转化与化归思想在高考复习中的应用

摘 要： 高中数学的许多问题都可以利用转化与化归思想解决.高考十分注重对转化与化归思想的考查，利用转化与化归思想解决问题占了较大的比重，成了历年高考数学考试的重点之一.通过对高考复习转化与化归思想的具体应用进行分析，可以进一步提高学生对转化与化归思想重要性的认识，提高应用转化与化归思想解决各种数学问题的能力.本文以立体几何为例，探讨转化与化归思想在高考复习中的应用.

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在解决数学问题时，常遇到一些问题直接求解较为困难，需将原问题转化为一个新问题通过对新问题的求解，达到解决原问题的目的.这种解决问题的方法用到的便是转化与化归思想.在转化与化归思想模式下，利用某种手段或方法将问题通过变换使之转化，从而达到解决问题的目的.在高考复习过程中，转化与化归是一个重要的考点，因此，对转化与化归思想应用的复习是一个十分重要的内容.本文以立体几何为例，分析高考复习中转化与化归思想在立体几何中的应用问题.

一、高考复习中应用转化与化归思想的指导原则

高考对转化与化归思想的考查范围较广，涉及各方面数学问题和知识.首先，数形转化问题，例如函数单调性和解析几何中斜率问题等.其次，常量和变量之间的转化问题，例如求范围和分离变量等.最后，关于数学各分支的转化问题，例如向量和解析几何等的转化，以及函数与立体几何的转化等.另外，还包括将各种实际问题转化为数学模型的情况.其中在立体几何中转化与思想贯穿于解题的全过程，是立体几何问题的基本思想和方法，在高考复习立体几何中应用转化与化归思想时，应遵循以下指导原则，提高复习的实效性.

1.以学生为主体

在以往的高考数学复习过程中，教师往往处于整个复习的主导地位，统领一切.学生只能机械地跟随教师的安排展开复习，处于被动状态.但是，高考对数学教育的要求使得高考数学复习过程中要注意以人为本，保证学生处于主体地位，具有较高的自主性.因此，在具体的复习过程中，教师要注意转变自身角色，扮演好引导者的角色，帮助学生自主复习.并积极采取有效措施，调动学生的复习积极性，增强复习效果.

2.以大纲为指导

在复习过程中，一定要注意紧密围绕考试大纲的具体要求，以考试大纲为指导.教师要注意带领学生一起深入分析研究最新的考试大纲的具体内容和要求，并回顾往年的考试大纲，找出区别，做到对考试内容和考点心中有数.同时，教师还要注意做好归纳总结工作，将考试大纲对不同数学知识的要求进行总结，并带领学生一起围绕考纲展开复习.

3.注重能力培养

高考十分注重对学生能力的考查，培养学生能力是高考教学复习的主要目的之一.因此，在复习过程中，要注意使学生获得各种利用转化与化归思想解决数学问题的能力，帮助学生养成良好的学习习惯，为进一步学习打好应用基础.

二、高考复习立体几何中转化与化归思想的应用

在解决各种高中立体几何问题时，可以利用转化和化归思想，将抽象的空间问题进行合理转化，变为具体的实数运算.从而降低运算难度，简化运算过程，提高解题效率.在具体应用向量知识解决立体几何问题时，首先要考虑需要用什么向量知识进行解题，具体需要用的向量有哪些.然后根据题意分析所需要的向量是否已知，则可利用已知条件转化成具体的向量.如果需要的向量不能直接转化，则要考虑选择用哪个未知向量进行表示，难度如何.在所需向量表示出来之后，便要分析怎样对其进行具体运算，以得到需要的结果和结论.

1.利用向量知识论证立体几何中的线面关系问题

例1：已知m、n是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ）

A.若m//α，n//α，则m//n B.若αγ，βγ，则α//β

C.若m//α，m//β，则α//β D.若mα，nα，则m//n

解析：根据向量中空间线与线，线与面的平行、垂直的相关知识，可以得出如果mα，nα，则m//n，即选项D为正确答案.

2.运用向量的坐标运算建立空间直角坐标系

例2：如图2，直三棱柱ABC―ABC，底面ABC中，CA=CB=1，∠BCA=90°，AA=2，M、N分别是AB、AA的中点.

图2

（1）求的长；

（2）求cos的值；

（3）证明：ABCM.

分析：在解题时，我们可以利用向量知识，建立空间直角坐标系O-xyz，找到点的具体坐标，并得出向量的坐标.在建立坐标系之后，要能够准确找到点的具体坐标.我们可以先在底面坐标面xOy内找到点A、B、C的具体坐标，并利用向量的模和具体的方向，将其他点的具体坐标找出来.

（1）解：如上图2所示，我们以点C为原点，建立空间直角坐标系O-xyz.

由题意可得：点B、N的坐标分别为：B（0，1，0），N（1，0，1）.

可得||==.

（2）解：由题意可得点A，C，B的坐标：A（1，0，2），C（0，0，0），B（0，1，2）.

=（1，-1，2），=（0，1，2）

・=1×0+（-1）×1+2×2=3

||==

||=

cos=

（3）证明：由题意可得C（0，0，2），M（，，2）

=（，，0），=（-1，1，-2）

・=（-1）×+1×+（-2）×0=0，

ABCM.

3.利用向量知识解决立体几何中的角度问题

例3：如下图1所示，已知平行六面体ABCD―A1B1C1D1的底面ABCD为菱形，且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD.

图1

（1）求证：CCBD.

（2）试求的值为多少的时候，A1C垂直于面CBD？

解析：这道题目考查的主要是立体集合中的垂直和夹角等问题，培养学生解读几何图形的能力.通过分析题意，我们选择利用向量知识，实现线面位置关系和数量关系之间的转化.我们可以利用aba・b=0，即互相垂直的两条直线的向量的数量积为零，证明两条直线的垂直关系.

解答：

（1）证明：设=a，=b，=c.则由题意可得|a|=|b|.

设、、两两所成夹角均为θ，可得=-=a-b，

即・=c（a-b）=c・a-c・b=|c|・|a|cosθ-|c|・|b|cosθ=0，

CCBD.

（2）解：想要证明AC面CBD，则需要证明ACBD，ACDC，

由・=（+）・（-）=（a+b+c）・（a-c）

=|a|+a・b-b・c-|c|=|a|-|c|+|b|・|a|cosθ-|b|・|c|・cosθ=0，

可得，当|a|=|c|时，ACDC.

同理可得，当|a|=|c|时，ACBD，

当=1时，AC面CBD.

三、结语

作为一种重要的高中数学思想，转化与化归思想是高考复习的重点内容.深入领会转化与化归思想，并掌握转化与化归思想的应用方法等，对提高高考数学复习效率和质量是大有裨益的.在高考复习中，教师应帮助学生深刻领悟并掌握转化与化归思想，充分发挥学生的主观能动性，最大限度地提高高考复习效率.

参考文献：

[1]王陈勇，陈智猛.化归与转化思想视角下几何问题的变式与探究[J].福建中学数学，2012，（3）：4-6.

[2]王晓萍.浅谈化归思想在立体几何教学中的应用[J].新课程学习・中旬，2013，（7）：102-102.

[3]武绍芳.例谈转化与化归在高中数学解题中的有效应用[J].理科考试研究（高中版），2013，（4）：11-12.