地摸的。

师：那也就是说封面所有的地方都要摸到？

生4：嗯。

师：地面的大小指的就是地面的面积，桌子表面的大小就是桌面的面积，封面的大小就是封面的面积。你能不能找一个物体，找出它的一个面，说说这个面的面积？

生5：这一面是桌子表面的面积。

生6：这张纸，白色的纸，它的面积是这部分。

生7：这个信封的表面，这是正面的面积，还有反面的面积。

师：这个信封的面积就是正面的面积加上反面的面积。老师这里有个墨水盒，谁来说说它的面积在哪里？

生8：前后左右上下这6个面的面积加起来就是墨水盒的面积。

师：那墨水盒的面积是多大呢？你有什么办法可以知道？

生8：把墨水盒剪开，压平。

师：那好，老师就将它剪开（师剪开墨水盒，打开贴在黑板上），这个墨水盒的面积就是——？

生8：黑板上展开的图形的面积。

师：接下来，看看这个茶叶盒（圆柱形），它的面积在哪里呢？

生9：是上面圆的面积加上底面圆的面积。

师：还有吗？这个面是曲的，是它的面积吗？

生9：是的。

师：这个茶叶盒的表面面积应该是上面圆的面积加上底面圆的面积，再加上茶叶盒这个曲曲的身子的面积。物体都有面，物体表面的大小就是它的面积。黑板表面面积和数学书封面的面积，哪个大些？

生：黑板表面的面积大。

师：现在我们对面积的理解与课前咱们对面积的理解还一样吗？

生：不一样。

师：我们一起看看几个同学在课前对面积的认识。（课件出示图8）谁能看懂这幅画的意思？

生10：我猜他是把物体放在一个平面上，然后观察它的大小。

生11：看它外表的面的大小，西瓜的面积就是西瓜表面的大小。

师：今天我也带来了跟它们很相似的东西，看，这是什么？

生：橘子。

师：我用橘子代替西瓜和草莓，那这个橘子的面积是指哪里？

生1：这里，和这里（上面、下面和侧面）。

生2：整个橙色的部位都是它的面积。

生3：外面加里面都是它的面积。

生4：橘子的面积就是橘子皮的大小。

师：橘子表面的大小就是橘子皮的大小，我们现在就把橘子的皮剥下来。（师剥下橘子皮）这个橘子的面积就是剥开后这个橘子皮的大小。在这里，西瓜的表面的大小就是西瓜的面积。不过，这里的面积通常被称为表面积。

师：现在大家看第二个学生的（课件出示图6）。他画了一个长方形，边缘还用红色的笔标记出来了，他写道：这幅画的面积就是边缘的长度。

生5：错了，他说的是周长。

生6：面积应该是指里面的大小。

师：老师现在用镜子代替，这位同学说的边缘在哪里？

生7（用手将四边摸了一圈）：他将面积指错了，这是周长。

师：对了，我们可以用一根绳子将镜子围起来，绳子拉直后是线段，我们可以量出线段的长度，这个边缘就是它的周长，而不是面的大小，不是面积。那面的大小在哪？

生7：整个这个里面的大小。

师：那就是说这个同学的理解是错误的，这位同学把我们学过的周长与这节课学习的面积搞混了。

师：我们再来看看这个同学的（课件出示图10），他画了一幅图，说面积是这幅图涂上颜色的区的面积。那你觉得呢？

生：是的，是涂上颜色区的大小。

师：我们再看这个同学的（课件出示图11），他画了一个长方形，他说这幅图的面积就是黑色部分的大小，他说得对吗？

生：对。

师：所以说，不仅物体表面有大小，我们画的图形也有大小，面积是这些物体的表面或图形的大小。

3.比面积的大小

师：这里有一个正方形和圆（课件出示图14），哪个面积大？

生1：正方形的面积大。

生2：一样大。

师：你怎么确定？

生3：把圆放在正方形的上面就知道了。

师：你的意思是什么？

生3：重叠。

师：老师这里正好有这样的正方形和圆，我们重叠试试。（师将圆纸片和正方形纸片重叠在一起：圆是正方形的内切圆）谁的面积大？

生：正方形的面积大。

师：那这两个图形（课件出示图15），哪个面积大？

生1：两个图形的面积一样大。

生2：长方形面积大。

生3：正方形面积大。

生4：需要动手操作。

师：那我们动手试试。（师拿出长方形和正方形彩色纸片）你们想怎样比呢？

生5：把它们重叠在一起。

师：还有其他方法吗？

生6：把长方形长出的部分剪下来贴到正方形少的地方。

师：嗯，这个方法也不错，那还有别的方法吗？

学生都在积极思考，连续有6个学生站起来回答，但是说的方法都是重叠，只是重叠的步骤有点不一样。

师：这些方法都可以说是重叠，还有什么不同的方法吗？

生7：用尺子量。

师：怎么量？

生7：量它的边。

师：长度是用尺子量的，那么面积的大小能不能也找到这样的尺子？

生7：先量两条边然后再相乘。

师：哦，这个是后面我们才学习的知识。（等待片刻后）我提醒一下，这两个图形都很大，可不可以找一个小图形来量，看长方形里包含有几个这样的小图形，正方形里包含有几个这样的小图形，哪个多一些，是不是就知道哪个的面积大？

生：是。

师：你想用什么来量？

生1：用改正贴的盒子。

生2：用橡皮擦。

生3：用小正方形。

师：拿出你们的学具袋，里面有黑板上的长方形和正方形，也有小正方形、小三角形，你们可以用它们来量，也可以用你自己的小图形来量。

学生动手量。

师：量出来没有？结果怎样？

生4：长方形大一些，正方形小一些。

师：请说完整。

生4：长方形的面积大一些。

师：你是用什么量的？

生4：小正方形。

师：你用了几个小正方形？

生4：长方形用了9个，正方形用了10个。

师：下面我们来看，刚才我们用小面积的图形量大面积的图形。还有没有更简单的方法？

生5：我是剪的，把大的长方形和正方形都剪成小正方形。

师：你们觉得这个方法怎么样？

生6：还难一些。

师：的确麻烦一些，但你们说说这个结果是不是正确的？

生6：虽然剪碎了，但是合起来还是以前图形的面积。

师：是的，看来对一个图形进行剪拼，不会改变图形的面积。大家用没用这个方格子纸（师拿出学具——由很多个1平方厘米组成的透明长方形油印纸）？

生：用了。

师：这个方法是不是最快的？

生：是的。

师：长方形占了多少个方格？

生7：长方形是40个方格大小，正方形是36个方格大小。

师：刚才用这个正方形小方格去量是36个，用这个小正方形纸片去量是9个，这是怎么回事呢？

生7：因为小正方形纸片比小正方形方格大一些。

师：也就是我们用来量的正方形大小不同，量出来的个数也不一样，但结果都是正确的。

师：看这个3个图形（课件出示图16），谁的面积大？

生8：一样大。

师：面积一样，形状呢？

生8：不一样。

师：你们觉得周长一样大吗？认为一样的举手。（一半学生举手）谁来指一下周长？

学生指出图形的周长并数出周长有多长。

师：周长一样大吗？

生9：不一样。

师（课件出示图17）：哪个面积大？

生10：一样大。

生11：（大部分）上面的那个大一些，因为上面那个多了一些。

师：周长呢？

生12：一样大。

4.课后调查。

①你这节课了解了些什么？

②你还有什么不明白的问题或者你还想了解关于面积的一些什么问题？（学生写感受）

三、思考与讨论

1.要通过量、数等活动丰富学生对面积的认识和理解。

在面向六年级学生的检测中，不少孩子将周长和面积计算方法弄混了。而本节课中的两个对比周长和面积的问题，尽管仍然有学生弄错，但他们很快就自己找到了正确答案。他们还知道：比周长是要看线段的长短，比面积要看面的大小。相信这个班的孩子以后能更好地区分周长和面积。本课教学中，教师并没有像我们平常那样，反复要求学生重复教材上那句定义“物体的表面或封闭图形的大小，就是它们的面积”，而是更多地把教学重心放在数面积、量面积的体验活动上。铺长方形、正方形、三角形，数单位个数、量面积等操作活动，让孩子们深刻地理解了面的大小是由很多更小的面组成的，对面积有了更为丰富的理解。这也让我们坚定了一种认识：概念定义和概念意象都是学生学习概念的重要途径。实践表明，小学生对于很多重要概念的理解，并不仅仅依赖于对概念定义的描述和背诵，更多的是依赖于对概念意象的感知。因而，我们在教学中，需要围绕概念的核心本质，给学生提供具体熟悉的例子、可感知的图像、可操作的活动，帮助学生积累相关的数学经验。

2.要给学生提供充分的活动时间。

教学中，教师设计了不少学生活动。从教学实践看，学生很喜欢动手操作。他们自己获得了操作结果时会开心地露出笑脸并且及时与成员分享，获得愉快的学习体验。但是在一些集体的动手环节，教师在提出问题后，很快就过渡到了下一个环节，使学生丧失了一些宝贵的活动经验。比如：请同学们摸一摸你的桌面，想一想你的桌面有多大，用手势或者其他方式说一说你是怎么摸的。这些环节教师没有给学生思考和展示的机会，仅仅让学生快速做一个摸的动作就结束了。其实这是一个很好的渗透面积测量“尺子”的机会。类似这样的遗憾，课堂里时有出现。这也说明设计活动并不难，要真正落实这些活动却并不容易。如何让活动真正有效？是精简活动数量、整合活动环节？还是减少课时容量、提高活动的深度与广度？这是值得我们思考的问题。

3.起始课中，概念意义的理解是学习的核心，也是后续学习的基础。

“面积”这一单元包括“面积的认识”“面积单位”“长方形和正方形面积的计算”等内容。以往我们都是将“面积和面积单位”作为一节课，下节课再教学面积的计算。很多时候，面积的计算往往是我们教学最重视的环节。但这次研究使我们意识到：后续学习中出现的问题，其实很多是由于起始课中学生对概念意义的理解不到位，造成了认识上的模糊和应用时的混乱。因此，对概念意义的理解，应该是学习的核心，也是后续学习的基础，要多花一点时间，多下工夫，让学生充分理解。在课时安排上，与其在起始课上匆匆地走完所有教学流程即进入公式计算、巩固训练等环节，不如在前面放慢脚步，为孩子们创造更多的操作、对比、交流的机会，全方位深入地理解面积的意义是什么，面积单位是怎么来的，与自己所熟悉的常用的长度单位有什么本质的区别，长方形面积为什么是长乘宽等之后，再享受水到渠成的教学效果。这样是不是更符合孩子的学习心理？所以我们觉得“面积”这一单元教学的第一课时可以先认识什么是面积；第二课时，学习面积单位，丰富对面积概念的认识；第三课时，探讨规则图形面积计算的方法。这样是不是会事半功倍呢？

4.用尺子量面积？

本次教学实践中，学生有几次提出了用尺子量面积。尺子度量的结果是长度，即一维图形的数量，用尺子不可能直接度量出二维图形的面积。此时教师对学生的意见进行否定或回避，目的是想让学生从一维图形顺利过渡到二维图形的学习，能思考并发现度量面积的方法、甚至自创一个度量面积的单位，为后面学习标准的面积单位做铺垫。但课堂中一些花絮仍然表明：一些学生在刚认识图形的面积时，观察角度还是建立在一维空间之上。他们看到的虽然是一个图形的面，但注意力还在图形的边上。如他们认为圆的外边（周长）拉直了贴到外面去也许会跟正方形一样大，还有个别学生认为中队旗（■）的缺角移动到外边就跟大队旗（■）一样大。学生这些真实的想法，反映了部分学生在认识面积时虽然关注了图形，关注了整个图形的面以及构成图形的边，但是对于面的大小（面积）没有深刻的认识和理解。如何更好地解决这些问题，有待于我们进一步研究与思考。

（指导：易虹辉；执笔：刘友华、邓小兰、张凌云、韦玉、杨喜梅、彭艳波、刘新田）