相似中常见错误分析

相似中由于概念较多，结论抽象，初学的同学往往会出现这样或那样的错误.下面将常见的错误进行分析，希望你能够远离这些错误．

一、对多边形相似的理解错误

例1 在四边形ABCD与四边形EFGH中，∠A＝80°，∠B＝90°，∠C＝120°，∠F＝90°，∠G＝120°，∠H＝70°，四边形ABCD与四边形EFGH相似吗？

错解：在四边形ABCD中，由∠A＝80°，∠B＝90°，∠C＝120°，得∠D＝70°；

在四边形EFGH中，由∠F＝90°，∠G＝120°，∠H＝70°，得∠E＝80°．

∠A＝∠E，∠B＝∠F，∠C＝∠G，∠D＝∠H．

四边形ABCD与四边形EFGH相似．

剖析：多边形相似与三角形相似不同，除了对应角相等外，对应边也要成比例，二者缺一不可．

正解：根据已知条件，无法判定对应边是否成比例，

四边形ABCD与四边形EFGH不一定相似．

二、没有找准相似形的对应关系

例2 如图1，为了测量某建筑物的高度，小明用长为3m的竹竿做测量工具，移动竹竿，使竹竿、建筑物顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时，竹竿与这一点相距6m、与建筑物相距42m，则该建筑物的高度为 m.

错解：如图2，CD//AB，OCD∽OAB，

＝，即＝，AB＝21．即建筑物的高度为21m．

剖析：运用相似三角形对应边成比例的性质时，需找准对应边.OD的对应边是OB.

正解：如图2，CD//AB，OCD∽OAB，

＝，即＝，

AB＝24．即建筑物的高度为24m．

三、对相似三角形的性质掌握不牢

例3　如图3所示，∠C＝∠ADE，ABC与AED的面积比为，则它们的周长比是（ ）．

A． B． C． D．

错解：∠C＝∠ADE，∠A＝∠A，

ABC∽AED．

ABC与AED的面积比为，它们的周长比也是．

剖析：由“相似多边形面积的比等于相似比的平方”可得相似比为，相似多边形周长比等于相似比，因此，周长比为.选B．

四、忽视三角形相似的判定条件

例4 如图4，在梯形ABCD中，DC∥AB，对角线AC，BD相交于点O，过点O的直线分别交上下底边于E，F两点，则在图中与相等的比有（ ）.

A．4个 B．5个 C．6个 D．7个

错解：由DC∥AB易得到、、、、这5个比都与相等；又因为COD∽AOB可推出AOD∽BOC，所以==.因此共6个.选C.

剖析：由COD∽AOB得=，而要证明AOD∽BOC，已有一个对顶角∠AOD=∠BOC，还需要证明这两个角的两边对应成比例.但由=，只能推出=，显然不是=.故AOD不一定与BOC相似.

正解：选B.

五、缺乏分类意识

例5 在ABC中，∠B＝25°，AD是BC边上的高，并且AD2=BD·DC，则∠BCA的度数为 ．

错解：如图5，AD2=BD·DC，

=．

∠ADB=∠CDA，ABD∽CDA，

∠DAC=∠B=25°，

∠BCA=90°－25°=65°．

剖析：由于不知ABC的形状，高AD可能在ABC内部，也可能在ABC外部．

正解：分两种情况讨论：

（1）同错解；

（2）如图6，　同理可证ABD∽ACD，所以∠DAC=∠B=25°，

所以∠BCA=90°+25°=115°．

故填65°或115°．

例6 如图7，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在x轴上，OC在y轴上，如果矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的，那么点B′的坐标是（ ）．

A．（－2，－3）

B．（2，3）或（－2，－3）

C．（3，2）

D．（3，2）或（－3，－2）

错解：由矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的，得矩形OA′B′C′与矩形OABC的相似比为．如图8，点B′（3，2），选C．

剖析：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标比为k或－k．点B′的坐标有两个：（3，2）或（－3，－2），如图9.选D