“不空不满”问题辨析

学习了不等式组之后，遇到“不空不满”问题，同学们因对条件把握不准而出现错误，现就不同条件不同解法问题加以辨析。

例1：某旅游团入住旅游景区的一家旅店，如果每间客房住4名游客就有20人无法入住；如果每间客房住6名游客，就有一间不空页不满。这家旅店共有多少间客房？

分析：设这家旅店共有x间客房，根据“如果每间客房住4名游客，就有20人无法入住”得出总人数为（4x+20）人，再根据“如果每间客房住6名游客，就有一间不空页不满。”确定两个不等关系。不空：最后一间人数＞0，不满：最后一间人数＜6.最后一间人数为：4x+20－6（x－1），综合以上两个不等关系列出不等式组求出其解集中的正整数解得出本题的解。

解：设这家旅店有x间客房，由题意得：

解的10＜x＜13

x是正整数

x=11或12

答：这家旅店有11或12间客房。

这道题同学们还提出了另外一种解法：因为最后一间“不空也不满”，假设都住满的人数＞总人数＞已经住满的人数，可列不等式组

这种解法同样可得10

例2：把一篮苹果分给几个学生，若每人分4个苹果则剩下3个；若每人分6个苹果则最后一个学生最多分得3个。求学生人数和苹果数？

分析：由于最后一个学生最多分3个，所以0≤最后一个学生分得的苹果≤3

解：设学生为x人，则苹果数为（4x+3）个，由题意得，

0≤4x+3-6（x-1）≤3

解得：3≤x＜4.5

x为正整数

x=3或4

4x+3=15或19

答：学生3名苹果15个或学生4名苹果19个。

但如果对条件不加分析，按照第二种方法做会出现不同结果导致错误。

解：设学生为x人，

解得：1.5

x为正整数

x=2或3或4

这样出现了3个结果而准确结果是2个，原因是没把握“最后一个学生最多分得3个”这个条件，和“最后一个学生分到苹果但不足6个”是不一样的，它们的范围不一样，第二种做法扩大了最后一个学生分得苹果数的范围而多出一个解。如果按第二种思路解题也可以但要把范围搞具体了，具体做法如下：

x取正整数

x=3或4

还有一类“不空不满”问题也需要我们谨慎思考准确找出不等关系才能做对。题目如下：某校初一组织旅游，需要租用客车。若租用50座的客车若干辆正好坐满；若租用60座的则可少租一辆，）且保证前几辆都坐满的情况下，最后一辆还剩下不到15个空座位。问旅游的人数是多少？

分析：若想得到人数需求出租用50座客车的辆数，求辆数要列出不等式组求出正整数解。有两种思路，分别由最后一辆车的人数和空座的范围列出不等式组求解。

设租用50座的客车x辆，根据题意得：

方法⑴：60－45＜50x-60（x-2）＜60

解得：6＜x＜7.5

x是正整数

x=7

50x=50×7=350

说明：此方法是通过人数的范围求解的。

方法⑵：0＜60（x-1）-50x＜15

解得：6＜x＜7.5

x是正整数

x=7

50x=50×7=350

答：旅游人数为350人。

说明：此方法是由空座位的范围求解。

综上所述，“不空不满”问题条件变化多样，所以要谨慎审题抓准条件列出不等式组得出正确解，切记不要想当然，思路要准才能把握好此类问题。

（河北石家庄外国语学校）