以“间隔排列”为例 谈数学思想渗透

教学案例：

1.出示主题图

师：图中有些什么？它们分别是怎样排列的？

生1：两个夹子中间有一块手帕，每两块手帕中夹着一个夹子。

师：像这种两个夹子中间隔着手帕，两块手帕中间隔着夹子的排列，叫做间隔排列。同学们在生活中看到过什么呈间隔排列的吗？（学生举例）

2.出示“手帕夹子图”

师：夹子、手帕各有多少？它们的个数有什么关系？

生2：夹子10个，手帕9条。

生3：夹子比手帕多1。

师：你是用什么方法知道的？

生4：数的。（多数学生赞同）

师：不用数，你能把那个多出来的夹子找出来吗？

生5：可能是第1个，也可能是最后1个。

师：为什么不是中间的夹子呢？

生6：是一样多。

师：哪部分是一样多？谁与谁一样多？

生7：第1个夹子后面跟着第1块手帕，第2个夹子后面跟着第2块手帕……最后一个夹子后面没有手帕，它就是多出来的。

师：很好。（指中间部分）原来这部分的夹子和手帕是——

生（齐）：一一相对的，也就是一一对应。

3.出示“兔子蘑菇图”“木桩篱笆图”

师：用刚才一一对应的方法分析它们的个数关系。（学生汇报，略）

4.建立模型

师：用“|”和“”把刚才的规律表示出来。

学生反馈：① |||||

② ||||

师：在①中，多一个“|”；在②中，多出来的是“”。原来多出一个的物体都在这种排列的什么位置？

5.出示

师：这里是多1个。

师（动画隐去小正方形，只剩下三角形）：这种排列还是间隔排列吗？物体数与间隔数有什么关系？

……

教后感悟：

1.善于把握教材，分析内容背后的思想

本课教学内容是“间隔排列”问题，这种排列是有规律的。以往教学常常引导学生发现这样的规律（以植树场景为例）：棵树-1=段数，段数+1=棵树。看似提纲挈领的总结，但很多学生却实在“翻译”不过来，无法理解。这些公式没有被学生内化，而是通过常规的操作训练熟记规律，不能用数学观点去看待法则和现象，难以感受数学思想方法。其实，这种间隔排列规律蕴含着“一一对应”的数学思想，不管“多1”“少1”，还是“相等”，都是在两种物体“一一对应”之后出现的情况。以知识和技能为载体，引导学生感悟数学思想，才能真正地理解与掌握数学知识，解决有关的生活问题。

2.占领思维高地，迁移已有的背景经验

“一一对应”思想对四年级学生来说并不陌生，早在一年级“比多、比少”的学习中就已经不自觉地运用了，成为学生的已有经验。面对教师的提问“夹子、手帕各多少？它们的个数有什么关系”，学生还是习惯地通过数一数找出答案，并没有真正感悟“两种物体个数相差1个”的关系。教师通过“不用数，你能把那个多出来的夹子找出来吗”的提问，激活学生已有的知识经验。找规律的过程，是一个不断有发现的过程，是一个审视、分析的过程，是一个让学生内心不断感受“原来如此”的过程。通过引导学生探究，使“对应”从隐蔽状态中敞亮，直至学生脱口而出“一一相对”。

3.提取思想本质，建立稳定的数学模型

用符号来表示模型，将特殊与一般融于一体，提供了把情境和规律两者分离与整合的机会，然后引导学生思考，在具体和概括、特殊与一般之间往返探究。在比较和变式中，进一步展示该模型的本质内涵，让学生做到抛开形象的符号，真正走向抽象，理解和掌握“一一对应”的思想。

4.追寻课堂本源，还原真实教学原生态

数学思想的渗透，更需要良好的课堂教学生态系统。首先，教师教材观的转变，不能唯教材，要个性化地解读教材，做到主动加工和创造。其次，教学设计要突出学生学习的主动性，利于学生根据先前的知识经验主动建构。课堂教学的展开要通过参与者的行为和相互作用而形成，允许学生与教师在互动交流中动态生成，使课堂教学成为师生共同创造的过程。

（责编 杜 华）