重心与图形面积平分问题

初中数学课程标准实验教科书人教版八年级下123页的课题学习《重心》是数学与物理的一个交融点，介绍了物体重心的找法以及简面图形重心的确定方法，这个课题在数学领域及实际生活中有较强的应用价值. 下面将此课题在教材基础上作一些延伸和拓展，让我们共享探索的乐趣. 这里着重介绍一些平面图形的重心的确定方法以及重心在平面图形面积平分中的作用.

1 怎样确定平面图形的重心?

1.规则(如：线段、平行四边形、三角形、圆)图形的重心的找法我们从教材中已经学会，这里不再重述.

2.任意多边形(包括凹多边形)的重心，教材介绍用悬线法. 而我们对于一个几何图形，这种方法显然操作不方便. 我们常用的几何方法是分割法和填补法. 由悬线法可知，对于质地均匀的纸板，悬线两边的质量相等，所以悬线两边面积相等，也就是说，任意一条悬线都将图形面积二等分. 而重心又是悬线的交点，所以，确定多边形的重心，可以先将图形分割或填补成两部分，然后分别作出它们的重心，再过两重心作一直线，重心一定在这一直线上；尔后，换一种分割或填补的方法，用同样方法再作一直线，两直线的交点就是这个任意多边形的重心.

例如：作出下面图形(图1)的重心.

作图步骤：

(1)将图形分割成两个矩形，如图2：

(2)分别作出两个矩形的重心A、B

(3)作直线AB

(4)换一种分割(或填补)方式，再作出两个矩形的重心C、D，如图3.

(5)作直线CD，交AB于O，如图4.

所以，点O就是原图形的重心.

用这种方法还可以作出一些较为规则的曲线图形的重心，对于不规则曲线图形的重心的确定，我们用几何作图的方法就很困难了.

2 怎样将平面图形面积二等分?

作一条直线，把平面图形的面积二等分. 这是我们数学中经常遇到的问题，也是现实生活中的常见问题.

例如：有一块矩形木板，要将它锯成面积相等的两块，怎样锯，有多少种锯法?请画出图形.

我们常见的有以下画法(图5~图8所示)：

聪明的你，请想一想，这个问题的答案是不是只有四种锯法呢?

其实，结合重心的作法，我们很容易归纳结论：经过重心的任意直线都将图形面积二等分. 所以，上面问题的准确答案――有无数种分法. 如图9所示：

从这个简单的例子，我们可以看出重心在平面图形中的作用. 也可以进一步推广：任意图形都存在重心，只要经过重心作直线都可以将任意平面图形进行面积二等分，都有无数种分法.

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