关于圆周率π的几种计算方法

【摘要】本文主要讲述了如何运用微积分，级数和概率统计等高等数学的知识,并借助计算机Mathematica软件来求π的近似值。

【关键词】圆周率π；微积分

众所周知，圆周率π是平面上圆的周长和直径之比，它等于3.141592653….古人计算圆周率，一般是用割圆法.即用圆的内接或外切正多边形来逼近圆的周长.阿基米德（Archimedes）用正96边形得到圆周率小数点后3位的精度；我国宋代的祖冲之得到π的近似值为3.141592….后来进入到了大学，学习了高等数学，工程数学和概率论等课程，我们可以运用所学的知识来计算π的近似值，并通过Mathematica程序提高计算的精度.

１．运用微积分求π

由定积分的计算我们可知那么我们只要计算出这个积分的值就得到了π的值.

在微积分里，我们知道一般的要计算定积分,也就是计算曲线y=f(x)与直线y=0,x=a,x=b所围成曲边梯形T的面积.为此,用一组平行于y轴的直线x=(a), 将曲边梯形分成n个小曲边梯形，总面积S分成这些小曲边梯形的面积之和.如果取n很大，使每个小曲边梯形的宽度都很小，可以将它上方的边界f(x)()近似看作直线段，将每个小曲边梯形近似看作梯形来求面积，就得到梯形公式.具体公式如下：

梯形公式：设分点将积分区间 [a,b] n等分，记所有曲边梯形的宽度都为h，记=f（）.则第i个曲边梯形的面积近似的等于梯形面积.将所有的这些梯形面积加起来就得到,这就是梯形公式.

如果更准确些，将第i个小曲边梯形的上边界=f（）（）近似的看作经过三点（x，f (x)）( x =)抛物线段，就得到辛普森(Simpson)公式：

所以我们选取不同的n，用梯形公式和辛普森公式计算 的近似值.

选取n=1 000，10 000，100 000，…等，观察n值增加所导致的S值的变化情况，直到n的增加所导致的S的变化小于给定的误差界.给定的n越大那么π的值就越精确.此外还可以比较同一个n值下梯形公式和辛普森公式计算结果的差别，从而确定两个方程的精度差别.

2.运用级数求π

但是，这个式子不适合用来计算π，因为上这个无穷序列式收敛很慢，我们知道比1越小，该级数收敛的越快.所以我们令=arctan，由正切的倍脚公式可得tan 2= ，tan 4=.

设，故tan=，可得

所以,此外在高等数arcsinx也可以用来表示π.由于

积分得并令x=，得泰勒级数是无穷级数，实际计算的时候只能取它的有限项，会产生误差.我们可以简单的用下列公式来估算误差B,B

3.用概率模型的方法求π

法国科学家布丰曾经做过一个实验,取白纸一张,在上面画许多间距为l的等距平行线;取一根长度为s(s

证明略去（读者若有兴趣可以自行证明）.

受布丰实验的启发，利用单位圆与边长为1的正方形面积之比来计算π的近似值.在平面直角坐标系中，以O（0,0）,A(1,0),B(1,1),C(0,1)为四个顶点作一个正方形，其面积为S=1，以原点O为圆心的半径为1在这个正方形内作扇形，其面积为P=，.考虑扇形面积在正方形面积中所占的比例k,得出其结果为..在正方形中随机投入很n个点,使所投点落在正方形中每一个位置的机会均等.其中落在扇形内的点的个数m与投点总数n之比就是k的近似值.

上述是很浪费时间的，我们可以尝试用计算机模拟实验结果.（见附录）

附录 Mathematica 程序

(1)运用微积分求π

a=0;b=1;y[x_]:=4/(1+x^2);n=1000;

pis1=N[(b-a)/n*(Sum[y[a+i*(b-a)/n],{i,1,n-1}]+(y[a]+y[b])/2),50]

pis2=N[(b-a)/6/n*((y[a]+y[b])+2*sum[y[a+i*(b-a)/n],+4*Sum[y[a+(i-1/2)*(b-a)/n],{i,1,n}]),50]

2运用级数求π

n=100;pis=N[16*Sum[(-1)^(k-1)*(1/5)^(2k-1)/(2k-1),-4*Sum[(-1)^(k-1)*(1/239)^(2k-1)/(2k-1),{k,1,n}],50]

3用概率模型的方法求π

n=1000;p={};

Do[m=0;Do[x=Random[];y=Random[];If[x^2+y^2

AppendTo[p,N[4m/n]],{t,1,20}];Print[p];

Sum[p[[t]],{t,1,20}]/20■

【参考文献】

［１］杨筱珊.蒙特卡罗方法在定积分近似计算中的应用[J].安徽师专学报,1998,(2):34-40.

［２］张韵华.符号计算系统Mathematica教程[M].北京:科学出版社,2001.

［３］张德然.蒲丰投针问题的推广及其应用[J].阜阳师范学院学报,1997,(1):17-19.

［４］李尚志等.数学实验[M]. 高等教育出版社，2000.

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