探讨二次方程解的情况

【摘要】二次方程是中学阶段数学学习的一个重要的知识，它联系着二次函数、二次不等式，起着一个举足轻重的作用。二次方程的研究则依靠二次函数的图像进行分类讨论，对不同的题型存在不同的分类标准，使解答过程变得更加简单，从而让学生更好的利用二次方程、二次函数和二次不等式的特征去解决一些更复杂、更难理解的题型。

【关键词】二次方程；解

二次函数、二次方程、二次不等式这三个知识点在高中阶段中占有很重要的作用，无论是解决未知数的取值范围、求最值问题，还是求单调区间都与之密切相关。而许多学生对于二次函数的图像不熟悉，对于图像的平移无法理解，从而对许多的变形题目无从下手，使自己的学习得不到提高。在此，我针对二次方程 根的情况利用一些题型进行研究。下面我们先从方程 开始，先因式分解 得 或 。当方程变为 时，图像随 的取值不同而移动。 时图像往上移动， 时图像往下移动。利用判别式 ，得 时方程有两个不等根为 ， 时方程有一根 ， 时方程无根。

对于方程 的复合变形题，除了判别式的分类以外，还要求对所求根的正负值进行讨论，因此讨论的分类标准肯定增加，从而使学生更加难以把握。例如： ，令 ，则 ，原式为 ，当 时，即 方程无解；当 时即 ， ，而 无解；当 即 ，当时 无解，当 时，则要求 ， ， ，方程只有一个根。由上面的解题过程可知，对于较复杂的题目，若只依靠代数的运算过程，我们无法快速地寻找到简单的运算，若代数与图像的综合运用，就会使计算过程简单，从而更快地找出答案。如图1可知，对于方程 ，只有 时才存在正数根， ，

又如方程 ，令 ，则 ，函数 为单调增函数，方程 由右图可知，当 时图像在x轴上方，方程无解；当 时，图像与x轴只有一个交点，方程只有一解， ， ；当 时，图像与x轴有两个负交点，方程有两解， ， 或 ；当 时，图像与x轴只有一个负交点，方程只有一解， ， 。因此不同 的取值方程就存在不同的解，而解的大小也有所不同。

以上的例子是针对一重复合函数的解答过程，而对于二重复合函数则要求更高，它在一重函数的基础上还要对新一重函数进行新的分类讨论。因此在进行讨论时一定要制定一个较详细的分类标准，同时在进行计算时要求更加细心。例如方程 ，令 ，则 ，同时 ， ，函数 的图像如图2所示，有四个单调区间， 在 和 内为减函数，在 和 内为增函数。由方程 可知，当 时方程无解；当 时， ，图像与函数 有四个交点，方程有四解， ， 或 ， 或 ；当 时， ，且 ， ，图像与函数 有八个交点，方程有八解，所以 或 ， 或 或 或 ，所以 或 或 或 ；当 时， ，图像与函数 有三个交点， 图像与函数 有两个交点，所以方程有五解， 或 ，所以 或 或 ，所以 或 或 ；当 时， ，图像与函数 有两个交点，方程有两解，而 时，方程无解，所以 ， ， 。通过上面的例子我们可以知道，对于复合函数的解的情况，我们必须要掌握分层讨论，而讨论过程一定要与图像结合，这样就可以准确解答。

以上的几个例子只针对方程 解的情况进行了一些讨论，对于其它与二次函数、二次方程、二次不等式相关的题型都可以利用这样的方法进行归纳整理。除了指数函数、二次函数以外，也可以与三角函数、对数函数、分数函数等进行复合，从而得到另外的一些典型的解题方法，把二次函数的解法推广到更加广泛的领域。

参考文献

[1] 《二次方程的求解》 范鸿 《中学生数学》

[2] 《一元二次方程求解若干方法》 范子坚 《数学教师》

[3] 《以‘一元二次方程’为例看数学单元教学设计策略》

戴学通 《新课程研究》