递推公式求数列通项常用方法

摘要 ：每年全国各地高考数学试题中都少不了数列解答题，其中多数采用递推公式求数列通顶，本人根据多年教学经验并参考了多本参考书，总结出用递推公式求数列通项的常用方法，供大家一起探讨。

关键词 ：递推公式；数列通项；规律；方法

纵观近几年全国各地高考数学试题，在每套题目中几乎都少不了数列解答题，而其中多数采用递推公式和初始条件求数列通项或讨论数列性质。这类问题求解方法是高中数学重要内容，也是每年高考的热点。

在高一教材中明确给出了递推公式的概念：如果已知数列{an}的第一项（或前几项），且任一项an与它的前一项an-1（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做数列的递推公式。由相邻两项的关系给出的递推公式称一阶递推公式，由相邻三项的关系给出递推公式称为二阶递推公式。

一、累加法

形如an+1=an+f(n)型，可用累加法，解题思路：将an=an－1+f(n-1), an-1=an－2+f(n-2),…a2=a1+f(1),各式相加正负相消，即得an。

例（2007年高考数学北京理科卷第15题）

数列{an}中，a1=2 ，an+1 =an+cn（c是常数， n=1，2，3……），且 a1，a2，a3成公比不为1的等比数列．

（I）求c的值；

（II）求{an}的通项公式．

解：（I）a1=2 ，a2=2+c ，a3=2+3c ，

因为 a1，a2，a3成等比数列，

所以(2+c)2=2(2+3c) ，

解得c=0 或c=2 ．

当c=0 时，a1=a2=a3 ，不符合题意舍去，故c=2 ．

（II）当 n≥2时，由于

a2-a1=c a3-a2=2c ，

an-an-1=(n-1)c

所以 an-a1=[1+2+……+（n-1）]c= n(n-1) 2 c．

又 a1=2， c=2，故an=2+n(n-1) =n2-n+2(n=2，3，……)．

当n=1时，上式也成立，

所以 an=n2-n+2(n=1，2，……)．

二、累乘法

形如an+1=an f(n)型，可用累乘法。解题思路：将 an an-1 ＝f(n－1)， an-1 an-2 ＝f(n－2)，…， a2 a1 ＝f(1)，各式相乖得， an an-1 an-1 an-2 … a2 a1 = f(n－1) f(n－2)…f(1).即可得an..

例,在数列{an}中,a1=1, an an-1 = n n+1 ,求通项an.

解:由条件 an an-1 = n n+1 , 得, an an-1 an-1 an-2 … a2 a1 = n-1 n-2 n-2 n-3 … 1 2 = 1 n .

得an.= 1 n .

三、转化法

1、形如an+1=q.an.+d（q、d为常数，q≠0,d≠1）型，可通过待定系数法转变为等比数列。

设an+1+x=q(an+x), 即an+1=qan+qx-x,比较可得x= d q-1 ，an+1+ d q-1 =q(an+ d q-1 )，故{an+1+ d q-1 }是以a1+ d q-1 为首项，以q为公比的等比数列。

例（2007年高考数学全国理科卷I第22题）

已知数列 {an}中a1=2 ，an+1=( 2 -1)(an+2) ，n=1，2，3…… ．

（Ⅰ）求{an}的通项公式；

（Ⅱ）若数列{bn}中 b1=2 ，bn+1= 3bn+4 2bn+3 ，n=1，2，3……

证明： 2 ＜bn≤a4n-3，n=1，2，3…… ．

解：（Ⅰ）设an+1+x=( 2 -1)(an+x)(an+x)

an+1=（ 2 -1）.an+（ 2 -1)x－x

通过比较可得

（ 2 -1）x－x＝2（ 2 -1）

x= 2（ 2 -1） 2 -2

x=－ 2

即 an+1- 2 =（ 2 -1）（an- 2 ）．

所以，数列 {an- 2 }是首项为2- 2 ，公比为 2 -1的等比数列，

an- 2 = 2 ( 2 -1)n，

即an的通项公式为an= 2 [( 2 -1)n+1]， ，n=1，2，3…… ．

2、形如an+1=can+g(n)型，可用变换为an+1＋f(n+1)= c[an+f(n)]

如an+1=2an+n可设an+1+k(n+1)+b=2[an+kn+b]通过化简、比较、求系数的步骤得k=1、b=2,即{ an+n+2}是以a1+3为首项，以2为公比的等比数列。

如an+1=2an+n2可设an+1+[a(n+1)2+b(n+1)+c]=2(an+an2+bn+c)通过比较也可得出a、b、c的值。

不过用待定系数法解这类问题要注意两点:(1）使递推式等号两边的形式一致，保证能进行顺次迭代(2）待定系数要存在。

例（2007年高考数学天津文科卷第20题）

在数列{an}中，a1=2， an+1=4an-3n+1， n∈N*．

（Ⅰ）证明数列{an-n}是等比数列；

（Ⅱ）求数列{an}的前n项和Sn ；

（Ⅲ）证明不等式 Sn +1≤4Sn ，对任意n∈N*皆成立．

（Ⅰ）证明：由题设an+1=4an-3n+1 ，得

an+1-(n+1)=4(an-n)， n∈N*．

又a1-1=1 ，所以数列{an-n}是首项为1，且公比为4的等比数列．

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知an-n=4n-1，于是数列{an}的通项公式为an=4n-1+n

．

所以数列{an}的前n项和Sn= 4n-1 3 + n(n+1) 2 ．

3、形如an+1=qan+dn(an>0,c>0,q>0,q≠1)可变换成 an+1 dn+1= q d an dn + 1 d 令bn= an dn ,则转化为一阶线性递推估式

例（2006年高考数学全国理科卷第22题）

22）设数列{an}的前n项和

Sn,= 4 3 an- 1 3 ×2n+1+ 2 3 ,n=1,2,3,…

(I)求首项a1与通项an;

(II)设Tn= 2n Sn , n=1,2,3,…,证明: Σ n i=l =Ti＜ 3 2

解：（I）设a1=s1和题设可得a1=2

其次由an=sn－sn-1(n≥2)和题设得

an= 4 3 （an－an－1）－ 1 3 •2n

即an=4an－1＋2n

所以 an 4n ＝ an-1 4n-1 ＋（ 1 2 ）n

得an＝4n－2n，n=1,2,3…

4、形如an+1= can an+d （c、d为非零常数）取倒数得 1 an+1 ＝ d c • 1 an ＋ 1 c

例：（2006年高考理科数学江西卷第22题）

已知数列｛an｝满足：a1＝ 3 2 ，且an＝ 3nan-1 2an-1+n-1 (n≥2，n∈N*)

（1） 求数列｛an｝的通项公式；

（2） 证明：对于一切正整数n，不等式a1•a2•……an 2•n！

解；（1）将条件变为：

1－ n an ＝ 1 3 （1－ n-1 an-1 ）

因此，｛1－ n an ｝为一个等比数列，其首项为1－ 1 a1 ＝ 1 3 ，公比为 1 3 ，

从而1－ n an ＝ 1 3n ，

据此得an＝ n3n 3n-1 （n≥1）

5、形如an+1=canp(a>0,c>0,p>0,p≠1)可采用对数变换为

lg an+1=plgan+lgc

例（2006年高考数学山东理科卷第22题）

已知 a1=2，点(an，an+1) 在函数f(x)=x2+2x的图象上，其中 n=1,2,3,…

（1）证明数列｛lgan｝是等比数列；

（2）设 Tn=(1+a1)(1+a2)……(1+an)，求Tn及数列｛an｝的通项；

（3）记bn = 1 an + 1 an+2 ，求数列｛bn｝的前n项 Sn，并证明Sn+ 2 3Tn-1 =1

解：（Ⅰ）由已知an+1=an2+2an ，

an+1+1=（an+1)1

a1=2 an+1＞1，两边取对数得

lg(1+an+1)=2lg(1+an)

即 lg(1+an+1) lg(1+an) =2

{lg(1+an)}是公比为2的等比数列

（Ⅱ）由（Ⅰ）知 lg(1+an)=2n-1• lg(1+a1)=2n-1•lg3=lg32n-1

1+an=32n-1 （*）

Tn=(1+a1)(1+a2)……(1+an)

=320•321•……•32n-1

= 31+2+22+……+2n-1=32n-1

由（*）式得 an=32n-1-1

四、特征方程法：

若数列满足二阶线性递推关系an+1=pan+qan-1(其中p、q为常数)其特征方程为x2=px+q

1)若方程有两相异根A、B，则an=c1An+c2Bn

2)若方程有两等根A=B，则an=（c1+n c2）An

其中c1、c2可由初始条件确定。

例：（江西师大附中2007届高三第二次联考第22题）

已知数列{an}满足a1=5、a2=5，an+1=an+6an-1(n≥2)

（I） 求数列{an}的通项公式。

解：（I）此数列对应的特征方程为x2=x+6,即x2－x－6＝0，解得x1=3,x2=－2,设此数列的通项公式为an= c13n+ c2 (－2)n，由题意得

a1=5= c13+ (－2)

a2=5= c132+ c2 (－2)2

解得 c1＝1，

c2＝－1

故an＝3n－ (－2)n