对称美在高等数学中的应用

提要对称美是数学美的一个重要组成部分，它普遍存在于初等数学和高等数学的各个分支。本文讨论数学中的对称美，并给出了对称美在高等数学解题中的应用。

关键词：数学美；对称美；对称性

中图分类号：G64文献标识码：A

引言

古希腊哲学家、数学家普洛克拉斯曾说：“哪里有数学，哪里就有美，哪里就有发现……”数学美是数学科学的本质力量的感性和理性的显现，是自然美的客观反映，是科学美的核心。数学美的内容十分丰富，对称美是数学美的一个重要组成部分，它普遍存在于数学的各个分支。

一、数学中的对称美

（一）代数中的对称美。对称是代数中随处可见的现象。譬如，实数a与-a互为相反数，复数a+bi与a-bi互为共轭复数，导数的运算法则，（u+v）'＝u'+v'，（uv）'＝u'v+uv'，这些有着明显的对称性。还有，原函数与反函数的图像关于直线y=x对称，偶函数的图像关于y轴对称，奇函数的图像关于原点对称，都给人以赏心悦目之感。

例1古人发现的“杨辉三角”，又称贾宪三角形、帕斯卡三角形，是二项式系数在三角形中的一种几何排列。

1

11

121

1331

14641

15101051

……

它具有的性质：

（1）每行数字左右对称，由1开始逐渐变大，然后变小，回到1。

（2）第n行的数字个数为n个。

（3）第n行数字和为2（n-1）。

（4）每个数字等于上一行的左右两个数字之和。可用此性质写出整个杨辉三角形。

“杨辉三角”形式上所具有的对称美和谐统一，令人叹为观止。

例2似乎黄金分割点（在?棕＝0.618处）不是对称点，但若将左端点记为A，右端点记为B，黄金分割点记为C，则■=■，而且C关于中点的对称点D也是AB的黄金分割点，因为■=■，再进一步，D又是的黄金分割点，C是DB的黄金分割点。由此讨论下去，可以视为一种连环对称。

（二）几何中的对称美。几何图形的对称美是对称美最通俗、最直观的解释。在几何图形中，平行四边形是中心对称的，等腰三角形是轴对称的，球形最为特殊，它既是中心对称，又是轴对称，也是面对称的图形。正如毕达哥拉斯所说：“一切立体图形中最完美的是球形，一切平面图形中最完美的是圆。”正是由于几何图形中有这些点对称、线对称、面对称，才有了美丽的图案，有了巧夺天工的建筑，进而渲染出五彩斑斓的世界。

在几何中，许多问题的解决也运用了对称性原理。笛卡尔创建的解析几何学可以说是美学思想在数学领域的成功运用。在笛卡尔直角坐标系中，代数方程与几何图形之间建立了一种对称，使代数与几何化为一体，达成完美的统一。而在各种曲线方程标准形式的推导中，更是充分利用了图形本身的对称性。

例3Couchy总喜欢把空间里过点（x1，x2，x3）的直线方程写成对称形式：

■=■=■

其中cos?琢、cos?茁、cos?酌为直线的方向余弦；同时，他把曲面方程z=f（x，y）写成对称形式F（x，y，z）=0，这样写不仅美观，而且便于书写和记忆。

例4在笛卡尔坐标系中，伯努利双纽线?籽2＝a2cos2?兹关于坐标原点对称，坐标原点是具有切线y=±x的拐点。曲线的形状类似于横写的阿拉伯数字8，更像表示无穷大的符号∞。

二、对称美的应用

（一）对称美在微分学中的应用。对称现象在微分学中并不少见。如，连续与间断，有限与无限，无穷小与无穷大，曲线的凹凸等概念前后呼应，成对出现。在多元复合函数求偏导数时，可以利用函数关于自变量的对称性简便计算。

定义1（对称多项式）若函数z=f（x1，x2，…，xn）中任意两个自变量交换后，仍然表示原来的函数，则称此函数关于自变量对称。

结论：若函数z=f（x，y）在点（x，y）处可微，且f（x，y）=f（y，x），则fx（x，y）=fy（y，x）。

由结论可知，对于二元的关于自变量对称的可微函数，求其关于y的偏导数，只需将函数关于x的偏导数中的x与y交换位置即可，此结论还可推广到n阶导数。

例5设函数u=■，r=■，证明：■＋■+■=0。

证明：■＝■・■＝－■・■=－■，■=■■=－■+■，由函数u=■，r=■关于自变量对称，则■=-■+■，■=-■+■，所以，■＋■+■=-■＋■＝0。

（二）对称美在积分学中的应用。对称性在积分学中的应用更是极为常见。在定积分的计算中，如果合理利用对称性，则可以大大地简化计算，达到事半功倍的效果。

例6计算积分■■dx，其中n为自然数。

解：令x=■-t，可将积分区间化为对称区间。

■■dx＝■■dt

＝±■■dt=0

例7计算积分■e■cosxdx。

解：令M=■e■cosxdx，可构造对称式N=■e■sinxdx，则，M+N=e■sinx，M-N=e■cosx，从而M＝■e■（sinx－cosx）＋c，M＝■e■（sinx＋cosx）＋c。

三、结束语

综上所述，高等数学中的对称性，不仅给我们带来了计算上的方便，更给我们的思维以启迪，从而促进创造性思维的萌生。在数学教学中，教师有意识地揭示数学中的对称美，加强数学美的审美教育，引导学生去发现数学美、欣赏数学美，学生的学习积极性必将会大大的调动起来，从而使我们的课堂展现出更强的活力与魅力。

（作者单位：河北金融学院）

主要参考文献：

[1]张清利，张国艳.由斐波那契数列谈数学美[J].北京广播电视大学学报,2004.4.

[2]朱永厂.谈数学美在数学解题中的导向功能[J].数学通报,2005.44.

[3]陈鼎兴.数学思维与方法[M].南京：东南大学出版社，2001.