函数值域的若干求法

一、直接法(观察法)

通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域.

例1求函数y=3+2-3x的值域.

点拨根据算术平方根的性质，先求出2-3x的值域.

解由算术平方根的性质，知2-3x≥0，

故y=3+2-3x≥3.

所以函数的知域为［3,+∞).

点评算术平方根具有双重非负性，即：（1）被开方数的非负性，（2）值的非负性.

本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法.

二、配方法

当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域

例2求函数y=x2+x+2的值域.

点拨将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求.

解由y=-x2+x+2,可知函数的定义域为x∈［－1，2］.

此时-x2+x+2=-(x-12)2+94∈［0,94］.

所以0≤-x2+x+2≤32,函数的值域是［0,32］.

点评求函数的值域不但要重视对应关系的应用,更要注意定义域对值域的制约作用.配方法是数学的一种重要的思想方法.

三、判别式法

若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域.

例3求函数y=2x2-2x+3x2+x+1的值域.

点拨将原函数转化为自变量的二次方程，应用二次方程根的判别式，从而确定出原函数的值域.

解将上式化为(y-2)x2-(y-2)x+(y-3)=0.（）

当y≠2时,由Δ=(y-2)2-4(y-2)(y-3)≥0，

解得2

当y=2时,方程（)无解.所以函数的值域为(2,103］.

点评把函数关系化为二次方程F(x,y)=0，由于方程有实数解，故其判别式为非负实数，可求得函数的值域.常适应于形如：y=ax2+bx+cdx2+ex+f及y=ax+b±cx2+dx+e的函数.

四、中间变量法

若函数只含x2项或只含sinx,cosx项，可借助x2≥0,0≤|sinx|≤1（有界性）解决.

例4求函数y=x2+4x2-1的值域.

解由y=x2+4x2-1得x2=y+4y-1.又由x2≥0得y+4y-1≥0，解得y≤-4或y>1.所以函数值域为(-∞,-4］∪(1,+∞).

五、图象法

通过观察函数的图象，运用数形结合的方法得到函数的值域.

例5求函数y=|x+1|+(x-2)2的值域.

点拨根据绝对值的意义，去掉符号后转化为分段函数，作出其图象.

解原函数化为y=-2x+1

3

2x-1(x≤1),

(-1

(x>2).

作出它的图象（略）.

显然函数值y≥3,所以，函数值域为［3，+∞）.

点评分段函数应注意函数的端点.利用函数的图象求函数的值域，体现数形结合的思想.是解决问题的重要方法.

求函数值域的方法较多，还适应通过不等式法、函数的单调性、换元法等方法求函数的值域.

六、单调性法

利用函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求值域.

例6求函数y=4x-1-3x(x≤13)的值域.

点拨由已知的函数是复合函数，即g(x)=-1-3x，y=f(x)+g(x),其定义域为x≤13，在此区间内分别讨论函数的增减性，从而确定函数的值域.

解设f(x)=4x,g(x)=-1-3x(x≤13),易知它们在定义域内为增函数，从而y=f(x)+g(x)=4x-1-3x

在定义域{x|x≤13}上也为增函数，而且y≤f(13)+g(13)=43,因此，所求的函数值域为｛y|y≤43｝.

点评利用单调性求函数的值域，是在函数给定的区间上，或求出函数隐含的区间，结合函数的增减性，求出其函数在区间端点的函数值，进而可确定函数的值域.

七、换元法

以新变量代替函数式中的某些量，使函数转化为以新变量为自变量的函数形式，进而求出值域.

例7求函数y=x-3+2x+1的值域.

点拨通过换元将原函数转化为某个变量的二次函数，利用二次函数的最值，确定原函数的值域.

解设t=2x+1(t≥0),则x=12(t2-1).于是

y=12(t2-1)-3+t=12(t+1)2-4

≥12-4=-72.

所以原函数的值域为［-72,+∞).

点评将无理函数或二次型的函数转化为二次函数，通过求出二次函数的最值，从而确定出原函数的值域.这种解题的方法体现换元、化归的思想方法.它的应用十分广泛.

以上是高中阶段最为常见的求函数值域的几种方法.