“数形结合”:对话高中数学解题能力的快速提升

[摘 要]发端于1951年《数学通报》中的中国数学教育界的主要习语“数形结合”历经了几十年的发展沿革，已成为重要的数学思想方法之一，并贯穿于中学数学的始终。以“数形结合”在方程中的应用为切入点，探讨如何快速提升高中生的数学解题能力。

[关键词]数学思想；数形结合；方程思想；方程根；解题能力

[中图分类号]G0000

[文献标识码]A

[文章编号]2095-3712（2015）08-0067-03

[作者简介]解赞斌（1964―），男，河南灵宝人，江苏省南京师范大学附属中学江宁分校教师，中学高级。

以“高度抽象、逻辑严密”著称的数学课程，一向被众多高中生视为学习“雷区”。那么，如何培养学生的抽象思维能力，从具象的事物中抽象出数量和空间关系，则成为高中数学教学中的重中之重。一直傲居高中数学四大思想之首的“数形结合”思想，以其不可替代的优势，即灵动的思路、简洁的过程、多样的方法为面临高考压力的莘莘学子找到了一条快速提升解题能力的捷径。

一、“数形结合”思想的释义

深入剖析数学问题的根本所在，把静态的数量与立体的图形结合起来，进行诠释、探究并最终解决问题，即是“数形结合”思想的精髓。说起来，数形结合这一思想的真正助推者，则是中国数学界的传奇人物华罗庚先生，“数与形本是两依倚，焉能分作两边飞。数缺形时少直观，形少数时难入微……切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离”。其以文学范式对数学习语的精准描述，使得数形结合获得了数学界的一致认同，并得以广泛应用。

高中学生在几年的数学学习中，虽然分析方法和解决能力得到了一定的训练，数学思维亦有了雏形，但面对知识的抽象度高、密集度大等特质，经常会抓不住要点。而“数形结合”思想则像一把利剑，通过“以形助数，以数解形”的路径，使复杂问题简单化，抽象问题具象化，有助于学生对数学问题本质的掌控，它是数学的严谨的规律性与灵活性的完美结合。但是，在运用“数形结合”思想解题的实践过程中，由“形”到“数”的转化，往往一目了然，而由“数”到“形”的转化，却需要学生有极强的数学思维的转化意识。因此，要想真正做到高中数学解题能力的快速提升，在“数形结合”思想的实践中，更要侧重于训练学生由“数”到“形”的转化能力。

二、“数形结合”思想在高中数学解题中的践行

综上所述，“数形结合”是高中学生认识、理解、掌握数学解题方法的重要手段，把“数形结合”思想引入高中数学解题中，对于面临高考的高中生来说，找到这样一条适宜自己且易于掌握的快速提升数学解题能力的方法，就显得尤为重要。若把握得当，很多问题便能迎刃而解。下面就通过实例进一步解读这一数学思想在高中数学实践中的应用。

（一）助推解决方程解的个数问题

一般说来，求解方程解的个数问题一般可以归结为函数的交点个数问题，因而，利用函数的图形就可以快速判断方程解的个数。

分析及解：该问题的解决可以借助于二次函数的根的分布的相关知识，但其问题是，在整个求解过程中，学生对其等价的充要条件的掌握不够，并且运算量相对偏大。所以，如果巧妙运用“数形结合”思想，则可以将问题加以转化，变为抛物线y=x2-32x与直线y=k的交点个数问题，然后利用这两个函数的图像，则可得k=-916或-12≤k

在平面直角坐标系中作出两个函数的图形，如图4，形中觅数，可直观地看出两曲线有3个交点。

（二）利用“数形结合”解决方程根的分布问题

方程f（x）=0的实根实际上是函数f（x）的图像与x轴交点的横坐标，确定方程f（x）=0的实根的情况可以根据函数f（x）与x轴的交点状况而定，即通过f（x）=0y=f（x）的相互转化，然后借由函数y=f（x）的图像即可全面解决问题。

三、巧避“数形结合”思想解题误区

利用数形结合思想，可以快速提升学生的解题能力，但是，在具体运用数形结合思想时，学生往往忽略“数”与“形”的等价原则。在运用数形结合思想解题的过程中也容易出现一些误区，例如，图形画得不够完整、精准，观察图形不够细致，图形的选择不够合理等，这些都会导致解题的错误。所以，在学生解题的过程中，尤其要注意与运算相结合。

数形结合思想在高中数学解题中的应用很广泛，若要快速提升高中生的数学解题能力，就要使这一思想渗透到学习新知识和应用知识解决问题的过程之中。有意识地加强这方面的训练，提高学生的数学思维水平，对高中生数学的学习是非常必要的。通过上述案例的诠释，我们可以领略到“数形结合”在解题中的美妙所在，二者的完美结合，可实现优势互补，从而收到事半功倍的功效。但在日常的解题过程中，为避免其双刃剑的诱惑和危险，还应注意全面分析，严谨演绎。

参考文献：

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