关于矩阵分析课程教学改革的探讨

[摘 要] 作为一门工具课程，矩阵分析实用性强且使用方法灵活多变。为了加强学生的实践能力，适应应用型人才发展的需要，在传统的矩阵分析教学过程中加强与其相关的数学实验教学是进行矩阵分析课程教学改革的一个重要方面。本文从教学模式、教学内容和教学手段三方面对矩阵分析的课程教学进行了探讨。

[关键词] 矩阵分析；Matlab软件；教学模式；教学内容；教学手段

[基金项目] 黑龙江省高等学校教改工程项目（JG2013010358）

【中图分类号】 O151.21 【文献标识码】 A 【文章编号】 1007-4244（2013）11-095-2

矩阵分析是高等学校理工科本科高年级的一门重要的工具课程，与优化理论、微分方程、运筹学、控制论等数学课程有着密切的联系，在经济管理、社会科学及其他科学技术领域都有广泛的应用。加强与矩阵分析相关的数学实验教学是课程教学改革的需要，也是高校理工科培养应用型人才的需要。

一、矩阵分析课程教学改革的必要性

矩阵分析课程以线性代数和微积分为基础，通过进一步介绍线性空间、欧氏空间与酉空间及空间上的线性映射，深刻地揭示有限维空间上的线性变换的本质与思想。同时，引入了矩阵的Smith标准型、Jordan标准型、Hermite二次型的相关理论与矩阵的LDU分解、QR分解、奇异值分解等理论，并通过引入向量范数和矩阵范数在有限维空间上构建了矩阵分析理论.随着计算机技术的飞速发展和社会对应用型人才的大量需求，矩阵分析课程教学改革是十分必要的。

（一）传统的教学内容和教学模式的弊端突显

传统的只重视教授理论和计算技巧，课时限制使得学生的课堂练习较少，从而课堂教学变得枯燥乏味，降低了大部分学生的学习兴趣。另外，传统的教学忽视了与矩阵分析相关的实验教学环节，这使得学生即使掌握了一定的理论基础，真正能够以其为工具去解决实际问题的能力却很低。因此，传统的矩阵分析教学已经不能完全适应社会的发展，需要进行适当的教学改革。

（二）科学计算软件工具的出现和解决实际问题的需要

随着现代科学技术的发展，人类的科学计算能力受到大规模或超大规模矩阵计算问题的不断挑战，如图像处理过程中、基因图谱计算过程中、工业生产和物流管理中的大规模数据矩阵的计算等。因此，在矩阵分析教学中引入实验教学内容可以加强学生的解决科学计算的能力。

二、矩阵分析课程教学改革的实践

（一）实践中的教学模式

矩阵分析课程新的教学模式应体现出理论与实践的紧密结合，根据课时要求，采用以课堂矩阵理论为主，实验上机教学为辅，三周课堂教学结合一周实验教学的方式。课堂教学中应从理论上讲解清楚矩阵作为有限维空间上的线性变换，有哪些常用的形式及如何体现空间结构上的关系，使学生掌握矩阵理论中的基本概念、基本原理和基本方法。实验上机教学适合采用机房上课的形式，教师与学生为教学过程中的双主体，教师主讲，学生单人单机操作。在使用过程中，教师在主机上动态演示，讲解的同时引导学生思考，并掌握授课节奏。讲解结束后，学生通过上机操作熟悉软件的使用，掌握进行矩阵计算的相关命令，并通过所学理论进行编程计算，从而更牢固地掌握矩阵理论，理解和巩固矩阵的数值计算思想。

（二）新教学模式下的加强Matlab实验教学内容的改革

从应用的角度来说，矩阵代数是数值分析的重要基础，矩阵分析是研究线性动力系统的重要工具。为了加强矩阵理论的实用性，可以使用Matlab（矩阵实验室）解决矩阵代数与分析的计算问题。Matlab是目前最流行的用来处理相关矩阵科学计算问题的一种数学软件，由美国Mathworks公司出品，将矩阵运算、数值分析、图形处理、编程技术结合在一起，是一款功能强大的科学分析计算和程序设计工具。在欧美等国家的高校，Matlab已经成为线性代数、自动控制理论、动态系统仿真等高级课程的基本教学工具，成为攻读学位的本科、硕士、博士生必须掌握的基本技能。

基于Matlab软件的矩阵分析实验课内容设置应包括如下基本内容：

（1）Matlab的启动和退出方法及运行窗口的组成；

（2）建立矩阵的方法；

（3）矩阵基本运算各种表达式的书写规则及常用函数的使用，包括矩阵的加减乘除运算、幂矩阵、可逆矩阵、转置矩阵及矩阵多项式、矩阵的微积分的运算及求矩阵的秩、迹、行列式、范数、特征值、特征向量的方法；

（4）生成特殊矩阵的方法；

（5）矩阵分解的方法，包括矩阵的可逆方阵的三角（LU）分解、任意满秩矩阵的正交三角（QR）分解、对称正定矩阵的Cholesky分解，以及任意方阵的Schur分解、Hessenberg分解、SVD分解等，并理解其数学含义；

（6）矩阵求逆法解线性方程组和矩阵分析的基本方法；

（7）矩阵分析实验报告的书写，包括实验名称、实验目的、实验内容及要求、实验方法与步骤及实验结果。

下面以矩阵的LU分解和矩阵求逆法解线性方程组为例，说明实验课教学的步骤。

例：实验1 可逆矩阵的LU分解

（1）基本原理：矩阵的LU分解就是将一个矩阵表示为一个变换下三角矩阵和一个上三角矩阵的乘积形式，可以利用Gauss消去法进行消元处理。线性代数中已经证明，只要方阵A是非奇异的（即可逆的），LU分解总是可以进行的。当L为单位下三角矩阵而U为上三角矩阵时，此三角分解称为杜利特（Doolittle）分解；当L为下三角矩阵而U为单位上三角矩阵时，此三角分解称为克劳特（Crout）分解。因此，矩阵的三角分解不唯一。

（2）基本定理：Gauss消元过程能够进行到底的充分必要条件是n阶矩阵的前n-1个顺序主子式都不为零。

（3）基本方法：利用n阶可逆矩阵A的初等行变换化矩阵为上三角矩阵

（4）MATLAB实现：Matlab软件提供的lu函数用于对矩阵进行LU分解，其调用格式为：[L，U]=lu（X）：产生一个上三角阵U和一个变换形式的下三角阵L（行交换），使之满足X=LU，其中X是可逆矩阵。

实验2 矩阵求逆法解线性方程组

（1）基本原理：线性方程组的一般形式为Ax=b，当矩阵A可逆时可得线性方程组的解。

（三）新教学模式下教学手段的改革

由于矩阵分析课程在理工科高年级开设，其课时安排有限，如果增设相应的实验课程，则需要教师在更紧凑的课时下完成传统教学下的所有内容。为了提高教学效率，矩阵分析课程可以利用多媒体技术展开，将概念、定理内容、例题及练习题目、基本思想原理通过CAI课件进行展示，从而将课堂时间集中在定理及原理的证明和分析过程中；另外，实验课教学过程中，教师需要列出已有的与实验课程有关的原理、数值求解过程、Matlab代码，从而将时间节省下来，使学生作为教学主体集中进行上机操作练习，加深对已有知识的理解，增强实践能力。

三、结束语

矩阵分析课程教学改革是提高矩阵分析教学质量的基础。加强与其相关的数学实验教学，以学生为主体进行实践，增添了矩阵分析知识教学的趣味性，使学生对矩阵分析课程的数学理论部分有了更深入的理解，实践动手能力得到了进一步增强，为今后在相关专业及研究生学习阶段的应用奠定了理论和应用基础。

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