转化与化归思想的理解及运用

摘要：数学思想是数学学习中的重要一方面，掌握数学思想不但是学好数学的一个重要体现，也是学好数学的必要方法。数学思想有很多种，如常见的如转化和化归思想就是其中的一种。高考除了考查学生对知识点的掌握程度外，还考查学生们的理解和运用的能力，就是理解数学思想并利用数学方法进行解题的能力。

关键词：数学思想 数学方法 转化思想 方法应用

转化和化归思想是解答数学问题中常用的思想方法。它不仅仅是一种常用的数学思想和数学方法，还体现了一种数学的能力。在数学学习的过程中处处都体现着转化和化归思想。比如一道立体几何的题目可以转化成平面几何来解决，或者在解决几何问题中，也可以通过化归将几何问题变为代数问题。下面我将结合教学实践，谈谈有关转化和化归思想的理解及运用。

一、如何理解转化和化归思想

转化，简单的理解就是把一个问题变成了另一个问题。转化是数学中最常用的思想，转化的本质在于使问题简单化，明朗化。常见的转化有一般与特殊的转化、等价转化、复杂与简单的转化、数与形的转化、构造转化、联想转化、类比转化等。

转化和化归思想是解决数学问题的基本方法，因为在解决问题中常用到的其他方法如分类讨论的思想，或者是数形结合的思想，其实都可以把它们归结为转化与化归思想。比如分类讨论可以理解为一般与特殊的转化，数形结合可以理解为数与形的转化。因此，转化和化归思想成了数学思想方法的一条主轴，从这方面可以有效促进学生理解数学思想方法，理解转化、化归的思想方法。数学题目的解答过程也可以理解为是一步步转化的过程，化归也一样，实质就是不断对条件或者命题进行变更的过程。

二、转化和化归的目的

运用每一种数学思想，都必须先要有一个目的，根据目的去选择适当的数学方法，是解决问题的一般步骤。转化与化归的目的主要有这么几个：（1）将较为复杂的问题转变为简单的问题。（2）使问题在表现形式上更加和谐统一，让问题中所涉及的量和形以及条件和结论的关系更加恰当和匀称，利于问题的解决。（3）使抽象的问题变得更加具体。（4）使问题转向对立面，也就是当正面解决不了一个问题的时候，可以把问题转化为考虑反面，从另一个角度去考虑和解决问题。

三、转化和化归的一些具体方法

如何去实现转化与化归，在实际的解题过程中也存在一些具体的方法：

（1）直接转化法：就是把问题转化为与基本定理和基本公式、或者是一些基本图形相联系把问题，这样就可以简洁快速地解决。

（2）换元法：换元法的使用大部分都是为了使运算更为简便，可以把式子中一些固定的且较复杂的部分替换为其他的字母或式子。这样就可以进行降幂，或者是把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为更容易解决的问题。

（3）数形转化法：数形转化就是数形结合的方法，数形转化可以把问题中的数量关系与图形相互联系，相互转化。

（4）构造法：根据题目中给出的已知条件"构造"出一个易于解决问题的数学模型。

（5）坐标法：坐标法多用于解决几何问题，这个方法也类似于数形转化的方法，把几何中的行转化到坐标系中变成了量。

（6）特殊化方法：把一个普通的问题形式转化成一个特殊的问题，并证明经过特殊转化后所求得的结论也是原问题的结论。把已知问题的形式向特殊问题的形式转化，并证明经过特殊化后的结论适合原来问题。

四、转化和化归思想的实际运用

转化和化归思想在实际运用中有多种不同的形式和转化情况，常见的有函数、方程、不等式之间的转化。如：已知函数f（x）=x +3x+tlnx。函数f（x）在区间（0，2）上为单调增函数，求实数t的取值范围。

像这样的问题，就是典型的函数与不等式之间的转化。由函数的单调递增性可以转化为不等式恒成立这个条件，再把参数分离出来，求出函数的最值，最后在确定实数t的取值范围。函数与方程和不等式是紧密相连的，三者之间能相互转化。在解决函数问题的时候，可以转化为方程或者不等式的问题。这三者之间的转化可以将复杂的问题变得更简单，一般来说，可以将不等关系转化成最值的问题，再根据已知条件求出参数的取值范围。

转化和化归在一些特殊类的问题上也起着非常重要的作用。看这么一个问题：有7张卡片分别写着数字1，2，3，4，5，6，7，，甲、乙 二人依次从中抽取一张卡片（不放回），试求甲、乙二人至少抽到一张偶数数数字卡片的概率。

显然，甲乙两人至少抽到一张偶数数字卡片的情况有很多种，要分情况列出来也比较麻烦，那么，我们就可以用转化的方法先求出对立事件的概率，也就是至少抽到一张奇数数字卡片的对立面是都没有抽到偶数数字卡片，也就是甲乙两人都抽到奇数数字卡片，那么通过对立事件的概率就可以求出原事件的概率。一般地，题目中如果出现"至多"或"至少"等词语，那么题目中符合条件的情况是有很多种的，成立的情况有很多种，那么它的对立面，不成立的情况相对就很少，可能只有一种，那么这个时候就可以从它的对立面来考虑解决问题。

另外，还有一个要点考向就是命题等价转化。命题的等价转化就是根据原来问题的特点转化命题，把原问题转化另外一个与之相关且容易解决的问题。这种方法在数学中也是常用到的。比如说在三角函数中，有关三角形变形的问题，一般可以将这个问题转化为更容易解的三角问题，可以转变角度或者函数等起到化暗为明的作用。除了转化问题外，像换元法，也是可以把一个复杂的方程、不等式或函数转化成更熟悉简单的形式。

五、结语

转化和化归思想是一种重要的数学思想，也是一种数学能力的体现，学生们不但要掌握数学知识，还要懂得使用各种数学思想和数学方法来思考和解决问题。知识是固定的，但方法却是灵活的，现实中的问题也是各种各样的，只有善于利用各种数学方法来活用数学知识，才是真正的掌握了数学知识，获得了数学能力。

参考文献：

[1] 徐卫华，转换化归思想应用的几点思考，中学数学（高中版）上半月，2012年6期

[2] 吴芬，化归思想在高中数学解题中的应用，考试.高考数学版，2012年2期

[3] 杜胜英，高中数学中的转化与化归思想，金色年华（下），2011年5期