妙用近似巧解第29届物理预赛压轴题

第29届全国中学生物理竞赛预赛压轴题是一道关于万有引力的试题，在《物理教师》2013年第5期上《第29届物理竞赛预赛压轴题解析》介绍：“通过与参加竞赛的学生交流发现，约占70%的学生用mg与h的乘积来计算引力势能的变化，这是习惯性思维，最终无法计算出正确的结果”.本题用常规方法真的解不出来吗？

1原题

一质量为m=3000 kg的人造卫星在离地面的高度为H=180 km的高空绕地球作圆周运动，那里的重力加速度g=9.3 m・s-2.由于受到空气阻力的作用，在一年时间内，人造卫星的高度要下降ΔH=0.50 km.已知物体在密度为ρ的流体中以速度v运动时受到的阻力F可表示为F=12ρACv2，式中A是物体的最大横截面积，C是拖曳系数，与物体的形状有关.当卫星在高空中运行时，可以认为卫星的拖曳系数C=1，取卫星的最大横截面积A=6.0 m2.已知地球的半径为R0=6400 km.试由以上数据估算卫星所在处的大气密度.

2思路

从动力学的角度看：卫星入轨关闭动力后，卫星只受万有引力和空气阻力作用，其中空气阻力作用使切线方向速度减小，理想化的匀速圆周运动变成近心运动，导致卫星轨道降低，在轨道降低的过程中，万有引力由理想化匀速圆周运动状态的只改变速度的方向变成既改变速度的方向又改变速度的大小，切线方向的速度在逐渐增大，即卫星的轨迹呈半径逐渐减小的螺旋状，本题若从动力学角度精确求解难度很大，而且偏离了题目只要估算将复杂问题简单化的要求.由于题目只要根据题中提供的数据估算卫星所在处大气的密度，解题的突破口应是从功能关系的角度对题中给予的信息进行近似处理.

现从能量的角度看：①由于卫星在一年的时间轨道才降低0.50 km，一年前的速度与一年后的速度不能看做相等，但是每一圈运动卫星所受的万有引力远大于空气的阻力，一年前与一年后可以近似看作两个匀速圆周运动分别求出初末动能；②在卫星轨道降低0.50 km这个范围内，可以认为题中所给的重力加速度大小不变，由我们在地面附近熟悉的重力做功模型可知，万有引力对卫星做的正功可以近似等效为卫星直接下落到起始位置正下方0.50 km卫星所在高度附近的重力所做的正功（此常用的结论证明如下：设地面重力加速度为g0，地球质量为M，在地面附近忽略地球自转的影响则有GMmR20=mg0，从地面h高处下落到地面有W引=（-GMmR0+h）-（-GMmR0）=GMmhR0（R0+h），当hR0时R0（R0+h）=R20，故W引=GMmhR20=mg0h=W重）；③在卫星轨道降低0.50 km这个范围内，卫星的每一圈非常近似为圆，轨道半径变化不大，可认为周期为恒量，因此空气阻力对卫星所做负功的过程可以将切线方向轨迹拉直等效为按初始阻力重复第一圈做负功的过程.综合以上三点可知，本题用动能定理即可求解.

3解答

卫星在一年前有

GMmR2=mv21R （其中R=R0+H），

卫星运动的周期有T=2πRv1，

卫星所在轨道处有GMmR2=mg，

又由已知得阻力有F=12ρACv21；

卫星在一年后有GMm（R-ΔH）2=mv22R-ΔH；

卫星在一年的时间t内运动的全过程由动能定理得

mgΔH-F×tT2πR=12mv22-12mv21；

联立（1）～（6）并利用（R-ΔH）R=R2解得

ρ=mΔHRACtgR，

代入数据得有ρ=1.54×10-13 kg・m-3.

本题解答的巧妙之处就是三处近似的应用，特别是第二处常用而又没引起注意的近似处理使本题的难度大为降低，并且可将超出高考考纲的竞赛题转化为高考考纲范围内的练习题，其解答比竞赛委员会的参考答案更为简洁巧妙.