以应用性为导向的贝叶斯公式教学的一种新设计

摘 要 文章以学生熟悉的课堂互动为例，引入贝叶斯公式，并图解分析贝叶斯公式.通过典型案例教学，帮助学生更加深入地理解贝叶斯公式。

关键词 贝叶斯公式 应用 设计

中图分类号：G424 文献标识码：A DOI：10.16400/ki.kjdkz.2016.05.056

Abstract Taking students' class interaction as an example， this paper introduces and analyzes the Bayesian formula with diagram. Through the typical teaching cases， it might help students with better understanding of the formula.

Key words Bayesian formula； application； design

贝叶斯公式作为概率论中的重要公式，实际中应用非常广泛。贝叶斯公式既涉及到了全概率公式，又涉及到了条件概率，是教学的重点，又是教学的难点。本文利用问题驱动式、启发式等教学方法，遵循从旧知―新知―应用―能力提升的学习认识规律，引导学生积极思考，帮助学生深入地理解和掌握贝叶斯公式。

1 以“趣味性”为导向，引入贝叶斯公式

首先是引课环节，采用学生熟悉的课堂生活为故事情境，灵活运用现代教育教学技术，采用图文并茂的方式给出下列的情境对话。某天老师讲完一个重要的知识点，做一个课堂检测，叫小明来做一道四个选项的单项选择题。

教师：小明，你来做下第一题吧！

小明：嗯，选A。

教师：（呃，不会是猜对的吧？）嗯，很好，再来做下第二题！

小明：这个选B。

教师：（应该是掌握了吧！）嗯，非常好！

接着提出问题：那么，我们该如何解释，老师态度逐步转变呢？

首先作个简单的知识回顾：

条件概率①：设是两事件，且（）>0，称（O） = 为事件发生的条件下事件发生的条件概率。

全概率公式②：设实验的样本空间为%R，为的事件，，，…，为样本空间%R的一个划分，且（）>0（ = 1，2，…），则（） = （O）（）称为全概率公式。

然后，把故事情境量化出来。把做对题看作事件，掌握知识点记作事件，则（O） = 1， （O） = 0.25。做之前老师估计，小明掌握该知识点的可能性是0.2，即（） = 0.2，相应地（） = 0.8。这时候小明能做对题的概率（） = （）（O） + （） （O） = 0.4，换句话说，老师起初估计，小明能做对的概率并不高，而事实上小明做对了，有点出乎意料，说明之前对他掌握知识点的估计偏低了，所以在小明做对后，重新来分析他掌握知识点的可能性，也就是计算（O） = = 0.5，0.5比0.2高了，但从概率角度来讲0.5也不算大，所以老师担心小明是不是猜对的。考虑小明做第二题时，思路是一样的，只是这时候掌握知识点的概率要看成0.5，即（） = 0.5，同样计算一个条件概率

（O） = = = 0.8，

这个概率值相对比较大了，所以老师认为小明掌握的可能性也是比较大的，从0.2到0.5，在到0.8，数据很直观地反映了老师态度的转变过程。

事实上，用来计算条件概率的式子就是贝叶斯公式。

2 以“知识性”为导向，阐述贝叶斯公式

设实验的样本空间为%R，为的事件，，，…，为样本空间%R的一个划分，且（）>0，（）>0（ = 1，2，…），则（O） = ， （ = 1，2，…）称为贝叶斯公式。

贝叶斯公式从形式上看，就是通过计算在事件发生的条件下各个原因发生的可能性大小。贝叶斯公式理解的难点在于公式的复杂性，下面借助图示分析（图1），直观上揭示事件的内在关系，给出公式的证明过程，从旧知到新知，水到渠成。

要求（O），可以直接通过条件概率得到（O） = ，从图1上知 = ，根据可列可加性得（O） = ，分子、分母再用一次乘法，就得到贝叶斯公式了。

图1 贝叶斯公式图示

3 以“应用性”为导向，帮助学生深入理解贝叶斯公式

例1 （产品质量检测） 有一批同型号的产品，已知其中一、二、三厂生产的分别占15%、80%、5%，又知这三个厂的产品次品率分别为2%、1%、3%。现在从这批产品中随机取一件产品，发现是次品，问该次品是由哪个厂家生产的可能性最大？

解：设所有产品构成样本空间。用表示“取到一件次品”，用， = 1，2，3表示所取产品由第家厂生产，则，，是样本空间的一个划分，由题设可知：

（） = 0.15， （） = 0.8， （） = 0.05

（O） = 0.02， （O） = 0.01， （O） = 0.03

由贝叶斯公式有：

（O） = = = 0.24

同理可得：（O） = 0.64， （O） = 0.12，即次品来自二厂的可能性最大。

引导学生思考分析：二厂生产的次品率是最低的，为什么该次品来自二厂的可能性最大呢？因为在这批产品中，二厂生产的占了80%，这个比例不容忽视。

例2 趣味思考“一人传虚，十人传实”。③

模型建立：假如事件本身可信的概率为0.1，现有10个人，相互独立，若每人说谎的概率为0.4，传到第十个人时，认为事件可信度是否可以近似为1呢？

模型求解：第个人说事件可信记为， = 1，2，…，10，则

（） = 0.1， （） = 0.9，

（O） = 0.6， （O） = 0.4

根据贝叶斯公式，当第一个人说事件可信后，事件的可信度可修正为

（O） =

= = 0.14

当第二个人说事件可信后，事件的可信度可修正为

（O） =

= = 0.2

以此类推，当第十个人说事件可信后，的可信度可修正为0.86，也就是说明这十个人很有可能都说了真话，事件可信。在现实生活中，若说事件可信的人不是相互独立的而是串通一气的，众口同声，则会导致“谎话说得多了就变成了真理”的后果。“人言可畏”，“众口铄金，积毁销骨”等也是同样的道理，所以要判断众人说的真假，关键要看评论的人们是否相互独立，而且还要理智分析、擦亮眼睛。

贝叶斯公式应用的例子还有很多，比如伊索寓言中 “孩子和狼”的故事，可以建立诚信模型，④还有“临床诊断问题”、“股票行情分析”等等。寻找一些与学生生活贴近的的例子，不仅可以激发学生的学习兴趣，还能让学生感到学有所用。

4 结束语

通过采用学生熟悉的课堂生活为故事情境，引入贝叶斯公式，解决问题的同时提炼学习重点，体现了教学知识源于生活的基本特点，体现了数学学习由旧知变形演绎得到新知的基本特点，体现生活常识与数学公式的关系。经多次教学实践检验，将知识性和趣味性结合起来，科学地设置应用贝叶斯公式的题目，可以较好地提高教学效果。

注释

①②韩明.概率论与数理统计[M].同济大学出版社，2013.

③ 王君.贝叶斯应用教学的一种新设计[J].新疆师范大学学报（自然科学版），2011.30（4）.

④ 李春娥，王景艳.贝叶斯公式及其应用的教学研究[J].大学数学，2015.31（2）.